(1)求證：AD＝CE；
(2)如果點(diǎn)G在線段DC上(不與點(diǎn)D重合)，且AG＝AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形.
證明：(1)在⊙O中，∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CA,∠B＝∠EAC,BD＝AE，))，
∴△ABD≌△CAE()，
∴AD＝CE；
(2)連結(jié)AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H.
∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，OA為半徑，
∴AH⊥BC，∴BH＝CH.
∵AD＝AG，∴DH＝HG，
∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.
∵BD＝AE，∴CG＝AE.
∵CG∥AE.
∴四邊形AGCE是平行四邊形.
2.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4eq \r(3)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OD，OB，DE相交于點(diǎn)F.
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)求EF∶FD的值.
解：(1)連結(jié)CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝4eq \r(3)，
∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋（4\r(3)）2)＝8，
∴∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ODA＝60°.
又∵AC為直徑，
∴∠CDA＝90°，即△CDB為直角三角形，
而E點(diǎn)為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BE＝EC，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∴∠ODE＝180°－∠BDE－∠ADO＝90°，
∴DE是O的切線；
(2)連結(jié)OE.
∵△OAD為等邊三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
在Rt△OEC中，OE＝eq \r(EC2＋OC2)＝4，
又∵OE為△CBA的中位線，
∴OE∥AB，
∴EF∶FD＝OE∶BD＝4∶6＝2∶3.
3.如圖，AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在DC的延長(zhǎng)線上，EP＝EG.
(1)求證：直線EP為⊙O的切線；
(2)點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2＝BF·BO，試證明：BG＝PG；
(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB＝eq \f(\r(3),3)，求弦CD的長(zhǎng).
解：(1)連結(jié)OP.∵EP＝EG，
∴∠EPG＝∠EGP.
又∵∠EGP＝∠BGF，
∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，
∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，
∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即OP⊥EP，
∴直線EP為⊙O的切線；
(2) 連結(jié)OG.∵BG2＝BF·BO，
∴eq \f(BG,BO)＝eq \f(BF,BG)，∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO＝∠BFG＝90°，∴BG＝PG；
(3) 連結(jié)AC，BC.
∵sin∠GBO＝eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(OG,OB)＝eq \f(\r(3),3).
∵OB＝r＝3，
∴OG＝eq \r(3)，由(2)得∠GBO＋∠BGF＝∠OGF＋∠BGF＝90°，
∴∠GBO＝∠OGF，
∴sin∠OGF＝eq \f(\r(3),3)＝eq \f(OF,OG)，
∴OF＝1，
∴BF＝BO－OF＝3－1＝2，
FA＝OF＋OA＝1＋3＝4.
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°.
∵∠ACF＋∠A＝90°，
∴∠BCF＝∠A，
∴△BCF∽△CAF，
∴eq \f(CF,AF)＝eq \f(BF,CF)，
∴CF2＝BF·FA，
∴CF＝eq \r(BF·FA)＝eq \r(2×4)＝2eq \r(2)，
∴CD＝2CF＝4eq \r(2).
4.如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB＝6，延長(zhǎng)BA到F，使FA＝AB.若P為線段AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合)，過P點(diǎn)作半圓的切線，切點(diǎn)為C，作CD⊥AB，垂足為D.過B點(diǎn)作BE⊥PC，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)AC，DE.
(1)判斷線段AC，DE所在直線是否平行，并證明你的結(jié)論；
(2)設(shè)AC為x，AC＋BE為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.
解：(1)線段AC，DE所在的直線平行.
證明：∵CD⊥AB，BE⊥PE，∠CPD＝∠BPE，
∴Rt△PCD∽R(shí)t△PBE，
∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PD,PE).
∵PC與⊙O相切于C點(diǎn)，PAB為⊙O的割線，
∴PC2＝PA×PB，∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PA,PC)，
∴eq \f(PA,PC)＝eq \f(PD,PE).∵∠CPA＝∠EPD，
∴△CPA∽△EPD，∴∠PCA＝∠PED，
∴AC∥DE；
(2)連結(jié)BC.∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.
∵AC＝x，AB＝6，
∴BC2＝62－x2＝36－x2.
∵PC與半圓相切于點(diǎn)C，∴∠BAC＝∠BCE.
∵∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴Rt△ABC∽R(shí)t△CBE，
∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(CB,BE)，
∴BE＝eq \f(BC2,AB)＝eq \f(36－x2,6).
∵y＝AC＋BE，∴y＝x＋eq \f(36－x2,6)，
y＝－eq \f(1,6)x2＋x＋6.
∵P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合，∴AC>0.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，AC的值最大，此時(shí)PC＝eq \r(PA·PB)＝6eq \r(2).
又∵∠P＝∠P，
∠PBC＝∠PCA，
∴△PCA∽△PBC，
∴eq \f(AC,CB)＝eq \f(PC,PB)，∴BC＝eq \f(AC·PB,PC)＝eq \r(2)AC.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴AC2＋(eq \r(2)AC)2＝36，
∴AC＝2eq \r(3)，
∴y＝－eq \f(1,6)x2＋x＋6(0＜x≤2eq \r(3)).
5.如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA＝6，OB＝8, 半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s(0＜t≤5)，以P為圓心、PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB，OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C，D，連結(jié)CD，QC.
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)；
(3)若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍.
解：(1)∵OA＝6，OB＝8，
∴由勾股定理得AB＝10.
由題意知OQ＝AP＝t，
∴AC＝2t.∵AC是⊙P的直徑，
∴∠CDA＝90°，∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,OA)，
∴AD＝1.2t.
當(dāng)Q與D重合時(shí)，AD＋OQ＝OA，
∴1.2 t＋t＝6，解得t＝eq \f(30,11).
圖①
∴t為eq \f(30,11) s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合；
(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，如圖①，
OQ＝OA－QA＝4，
∴t＝eq \f(4,1)＝4 s，
∴PA＝4，∴BP＝AB－PA＝6.
過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB相交于點(diǎn)F，G，連結(jié)PF，
∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，
∴eq \f(PE,OA)＝eq \f(BP,AB)，∴PE＝3.6，
∴由勾股定理得EF＝eq \f(2\r(19),5)，
由垂徑定理知FG＝2EF＝eq \f(4\r(19),5)；
圖②
(3)當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，如圖②，
此時(shí)∠QCA＝90°.
∵OQ＝AP＝t，
∴AQ＝6－t，AC＝2t.
∵∠A＝∠A, ∠QCA＝∠ABO，
∴△AQC∽△ABO，∴eq \f(AQ,AB)＝eq \f(AC,OA)，
∴eq \f(6－t,10)＝eq \f(2t,6)，∴t＝eq \f(18,13)，
∴當(dāng)0＜t≤eq \f(18,13)時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)QC⊥OA時(shí)， 此時(shí)Q與D重合， 由(1)可知t＝eq \f(30,11)，
∴當(dāng)eq \f(30,11)＜t≤5時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤eq \f(18,11)或eq \f(30,11)＜t≤5.

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