?專題5.23 《相交線與平行線》動(dòng)點(diǎn)問題（專項(xiàng)練習(xí)）
1.（2020七下·溫州期中）已知 ，點(diǎn) 是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) 、PD
（1）如圖一，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到 上方時(shí)，試說明： .

（2）如圖二，當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到 與 之間時(shí)，給出 的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

（3）如圖三，點(diǎn) 和點(diǎn) 是平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) 、 、 ，直接給出 的數(shù)量關(guān)系________.

2.（2020七下·溫州月考）已知直線AB平行CD，直線EF分別截AB、CD于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)。
（1）如圖①，有一動(dòng)點(diǎn)P在線段CD之間運(yùn)動(dòng)（不與C，D兩點(diǎn)重合），試探究∠1、∠2、∠3的等量等關(guān)系？試說明理由。
（2）如圖②、③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段CD之外運(yùn)動(dòng)（不與C，D兩點(diǎn)重合），問上述結(jié)論是否還成立？若不成立，試寫出新的結(jié)論并說明理由。



3.（2020八上·芮城期末）綜合與探究：
將三角形紙板如圖放置，點(diǎn)P是邊AB邊上一點(diǎn)，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，
探究:
（1）如果α=30°，β=40°，則∠DPC=________.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在E、F兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DPC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
拓展：
（3）猜想：
如果點(diǎn)P在E、F兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、E、F四點(diǎn)不重合），上述（2）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由．


4.（2020七上·南崗期中）已知， ， ．
（1）如圖1，求證：
（2）如圖2，作 的平分線交 于點(diǎn) ，點(diǎn) 為 上一點(diǎn)，連接 ，若 的平分線交線段 于點(diǎn) ，求證： ；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接 ，若 ，過點(diǎn) 作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，且 ，求 的度數(shù)．


5.（2021七下·內(nèi)江開學(xué)考）如圖，已知AM//BN，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D.
（1）①當(dāng)∠A＝50°時(shí)，∠ABN的度數(shù)是________；
②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠________；
（2）當(dāng)∠A＝x°，求∠CBD的度數(shù)（用x的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADB與∠APB的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律.
（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，請(qǐng)直接寫出2∠DBN 的度數(shù).


6.（2020八上·武漢月考）如圖1， 平分 .
（1）求證： ；
（2）如圖2， 平分 交 的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)，若 ，求 的大?。?
（3）如圖3，若 是 上一動(dòng)點(diǎn)， 是 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 交 于 ，交 于 平分 ,交 于 ，交 于 ，當(dāng) 在線段 上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與 重合），求 .


7.（2020七下·新鄉(xiāng)月考）如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.
（1）請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，當(dāng)∠E=90°保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)E，使∠MCE=∠ECD.當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，其數(shù)量關(guān)系為________.




8.（2020七下·北京期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是為BC上一點(diǎn)，連接 AD．
（1）三角形ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//AD交BC于點(diǎn)F，作DG⊥AC于G．依題意補(bǔ)全圖形，并判斷∠BEF與∠ADG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）任意三角形ABC中，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//AD交BC所在直線于點(diǎn)F，G是直線AC上一點(diǎn)，連接DG．若要使（1）結(jié)論仍成立，DG與AB位置關(guān)系應(yīng)滿足的條件?請(qǐng)畫圖并直接寫出DG與AB位置關(guān)系．



9.（2019七下·合肥期末）已知：三角形ABC和同一平面內(nèi)的點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)D在BC邊上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF=85°，則∠A的度數(shù)為________°．
（2）如圖2，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，DF∥CA，∠EDF=∠A，證明：DE∥BA．
（3）如圖3，點(diǎn)D是三角形ABC外部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過D作DE∥BA交直線AC于E，DF∥CA交直線AB于F，直接寫出∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．

10.（2020七上·南崗期末）已知：直線 分別與直線 ， 相交于點(diǎn) ， ，并且
（1）如圖1，求證： ；

（2）如圖2，點(diǎn) 在直線 ， 之間，連接 ， ，求證： ；

（3）如圖3，在（2）的條件下，射線 是 的平分線，在 的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) ，連接 ，若 ， ，求 的度數(shù)．


11. （2020七下·高港期中）如圖
（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=135°，∠PCD=125°.求∠APC度數(shù).小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù).請(qǐng)寫出具體求解過程.
（2）問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（3）在(1)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系.

12.（2020七下·太原期中）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化功能.
（1）問題情景：如圖1，已知點(diǎn) 是 外一點(diǎn)，連接 、 ，求 的度數(shù).
天天同學(xué)看過圖形后立即想出： ，請(qǐng)你補(bǔ)全他的推理過程.
解：（1）如圖1，過點(diǎn) 作 ，∴ ________， ________.
又∵ ，∴ .
解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”功能，將 ， ， “湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.
（2）問題遷移：如圖2， ，求 的度數(shù).
（3）方法運(yùn)用：如圖3， ，點(diǎn) 在 的右側(cè)， ，點(diǎn) 在 的左側(cè)， ， 平分 ， 平分 ， 、 所在的直線交于點(diǎn) ，點(diǎn) 在 與 兩條平行線之間，求 的度數(shù).
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13.（2019七下·茂名期中）如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)∠E=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)E，使∠MCE=∠ECD，當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，問∠BAE與∠MCD否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖3，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由．

14.（2020七下·德州月考）如圖，已知直線l1∥l2 ， 且l3和l1 ， l2分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上. ．
（1）試找出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并說出理由；
（2）如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，問∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化；
（3）如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)，試探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（點(diǎn)P和A，B不重合） ．

15.（2020七下·錫山期末）如圖1，已知直線MN GH，且MN和GH之間的距離為1，小明同學(xué)制作了兩個(gè)直角三角形硬紙板ACB和DEF，其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1.小明利用這兩塊三角板進(jìn)行了如下的操作探究：
（1）如圖1，點(diǎn)A在MN上，邊BC在GH上，邊DE在直線AB上.
①將直角三角形DEF沿射線BA的方向平移，當(dāng)點(diǎn)F在MN上時(shí)，如圖2，求∠AFE的度數(shù)；
②將直角三角形DEF從圖2的位置繼續(xù)沿射線BA的方向平移，當(dāng)以A、D、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求∠FAN度數(shù)；
（2） 將直角三角形ABC如圖3放置，若點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)C在MN和GH之間（不含MN，GH上），邊BC和AB與直線GH分別交于D，K.在△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)∠MAK=n°，∠CDK=(4m﹣2n﹣10)°，則m的取值范圍為________.

16.（2020七下·阜陽期中）如圖 ，已知直線l1 ， l2 ， 點(diǎn)P在直線l3上且不與點(diǎn)A、B重合．記∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．
（1）如圖 ，若直線l1//l2 ， 點(diǎn)P在線段AB（A、B兩點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖 ，若（1）中∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系成立，你能不能反向推出直線l1//l2？若成立請(qǐng)說明理由．
（3）如圖 ，若直線l1//l2 ， 若點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括線段AB），請(qǐng)直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．

17.（2020七下·廈門期末）如圖，以直角△AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C，OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足 ．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為________；點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．
（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，3），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且y軸平分∠GOD．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接接CE交OD于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（三角形的內(nèi)角和為180°可以直接使用）．


18.（2020七下·樺南期中）根據(jù)下圖回答問題：
（1）如圖1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)∠M=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)直角頂點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，問∠BAM與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖3，G為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)H為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)點(diǎn)H在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠CGH+∠CHG與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由．


19.（2020七下·青島期中）已知直線l1∥l2 ， 且l4和l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)定點(diǎn)（如圖1）

（1）寫出∠1、∠2、∠3、之間的關(guān)系并說出理由．
（2）如果點(diǎn)P為線段AB上．的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，問∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？（不必說理由）
（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)， （點(diǎn)P和點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合）

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1、∠2、∠3之間關(guān)系并說出理由．
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1、∠2、∠3之間關(guān)系（不說理由）
20.（2020七下·北京月考）問題情境：如圖1， ， ， ．求 度數(shù)．
小明的思路是：如圖2，過 作 ，通過平行線性質(zhì)，可得 ．
問題遷移：
（1）如圖3， ，點(diǎn) 在射線 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) 在 、 兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)， ， ． 、 、 之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn) 在 、 兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn) 與點(diǎn) 、 、 三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出 、 、 間的數(shù)量關(guān)系．



21.（2020七下·莆田月考）如圖 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．
（1）請(qǐng)判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖 2，若∠E=90°且 AB 與 CD 的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)直角頂點(diǎn) E 移動(dòng)時(shí)，寫出∠BAE 與∠ECD 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖 3，P 為線段 AC 上一定點(diǎn)，點(diǎn) Q 為直線 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，且 AB 與 CD 的位置 關(guān)系保持不變，當(dāng)點(diǎn) Q 在射線 CD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn) C 重合)，∠PQD，∠APQ 與∠ BAC 有何數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由．

22.（2020七下·孝南期末）如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系中，線段 的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 ， ，將線段 向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段 ，連接

（1）直接寫出點(diǎn) 、點(diǎn) 的坐標(biāo)
（2）如圖 ，延長(zhǎng) 交 軸于點(diǎn) ，點(diǎn) 是線段 上的一動(dòng)點(diǎn)，連接 、 ，猜想 、 、 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由
（3）在 軸上是否存在點(diǎn) ，使 的面積與四邊形 的面積相等，若存在，求出 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由

23.（2020七上·南召期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組經(jīng)過討論形成下列推理，請(qǐng)你補(bǔ)全推理依據(jù)．
如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作圖知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．________
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．________
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．

參考答案
一、綜合題
1.【答案】 （1）略
（2）
（3）
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【解析】解：（1）如圖：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)E，


∵AB∥CD，∴∠D=∠AEP，∵∠A+∠P+∠AEP=180°，∴ ；
（2）∠P-∠D+∠A=180°,理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，AB∥PE，∴PE∥CD，∠A+∠APE=180°，∠D=∠DPE，∴∠APE=∠APD-∠DPE=∠APD-∠D，∴∠A+∠APD-∠D=180°，即∠P-∠D+∠A=180°；
（3）∠P-∠A=∠Q-∠D，理由如下：
如圖：過點(diǎn)P作PE∥AB，過點(diǎn)Q作QF∥AB，

∵PE∥AB，QF∥AB，AB∥CD，∴AB∥PE∥QF∥CD，∴∠A=∠APE，∠EPQ=∠PQF，∠FQD=∠D，∵∠EPQ=∠APQ-∠APE，∠PQF=∠PQD-∠FQD，∴∠APQ-∠APE=∠PQD-∠FQD，∴∠APQ-∠A=∠PQD-∠D，即∠P-∠A=∠Q-∠D.
故答案為：∠P-∠A=∠Q-∠D.
【分析】（1）如圖一：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)E，根據(jù)二直線平行，同位角相等得出∠D=∠AEP，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）∠P-∠D+∠A=180°,理由如下：如圖二，過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出PE∥CD，根據(jù)二直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠A+∠APE=180°，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠D=∠DPE，進(jìn)而根據(jù)角的和差及等量代換即可得出結(jié)論；
（3）∠P-∠A=∠Q-∠D，理由如下：如圖三：過點(diǎn)P作PE∥AB，過點(diǎn)Q作QF∥AB，根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出AB∥PE∥QF∥CD，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠A=∠APE，∠EPQ=∠PQF，∠FQD=∠D，進(jìn)而根據(jù)角的和差及等量代換即可得出結(jié)論.
2.【答案】 （1）解：∠2=∠1+∠3理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∵∠2=∠APQ+∠CPQ
=∠1+∠3.

（2）解：解：②∠2=∠1+∠3不成立，新的結(jié)論為∠2=∠3 ∠1.理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠CPQ ∠APQ
=∠3 ∠1.
③∠2=∠1+∠3不成立，新的結(jié)論為∠2=∠1 ∠3.理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠1=∠APQ.

∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD.
∴∠3=∠CPQ.
∠2=∠APQ ∠CPQ
=∠1 ∠3.
綜合②、③的結(jié)論，∠2= .
【考點(diǎn)】角的運(yùn)算，平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB，利用平行線的判定與性質(zhì)可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠APQ+∠CPQ即得結(jié)論；
（2）不成立，新的結(jié)論為∠2=∠3??∠1.理由：如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB，利用平行線的判定與性質(zhì)可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠3=∠CPQ，?由∠2=∠CPQ??∠APQ即可求出結(jié)論；
（3）不成立，新的結(jié)論為∠2=∠1??∠3.理由如下：?同（1）可證∠1=∠APQ，∠3=∠CPQ，利用 ∠2=∠APQ??∠CPQ 即可求出結(jié)論.
3.【答案】 （1）70°
（2）∠DPC=α+β，理由是：
如圖，過P點(diǎn)作GH∥DF，

∵DF∥CE
∴GH∥CE
∴∠PCE=∠CPG=α，∠PDF=∠GPD=β
∵∠DPC=∠CPG+∠GPD=α+β

（3）（2）中的結(jié)論不成立，理由是：
如圖，過P作PH∥DF

（圖1）
∵DF∥CE
∴PH∥CE
∴∠PCE=∠1=α
∵∠FDP=∠2=β
∵∠DPC=∠FDP-∠PCE=∠2-∠1=β -α.
如圖2，過P作PH∥DF

（ 圖2）
∵DF∥CE
∴PH∥CE
∴∠PCE=∠1=α
∵∠FDP=∠2=β
∵∠DPC=∠PCE-∠FDP=∠1-∠2=α -β.
故（2）中的結(jié)論不成立.
【考點(diǎn)】角的運(yùn)算，平行線的性質(zhì)，三角形-動(dòng)點(diǎn)問題
【解析】【解答】（1）過P點(diǎn)作GH∥DF，

∵DF∥CE,
∴GH∥CE
∴∠PCE=∠CPG=α，∠PDF=∠GPD=β
∵∠DPC=∠CPG+∠GPD =α+β
∵α=30°，β=40°
∴∠DPC=70°
故答案為：70°
【分析】（1）過P點(diǎn)作GH∥DF，可得GH∥CE，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等” 解答即可；（2）過P點(diǎn)作GH∥DF，可得GH∥CE，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等” 解答即可；（3）過P點(diǎn)作PH∥DF，可得PH∥CE，分P點(diǎn)在直線CE上方、DF下方兩種情況，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等” 解答即可；
4.【答案】 （1）證明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴

（2）解：過 作 ，

∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
設(shè) ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴

，
∴ ；

（3）解：延長(zhǎng) 至點(diǎn) ，

∵ ，
∴ ， ， ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
由（2）問知， ，
，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
由（2）問知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
過 作 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
由（2）問知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【分析】（1）由AE∥BD，可得∠A+∠B=180°，由∠A=∠D得出∠B+∠D=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行即證；
（2）過作， 設(shè)， ， 根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及交的和差關(guān)系可證結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)??至點(diǎn)?， 根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換，可得?，由補(bǔ)角的性質(zhì)得出， 結(jié)合（2）可求出∠AFH=20°， 過??作?? ， ?可證 ?，從而求出．
5.【答案】 （1）130°；CBN
（2）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN＋∠A=180°，
∴∠ABN=180°-x°，
∴∠ABP＋∠PBN=180°-x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，
∴∠CBD=∠CBP＋∠DBP= ；

（3）解：不變，∠APB:∠ADB=2:1，
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB:∠ADB=2:1；

（4）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
當(dāng)∠ACB=∠ABD時(shí)，則有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC＋∠CBD=∠CBD＋∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，
∴2∠DBN= ∠ABN，
∵∠A+∠ABN=180°，
∴2∠DBN+ ∠A= （∠A+∠ABN）=90°.
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【解答】（1）解：①∵AM∥BN，∠A=50°，
∴∠ABN=180°-∠A=130°，
故答案為：130°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
故答案為：CBN
【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)求出∠ABN的度數(shù)；②利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可證得結(jié)論.
（2）利用平行線的性質(zhì)，可證得∠ABN＋∠A=180°，由此可推出∠ABP＋∠PBN=180°-x°，再利用角平分線的定義可證得∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，可推出2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，從而可表示出∠CBD.
（3）利用平行線的性質(zhì)，可證得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，利用角平分線的定義，可得到∠PBN=2∠DBN；然后求出∠APB:∠ADB的比值.
（4）利用平行線的性質(zhì)，可證得∠ACB=∠CBN，利用已知條件，推出∠CBN=∠ABD；再證明∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，可求出2∠DBN= ∠ABN，∠A+∠ABN=180°；然后代入計(jì)算可求出2∠DBN 的度數(shù).
6.【答案】 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB=∠EDA，
∴∠ADC+∠BCD=∠EDB+∠EDA+∠BDC+∠BCD=2（∠EDB+∠BDC）=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=180°-∠EDC=90°

（2）解：設(shè)∠ABF=x，
∵ 平分 ，
∴∠DBF=∠ABF=x，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBF-∠ABF=100°-2x，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠ ，
∴∠F=∠BDC-∠DBF=40°+x-x=40°

（3）解：設(shè)AD交KG于P，

∵ 平分 ，DE平分∠ADB，
∴∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE，
∴∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2（∠NKH+∠AOK+∠ADE）=2（∠NPD+∠ADE）=2∠DNG，
∴ =2.
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出 ∠ADC+∠BCD=180°， 進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義及等量代換得出 ∠EDB+∠BDC=90°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出 ；
（2）根據(jù)題意設(shè)∠ABF=x，利用角平分線的定義得出 ∠DBF=∠ABF=x， 根據(jù)角的和差得出 ∠DBC=100°-2x， 接著利用三角形的內(nèi)角和定理得出∠BDC=40°+x，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，由 ∠F=∠BDC-∠DBF 算出答案；
（3）根據(jù)題意設(shè)AD交KG于P，進(jìn)而結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出 ∠BKH=2∠NKH，∠ADB=2∠ADE， 然后得出 ∠BAD+∠DMH=∠BKH+∠AOK+∠ADB+∠DOM=2∠NKH+2∠AOK+2∠ADE=2（∠NKH+∠AOK+∠ADE）=2（∠NPD+∠ADE）=2∠DNG， 從而即可得出答案.
7.【答案】 （1）解：AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴AB∥CD

（2）解：∠BAE＋ ∠MCD＝90°；理由如下：
過E作EF∥AB，如圖2所示：

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD
∴∠ECD＝ ∠MCD
∴∠BAE＋ ∠MCD＝90°

（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義
【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
故答案為：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出結(jié)論；
（2）過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝ ∠MCD，得出∠BAE＋ ∠MCD＝90°；
（3）由平行線的性質(zhì)得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出結(jié)果.
8.【答案】 （1）解：如圖所示，

∠BEF與∠ADG的數(shù)量關(guān)系是：∠BEF=∠ADG
證明：∵EF//AD，
∴∠BEF=∠BAD，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BEF+∠DAC=90°
∵DG⊥AC，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠BEF=∠ADG；

（2）當(dāng)DG與AB平行時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立
【考點(diǎn)】垂線，平行線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：（2）如圖所示，

∵EF//AD
∴∠AEF=∠BAD，
∵DG//AB，
∴∠BAD=∠ADG，
∴∠AEF=∠ADG，
故當(dāng)DG與AB平行時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可，根據(jù)EF//AD可得∠BEF=∠BAD，由DG⊥AC得∠DAG+∠ADG=90°，再由∠BAD+∠DAG=90°可得結(jié)論；（2）由EF//AD可得∠AEF=∠BAD，由DG//AB可得∠BAD=∠ADG，進(jìn)一步可得結(jié)論．
9.【答案】 （1）85
（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)BA交DF于G．

∵DF∥CA，
∴∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴DE∥BA．

（3）∠EDF+∠A=180°
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】（1）∵DE∥BA，DF∥CA，

∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，
∵∠EDF=85°
∴∠A=∠EDF=85°；
故答案為：85；（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°，
理由：如圖2，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠EDF+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，
∴∠EDF=∠EAF=∠A；
如圖3，∵DE∥BA，DF∥CA，

∴∠EDF+∠F=180°，∠F=∠CAB，
∴∠EDF+∠BAC=180°．
即∠EDF+∠A=180°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A=∠EDF=85°；（2）延長(zhǎng)BA交DF于G．根據(jù)平行線的性質(zhì)以及判定進(jìn)行推導(dǎo)即可；（3）分兩種情況討論，即可得到∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．
10.【答案】 （1）解：證明：如圖，
?
∵ ， ．
∴ ，
∴ ．

（2）解：證明：如圖，過點(diǎn) 作 ，
?
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴

（3）解：解：如圖，

令 ， ，
∵
則 ， ，
∵射線 是 的平分線，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
過點(diǎn) 作 ，則 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】（1）先求出 ，即可作答；
（2）先證明 ，再求出 ? ， ?? ，即可作答；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可。
11.【答案】 （1）解：過P作PE∥AB，


∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-135 =45°，
∠CPE=180°-∠PCD=180°-125 =55°，
∴∠APC=45°+55°=100°，

（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）解：當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β-∠α；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠α-∠β.
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】問題情境：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=45°+55°=100°；
問題遷移：(1)過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(2)畫出圖形(分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
12.【答案】 （1）∠EAB；∠DAC
（2）解：過C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）解：如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【解答】解：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)可得：因?yàn)?，所以 ∠EAB， ∠DAC；

【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）過C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線定義可得∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.
13.【答案】 （1）解：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD

（2）解：∠BAE+ ∠MCD=90°；
過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+ ∠MCD=90°

（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【分析】（1）先根據(jù)CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出結(jié)論（2）過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．
14.【答案】 （1）∠1+∠2=∠3
理由：過點(diǎn)P作l1的平行線PQ
∵l1∥l2 ，
∴l(xiāng)1∥l2∥PQ
∴∠1=∠4，∠2=∠5
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3

（2）∠1+∠2=∠3不變
（3）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3
理由：①當(dāng)點(diǎn)P在下側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作l1的平行線PQ

∵l1∥l2 ，
∴l(xiāng)1∥l2∥PQ
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4
∴∠1-∠2=∠3
②當(dāng)點(diǎn)P在上側(cè)時(shí)，同理可得∠2-∠1=∠3．
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）過點(diǎn)P作l1的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解題；
（2）（3）都是同樣的道理．

15.【答案】 （1）解：①∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∵∠EDF=30°，
∴∠DEF=60°，
∵∠DEF=∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE=∠DEF﹣∠EAF=60°﹣45°=15°；
②如圖，當(dāng)∠AFD=90°時(shí)，

∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠BAC=45°
∴∠ABC=45°，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠BAN=∠ABC=45°，
∵∠AFD=90°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∵∠ADF=30°，
∴∠FAD=60°，
∴∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=60°﹣45°=15°；
如圖，當(dāng)∠FAD=90°時(shí)，

∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=90°﹣45°=45°，
∴∠FAN度數(shù)為15°或45°；

（2）
【考點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【解答】解:（2）如圖，∵∠BAC=45°，∠ACB=90°，
∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠MAK=∠AKD=n°，
∵∠AKD+∠CDK=225°，
∴(n+4m-2n-10) °=225°，
整理得：n°=(4m-235) °，

∵AC=1，且EF和GH之間的距離為1，
∴BC=1，
如圖，點(diǎn)C在直線MN上時(shí)，點(diǎn)B、K、D重合，∠MAK= n°=180°-45°=135°，

如圖，點(diǎn)C在直線GH上時(shí)，點(diǎn)B、K、D重合，∠MAK= n°=90°-45°=45°，

∵點(diǎn)C在MN和GH之間（不含MN、GH上），
∴45°＜n°＜135°，
即45°＜(4m-235) °＜135°，
∴m的取值范圍是：70°＜m＜92.5°.
故答案為：70°＜m＜92.5°.
【分析】（1）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DEF=60°，結(jié)合圖形計(jì)算即可；②分∠AFD=90°、∠FAD=90°兩種情況計(jì)算，得到答案；
（2）先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，利用平行線的性質(zhì)得：n°=(4m-235) °，確認(rèn)點(diǎn)C邊界上兩點(diǎn)時(shí)，確定n的取值，代入n°=(4m-235) °，可得結(jié)論.
16.【答案】 （1）解：過P作PQ∥l1∥l2 ，

由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，
∴∠3＝∠1＋∠2．

（2）解：可以反推直線l1//l2.理由具體如下：
過點(diǎn)P作PQ1平行l(wèi)1 ， 如下圖（2）所示：

因?yàn)镻Q1平行l(wèi)1 ， 所以∠1＝∠Q1PE；又因?yàn)椤?＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，則根據(jù)平行線的判定法則：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可知PQ1平行l(wèi)2；又由于PQ1平行l(wèi)1 ， PQ1平行l(wèi)2 ， 所以l1//l2.故反推成立.

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ2∥l1∥l2 ， 如下圖所示：

則：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；
∵∠3＝∠Q2PF?∠Q2PE，
∴∠3＝∠2?∠1．
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ3∥l1∥l2 ， 如下圖所示：

根據(jù)題意我們?cè)O(shè)∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；則有圖可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；
∵∠3＝∠Q3PE ?∠Q3PF，
∴∠3＝∠1?∠2．
【考點(diǎn)】角的運(yùn)算，平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【分析】（1）過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系，即可∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系；
（2）過點(diǎn)P作PQ1平行l(wèi)1 ， 由PQ1平行l(wèi)1 ， 得到∠1＝∠Q1PE；又由∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，得到∠2＝∠QPF，再根據(jù)平行線的判定法則進(jìn)行求解即可得到答案.
（3）本題分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ2∥l1∥l2 ， 結(jié)合題意可得∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；又由∠3＝∠Q2PF?∠Q2PE，可得∠3＝∠2?∠1．當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)P作PQ3∥l1∥l2 ， 則有圖可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；根據(jù)∠3＝∠Q3PE ?∠Q3PF，可得∠3＝∠1?∠2．
17.【答案】 （1）（0，6）；（8，0）
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由運(yùn)動(dòng)知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴ ，
，
∵△ODP與△ODQ的面積相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等；

（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x軸⊥y軸，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x軸平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如圖，過點(diǎn)H作HF∥OG交x軸于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)，三角形的面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，絕對(duì)值的非負(fù)性，利用合并同類項(xiàng)、移項(xiàng)解一元一次方程
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案為：（0，6），（8，0）；
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度得到OQ=t，OP=8-2t，根據(jù)△ODP與△ODQ的面積相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y軸平分∠GOD證得OG∥AC，過點(diǎn)H作HF∥OG交x軸于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，從而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可證得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
18.【答案】 （1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；

（2）∠BAM+∠MCD=90°，
理由：如圖，過M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；


（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．
理由：過點(diǎn)G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，過M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，過點(diǎn)G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．
19.【答案】 （1）∠3=∠1+∠2 理由：
延長(zhǎng)DP交直線l2與E，如圖

∵直線l1∥l2
∴∠1=∠DCE
∵∠3=∠DEC+∠2
∴∠3=∠1+∠2

（2）不發(fā)生變化，∠3=∠1+∠2
理由：
∵直線l1∥l2
∴∠1=∠DCE
∴∠3=∠DEC+∠2=∠1+∠2

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2
∵直線l1∥l2
∴∠1=∠PFB
∵∠PFB=∠2+∠3
∴∠1=∠2+∠3
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵直線l1∥l2
∴∠PGA=∠2
∵∠PGA=∠1+∠3
∴∠2=∠1+∠3
?
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)
【解析】【分析】（1）（2）延長(zhǎng)DP交直線l2于點(diǎn)E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解；
（3）（4）分別根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解.
?
20.【答案】 （1）解：∠CPD= ，理由如下：
如圖3，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，

∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠DPE， =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；②當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠α?∠β
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】（2）①當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD= ，理由如下：
如圖4，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，

∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠EPD， =∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE?∠EPD= ；
②當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD= ，理由如下：
如圖5，過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，

∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠DPE， =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE?∠CPE= ，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD=∠α?∠β.
【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，根據(jù)題意得出AD∥PE∥BC，從而利用平行線性質(zhì)可知 =∠DPE， =∠CPE，據(jù)此進(jìn)一步證明即可；（2）根據(jù)題意分當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)兩種情況逐一分析討論即可.
21.【答案】 （1），理由如下：
?CE 平分 ，AE 平分 ，


；

（2），理由如下：
如圖，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F，則


由三角形的外角性質(zhì)得：
；


（3），理由如下：

，即
由三角形的外角性質(zhì)得：
又 ，即

即 ．
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義
【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定即可得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）、三角形的外角性質(zhì)即可得；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）、三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義即可得．
22.【答案】 （1）解 : ∵線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2），B（?1，0），將線段AB向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，
∴C（2，0），D（3，2）；

（2）解 : ∠ABP＋∠BPC?∠ECP＝180°，理由如下：
過點(diǎn)P作PF∥AB，如圖所示：

由平移的性質(zhì)得：DE∥AB，
∴AB∥PF∥DE，
∴∠ABP＋∠BPF＝180°，∠CPF＝∠ECP，
∵∠BPC＝∠BPF＋∠CPF，
∴∠BPC＝（180°?∠ABP）＋∠ECP，
即：∠ABP＋∠BPC?∠ECP＝180°；

（3）解 : 設(shè)點(diǎn)Q（x，0），連接BD，DQ，

則：BQ=|x-(-1)|=|x+1|，
∴S△BDQ= |x+1|×2=|x+1|，
∵S四邊形ABCD=3×2=6，
∴|x+1|=6，
∴x+1=6或x+1=-6，
∴x=5或-7，
∴存在這樣的Q點(diǎn)，Q（5，0）或（-7，0）
【考點(diǎn)】解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，平移的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移
【解析】【分析】（1）由平移的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)P作PF∥AB，由平移的性質(zhì)得出AB∥PF∥DE，由平行線的性質(zhì)得出∠ABP＋∠BPF＝180°，∠CPF＝∠ECP，即可得出結(jié)論；（3）由題意得出四邊形ABCD是平行四邊形，得出AD＝BC＝3，AB＝CD，BC邊上的高為2，得出S四邊形ABCD＝2×3＝6，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，S△QBD＝ ×2×BQ＝BQ，得出BQ＝6，即可得出結(jié)果.
23.【答案】 （1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ) 問題遷移：
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
問題解決：

（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.
【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作圖知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)
（ 3 ）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，

過P作PE∥AD交直線CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

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