小明利用周末的時間，為自己做了一個相框，你能幫助小明檢驗(yàn)一下他所做的相框是矩形嗎？
矩形的對邊平行且相等．
矩形的對角線互相平分且相等．
矩形既中心對稱圖形又軸對稱圖形．
矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
有一個角是直角的四邊形是矩形嗎？
有兩個角是直角的四邊形是矩形嗎？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎？
1、任意作兩條互相垂直的線段AB、AD；
2、過點(diǎn)B作垂直于AB的直線l；
3、過點(diǎn)D作垂直于AD的直線m，交l于點(diǎn)C，即得一個三個角都是直角的四邊形ABCD．
四邊形ABCD是矩形嗎？
已知：在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求證：四邊形ABCD是矩形．
證明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD為矩形(矩形的定義)．
命題：有三個角是直角的四邊形是矩形．
定理：有三個角是直角的四邊形是矩形．
矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．
幾何語言：在四邊形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°．∴四邊形ABCD是矩形．
由矩形的性質(zhì)“矩形的對角線相等”我們可以猜想：“如果一個平行四邊形的兩條對角線相等，那么這個平行四邊形是一個矩形”．
1、任意作兩條相交的直線，交點(diǎn)記為O；
2、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段OA、OB、OC、OD；
3、順次連結(jié)所得的四點(diǎn)，即得一個對角線相等的平行四邊形ABCD．
已知：四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD．求證：四邊形ABCD是矩形．
命題：對角線相等的平行四邊形是矩形．
證明：在□ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形（有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形）．
定理：對角線相等的平行四邊形是矩形．
矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
對角線互相平分且相等的四邊形是矩形嗎？為什么？
結(jié)論：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
你能幫助小明檢驗(yàn)一下他所做的相框是矩形嗎？用什么方法？為什么？
1、測量相框的對角線是否相等來判斷所做的相框是否是矩形．因?yàn)閷蔷€相等的平行四邊形是矩形．
2、測量相框的三個內(nèi)角是否是直角來判斷所做的相框是否是矩形．因?yàn)橛腥齻€角是直角的四邊形是矩形．
例4 如圖，O是矩形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO上的一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH是矩形．
分析：根據(jù)已知條件，我們可以先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明對角線EG和FH相等，即可得證．
證明: ∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO ，∵AE=BF =CG=DH，∴OE=OF=OG=OH， ∴四邊形EFGH是平行四邊形 ．∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形 （對角線相等的平行四邊形是矩形）．
例5 如圖，四邊形ABCD是由兩個全等正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．
分析：由已知條件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四邊形BMDN中，已有兩個角是直角，只需再證明另一個角且是直角即可得到它是一個矩形．
證明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，又∵M(jìn)、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，∴四邊形BMDN是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）．
例6 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分線，DE∥AB，交AG于點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE是矩形．
分析：根據(jù)已知條件AB＝AC，我們可以先通過證明四邊形ABDE是平行四邊形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“對角線相等的平行四邊形是矩形”這一判定定理證明四邊形ADCE是矩形．
1．兩條平行線被第三條直線所截，兩組內(nèi)錯角的平分線相交所組成的四邊形是(　　)A．四邊形　　　　　　　　　　　　B．一般平行四邊形C．矩形 D．梯形2．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH為矩形，四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是(　　)A．一組對邊平行而另一組對邊不平行 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分
3、如圖所示，已知?ABCD，下列條件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中．能說明?ABCD是矩形的有 (填寫序號)．4．四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，若OA＝OB＝OC＝OD，則這個四邊形是 ．
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AC、DE，AC＝AB，DE∥AB，求證：四邊形AECD是矩形．
證明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝BE，AB＝DE.∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EC＝BE＝AD，∴四邊形AECD是平行四邊形．∵AB＝AC，∴DE＝AC，∴四邊形AECD是矩形．
1、矩形的定義是什么？
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
2、矩形的判定方法有哪些？
角：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形 ；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形．
對角線： （1）對角線相等的平行四邊形是矩形；（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．

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初中數(shù)學(xué)華師大版八年級下冊電子課本 舊教材

2. 矩形的判定

版本： 華師大版

年級： 八年級下冊

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