2.如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線EG分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)ED，DG.
(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2eq \r(10)，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG＋HC的最小值.
解：(1)四邊形EBGD是菱形.
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EDF＝∠GBF，,DF＝BF，,∠EFD＝∠GFB，))
∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，
∴BE＝ED＝DG＝GB，
∴四邊形EBGD是菱形；
(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連結(jié)EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG＋HC最小.
在Rt△EBM中，
∵∠EMB＝90°，
∠EBM＝30°，EB＝ED＝2eq \r(10)，
∴EM＝eq \f(1,2)BE＝eq \r(10).
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM＝DN＝eq \r(10)，
MN＝DE＝2eq \r(10).
在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，
∠DCN＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC＝eq \r(10)，∴MC＝3eq \r(10)，
在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，
EM＝eq \r(10)，MC＝3eq \r(10)，
∴EC＝eq \r(EM2＋MC2)＝eq \r(（\r(10)）2＋（3\r(10)）2)＝10.
∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，
∴HG＋HC的最小值為10.
3.如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB，OC，并將AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G依次連結(jié)，得到四邊形DEFG.
(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
(2)若M為EF的中點(diǎn)，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長(zhǎng)度.
解：(1)∵D，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴DG∥BC，DG＝eq \f(1,2)BC.
∵E，F(xiàn)分別是OB，OC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF＝eq \f(1,2)BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC＋∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°.
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6.
由(1)有四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DG＝EF＝6.
4.(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以點(diǎn)B為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1BC1；再以點(diǎn)C為中心，把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B1C，連結(jié)C1B1，則C1B1與BC的位置關(guān)系為_(kāi)_______；
(2)如圖②，當(dāng)△ABC是銳角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)時(shí)，將△ABC按照(1)中的方式旋轉(zhuǎn)α，連結(jié)C1B1，探究C1B1與BC的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的探究結(jié)論，并加以證明；
(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，連結(jié)B1B，若C1B1＝eq \f(2,3)BC，△C1BB1的面積為4，則△B1BC的面積為_(kāi)_______.
解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：
過(guò)點(diǎn)C1，作C1E∥B1C交BC于點(diǎn)E，則∠C1EB＝∠B1CB.
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，
∴∠C1BC＝∠C1EB，
∴C1B＝C1E.
∵BC1＝BC＝B1C，
∴C1E＝B1C.
又∵C1E∥B1C，
∴四邊形C1ECB是平行四邊形，
∴C1B1∥BC.
5.四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在的直線上，連結(jié)CE，以CE為邊，作正方形CEFG(點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè))，連結(jié)BF.
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng)；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝1，
①求點(diǎn)F到AD的距離；
②求BF的長(zhǎng)；
(3)若BF＝3eq \r(10)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)AE的長(zhǎng).
解：(1)BF＝4eq \r(5)；
(2)①過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.
∵四邊形CEFG是正方形，
∴EC＝EF，∠FEC＝90°，
∴∠DEC＋∠FEH＝90°.
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠FEH.
又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，
∴△ECD≌△FEH，
∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，
∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，
∴FH＝3，
即點(diǎn)F到AD的距離為3；
②延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，
∴四邊形CDHK為矩形，
∴HK＝CD＝4，
∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.
∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，
∴AE＝DH＝CK＝1，
∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.
在Rt△BFK中，BF＝eq \r(FK2＋BK2)＝eq \r(72＋52)＝eq \r(74)；
(3)AE＝2＋eq \r(41)或AE＝1.
6.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分別是線段AC，BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形.
(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的長(zhǎng)；
(2)若AP＝eq \r(2)，求CF的長(zhǎng).
解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝10.
要使△PCD是等腰三角形，有如下三種情況：
①當(dāng)CP＝CD時(shí)，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，
②當(dāng)PD＝PC時(shí)，∠PDC＝∠PCD.
∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝eq \f(AC,2)＝5；
③當(dāng)DP＝DC時(shí)，過(guò)D作DQ⊥AC于Q，則PQ＝CQ.
∵S△ADC＝eq \f(1,2)AD·DC＝eq \f(1,2)AC·DQ，
∴DQ＝eq \f(AD·DC,AC)＝eq \f(24,5)，
∴CQ＝eq \r(DC2－DQ2)＝eq \f(18,5)，∴PC＝2CQ＝eq \f(36,5)，
∴AP＝AC－PC＝eq \f(14,5).
綜上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的長(zhǎng)為4或5或eq \f(14,5)；
(2)連結(jié)PF，DE，記PF與DE的交點(diǎn)為O，連結(jié)OC.
∵四邊形ABCD和PEFD都是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
即∠ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF.
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝eq \f(1,2)ED.
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝eq \f(1,2)PF.∵OP＝OF＝eq \f(1,2)PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.
又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，
∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，
即∠PCD＋∠FCD＝90°.
在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，
∴eq \f(CF,AP)＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,4).∵AP＝eq \r(2)，
∴CF＝eq \f(3 \r(2),4).

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