?專題5.12 《相交線與平行線》幾何模型1（專項練習(xí)）
一、單選題
1．（2020·遼寧大連市·七年級期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（　?。?br />
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
2．（2020·環(huán)縣環(huán)城初級中學(xué)七年級期末）如圖，已知，則∠BCE的度數(shù)為（ ）

A．70° B．65° C．35° D．55°
3．（2020·廣西柳州市·七年級期末）如圖所示，如果 AB ∥ CD ，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
4．（2020·湖北隨州市·九年級其他模擬）如圖，已知，將直角三角形如圖放置，若∠2=40°，則∠1為（　　?。?br />
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（2020·重慶南岸區(qū)·七年級期末）如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（ ）

A． B．
C． D．
6．（2020·河南鄭州市·七年級期末）如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A．101° B．103° C．105° D．107°
7．（2020·廣西河池市·八年級期末）如圖，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，則∠ACD=（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖，已知直線a∥b，∠1=40°，∠2=60°．則∠3等于（　?。?br />
A．100° B．60° C．40° D．20°
9．（2020·重慶南開中學(xué)七年級期末）如圖，直線，在中，，點落在直線上，與直線交于點，若，則的度數(shù)為（ ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°
10．（2020·浙江紹興市·七年級期末）如圖，已知AB//CD，則，，之間的等量關(guān)系為（ ）

A． B．
C． D．
11．（2016·浙江杭州市·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
12．（2020·四川巴中市·七年級期末）如圖，AB//CD， 則______

13．（2020·湖北武漢市·七年級期末）如圖，，平分，，，則__________．

14．（2020·湖北襄陽市·七年級期末）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置（∠BAC＝30°），并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°，則∠2的度數(shù)是_____．

15．（2020·浙江紹興市·七年級期末）如圖，已知AB//CD，，，，則____度．

16．（2020·北京北師大實驗中學(xué)七年級期中）請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.
小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即

已知:如圖1，，為、之間一點，連接， 得到.

求證:
小明筆記上寫出的證明過程如下:
證明:過點作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.
（1）如圖，若，，則___________.

（2）如圖，，平分，平分，，則___________.

17．（2015·山西九年級專題練習(xí)）如圖，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，則∠CAD＝_____度．

18．（2015·山西九年級專題練習(xí)）如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點A在直線m上，則∠=_________.

19．（2017·上海長寧區(qū)·七年級期末）如圖，已知，那么_______度．


三、解答題
20．（2020·惠州市江南學(xué)校八年級期中）如圖，五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度數(shù)．

21．（2020·遼寧遼陽市·七年級期末）請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．

（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？
（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）
22．（2020·江蘇淮安市·七年級期末）在數(shù)學(xué)課本中，有這樣一道題：已知：如圖1，．求證：請補充下面證明過程：

證明：過點，作，如圖2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
23．（2020·河南省直轄縣級行政單位·）如圖，ABCD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點P，且滿足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD．
在探究∠EPF與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系時，我們需要對點P的位置進(jìn)行分類討論：
（1）如圖1，當(dāng)P點在EF的右側(cè)時，若∠EPF＝110°，則∠EQF＝　 ?。徊孪搿螮PF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果；
（2）如圖2，當(dāng)P點在EF的左側(cè)時，探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；
（3）若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點Q2，∠BEQ2與∠DFQ2的角平分線交于點Q3；…以此類推，則∠EPF與∠EQnF滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）

24．（2020·廣西欽州市·七年級期末）如圖，已知．

（1）求的度數(shù)；
（2）若平分，與的延長線交于點，且，求的度數(shù)．
25．（2020·湖南岳陽市·七年級期末）（1）問題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．
小辰的思路是：如圖2，過點P作PE//AB，通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)，請寫出具體求解過程．
（2）問題遷移：
①如圖3，AD//BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A，B兩點之間運動時，設(shè)∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問：∠、、∠之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
②在①的條件下，如果點P不在A，B兩點之間運動（點P與點A，B，O三點不重合），請直接寫出∠、、∠間的數(shù)量關(guān)系．

26．（2020·湖北武漢市·七年級期末）如圖l，點在上，點在上，點在直線之間，連接 ．


（1）直接寫出的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，平分，交的延長線于點證明：


（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，點在內(nèi)，連 ，則的值為 ．


27．（2020·云南昆明市·七年級期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)同時將點分別向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，分別得到點的對應(yīng)點，連接
問題提出:
（1）請直接寫出點的坐標(biāo) ， ，及四邊形的面積 ﹔
拓展延伸:
（2）如圖①，在坐標(biāo)軸上是否存在一點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.

遷移應(yīng)用:
（3）如圖②，點是線段上的個動點，連接，當(dāng)點在上移動時(不與重合）給出下列結(jié)論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個是正確的，請你找出這個結(jié)論并求其值.

28．（2020·遼寧大連市·七年級期末）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．
數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：
如圖1，已知點分別在上，．求的度數(shù)．

同學(xué)們經(jīng)過思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：
小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”

小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過推理，得也能求出的度數(shù)．”

小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”

(1)請你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；
(2)請你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；
老師：“這三位同學(xué)解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”
請大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：
(3)如圖，，點分別在上，平分若請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗證你的結(jié)論．

29．（2020·江蘇淮安市·七年級期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．


思路點撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計算，你求得的∠APC的度數(shù)為　 　°；
問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
30．（2020·內(nèi)蒙古一機(jī)集團(tuán)有限公司第四中學(xué)七年級期中）(1)同題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
小明想到一種方法，但是沒有解答完：
如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
請你幫助小明完成剩余的解答．
(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：
如圖3，AD//BC，當(dāng)點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

31．（2020·民勤縣第六中學(xué)七年級期中）如圖，已知AB∥CD，分別探究下面三個圖形中∠P和∠A，∠C的關(guān)系，請你從所得三個關(guān)系中任意選出一個，說明你探究結(jié)論的正確性．
結(jié)論：（1）___________________；
（2）____________________；
（3）_____________________；
（4）選擇結(jié)論____________，說明理由．

32．（2018·湖北荊門市·七年級期中）AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．
（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．

33．（2018·江西上饒市·七年級期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．
34．（2019·河南平頂山市·七年級期中）如圖1、圖2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若圖1中∠AEF＝∠HLN，試找出圖中的平行線，并說明理由；
（2）如圖2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，試探究∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系？（直接寫答案，不寫過程）．

35．（2018·江蘇南京市·鼓樓實驗中學(xué)七年級月考）如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥CD，DA=140°，DC=165°．
（1）求DB的度數(shù)；
（2）當(dāng)DD= °時，AB∥DE？為什么？

36．（2019·全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，，，，求的度數(shù).

37．（2019·全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，，分別為外側(cè)兩點，分別為上兩點，連結(jié)，，，求證：.

38．（2019·阜寧縣容山中學(xué)）已知如圖所示，，，，求的度數(shù).

39．（2019·全國九年級專題練習(xí)）如圖所示，直線，，，求的度數(shù).

40．（2018·南京市金陵匯文學(xué)校七年級月考）如圖所示，，與的角平分線相較于點，，求的度數(shù).


參考答案
1．B
【分析】
過點C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．
【詳解】
如圖，過點C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，
∵∠BCD＝70°，
∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，
∴∠α+∠β＝70°．
故選B．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.
2．B
【分析】
過點C作CF平行于AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及題意可直接求出．
【詳解】

過點C作，


．
故選B．
【點撥】
本題主要考查平行線的性質(zhì)定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】
過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．
【詳解】
解：過點E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故選：C．

【點撥】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
過A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠5的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)．
【詳解】
解：標(biāo)注字母，如圖所示，過A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故選：B．

【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．D
【分析】
通過作輔助線,過點C和點D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根據(jù)ABEF,可得ABEFCGDH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得γ+β-α=90°,進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖,過點C和點D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,
∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,
∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故選：D．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
6．B
【分析】
如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運用對頂角的性質(zhì)求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，∵直線a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故選：B．

【點撥】
該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎(chǔ)．
7．C
【解析】
試題分析：如圖，延長AC交EF于點G；∵AB∥EF，∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD⊥EF，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故選C．

考點：垂線的定義；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)

8．A
【詳解】
解：過點C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故選A．

【點撥】
本題考查平行線的判定與性質(zhì)．
9．B
【分析】
由題意過點B作直線，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．
【詳解】
解：如圖，過點B作直線，

∵直線m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故選：B．
【點撥】
本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】
過點E作EF∥AB，則EF∥CD，然后通過平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：過點E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖，
????
∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故選：C．
【點撥】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
11．C
【分析】
過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【詳解】
過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故選：C．

【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．
12．40°
【分析】
首先過點作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得的度數(shù)．
【詳解】
解：過點作，
，
，
，，
．
故答案為：．

【點撥】
此題考查了平行線的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法．
13．
【分析】
過E點作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．
【詳解】
解：過E點作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案為：80°．
【點撥】
本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．
14．38°
【分析】
過點B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，進(jìn)而可求∠2的度數(shù)．
【詳解】
如圖，過點B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案為：38°．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
15．90
【詳解】
解：如圖，過點E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，
∴，，
，，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即：，
∴．
故答案為：90．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角是解題的關(guān)鍵．
16．240° 51°
【分析】
（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計算∠B+∠F+∠C；
（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H．
【詳解】
（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，

AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，

∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案為：（1）240°；（2）51°．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．
17．60
【解析】
∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，∴∠CAD=60°.
故答案為60.
點撥：本題關(guān)鍵在于結(jié)合平行線的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和解題.
18．20°
【解析】試題分析：延長CB交直線m于D，根據(jù)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答即可，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠α．
試題解析：如圖，延長CB交直線m于D，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵l∥m，
∴∠1=40°．
∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．
考點：1．平行線的性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．
19．540
【分析】
分別過E、F作AB的平行線，運用平行線的性質(zhì)求解．
【詳解】
作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故答案為540°．
【點撥】
此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線，充分運用平行線的性質(zhì)探求角之間的關(guān)系．
20．110°．
【分析】
作BF∥AE，由平行線的性質(zhì)得∠A+∠ABF=180o，可求∠ABF=180o-∠A，由∠B＝110°，可求∠CBF=∠ABC-∠ABF=70o，由AE∥CD，推出BF∥CD，利用平行線的性質(zhì)∠FBC+∠C=180o，可求∠C．
【詳解】
如圖，五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度數(shù)．
作BF∥AE，
∴∠A+∠ABF=180o，
∵∠A＝140°，
∴∠ABF=180o-∠A=40o，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110o-40o=70o，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FBC+∠C=180o，
∴∠C=180o-∠FBC=180o-70o=110o．

【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)問題，關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)，會利用平行線的性質(zhì)求角，會作平行線，利用平行線的判定方法證明兩線平行．
21．（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】
（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；
（2）過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可得出結(jié)論；
（3）同樣過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”即可得出結(jié)論；
（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；
（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；
（2）如圖（2），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如圖（3），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，
即∠B+∠A+∠C=360o；
（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，
∵與平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，
∵與平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．

【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．
22．BEF；兩直線平行內(nèi)錯角相等；FEC；等量代換；C；FEC；DC；內(nèi)錯角相等兩直線平行
【分析】
根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成證明過程．
【詳解】
證明：過點，作，如圖2，
（兩直線平行 內(nèi)錯角相等），
，（已知），
（等量代換），
，
（內(nèi)錯角相等 兩直線平行），
，
．
故答案為：，兩直線平行 內(nèi)錯角相等，，等量代換，，，，內(nèi)錯角相等 兩直線平行．
【點撥】
本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運用．
23．（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由見解析；（3）∠EPF+（2n+1）?∠EQnF＝360°．
【分析】
（1）過P作PMAB，過Q作QNAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可解決問題；
（2）如圖2，過P作PM//AB，過Q作QNAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義便可2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根據(jù)（1）中的解題方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出規(guī)律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的結(jié)論2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可計算出∠EPF+2n+1?∠EQnF的結(jié)果，從而得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）過P作PMAB，過Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；
猜想：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系為∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案為55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如圖2，過P作PMAB，過Q作QNAB，
∵ABCD，
∴ABCDPM，ABCDQN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）根據(jù)（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β），
…
則∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，
∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．

【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角的規(guī)律等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
24．（1）∠GFD=34°；（2）∠BEG=54°．
【分析】
（1）由題意直接根據(jù)平行線的性質(zhì)即兩直線平行內(nèi)錯角相等進(jìn)行分析即可求解；
（2）根據(jù)題意過點G作GI//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可求解．
【詳解】
解：（1）∵AB//CD，
∴∠C=∠CAH=34°，
∵AC//GF，
∴∠GFD=∠C=34°
（2）過點G作GI//AB

∴∠HGI=∠H=10°，
∵AB//CD，
∴GI//CD
∴∠IGF=∠GFD=34°，
∴∠HGF=∠HGI+∠IGF=10°+34°=44°，
又∵HG平分∠EGF
∴∠HGE=∠HGF=44°，
∴∠BEG=∠HGE+∠HGI=44°+10°=54°.
【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
25．(1)110°；（2）①；②或
【分析】
（1）過點P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質(zhì)可以求得和的度數(shù)，進(jìn)一步可以得到的度數(shù)；
（2）分別過P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質(zhì)和角的加減運算可以得解．
【詳解】
解：（1）如圖，過點P作PE//AB，則由平行線的性質(zhì)可得PE//CD，所以：

，所以：
，
所以，；
（2）①，理由如下：
如圖，過P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：

，
∵，∴；
②分兩種情況討論：
第一種情況，P在射線AM上，如圖，過P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：

；
第二種情況，點P在OB之間，如圖，過P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：


【點撥】
本題考查平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在添加輔助線的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和角的加減運算是解題關(guān)鍵．
26．（1）108°；（2）見解析；（3）72°
【分析】
（1）過點F作FG∥AB，推出∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，結(jié)合已知即可求解；
（2）過點F作∥AB，過點M作∥，設(shè)∠FHD=，利用平行線的性質(zhì)得到∠3=∠EFH-∠ =108°-，利用鄰補角和角平分線的定義得到∠1=，根據(jù)∠=∠1列出等式即可證明；
（3）過點F作FG∥AB，延長NK交CD于Q，設(shè)∠FHD=，根據(jù)平行線和鄰補角的性質(zhì)推出∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，結(jié)合已知得到∠NEB=∠PEB=(72+)，利用∠NKB=∠NEB+∠ENK，列出等式即可求解．
【詳解】
（1）過點F作FG∥AB，

∵CD∥AB，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF+∠EFG=180，∠CHF+∠GFH=180，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360，
又∵∠AEF+∠CHF=∠EFH，
∴∠EFH +∠EFH=360，
解得：∠EFH=108；
故答案為：108；
（2）過點F作∥AB，過點M作∥，
設(shè)∠FHD=，

∵AB∥CD，
∴∥∥AB∥CD，
∴∠=，
∴∠3=∠EFH-∠ =108°-，
∴∠=∠3=108°-，
∵∠1=∠2，
∴∠1=，
∵∥CD，
∴∠=∠1，
∴∠FMH+108°- =，
∴2∠FMH+2108°-=180°-，
∴-2∠FMH=36°，
即∠FHD-2∠FMH=36°；
（3）過點F作FG∥AB，延長NK交CD于Q，設(shè)∠FHD=，

同理CD∥AB∥FG，
∴∠GFH=∠FHD=，
∴∠BEF=∠EFG=108-，
∴∠PEB=180-∠BEF =180-108+=72+，
∵，
∴∠NEB=∠PEB=(72+)，
∵NK∥FH，
∴∠NQD=∠FHD=，
∵CD∥AB，
∴∠NKB=∠NQD=，
∵∠NKB=∠NEB+∠ENK，
∴=(72+)+∠ENK，
∴=72+3∠ENK，
故∠FHD-3∠ENK=72．
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)及角平分線的定義，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同位角相等．作出適當(dāng)?shù)妮o助線，結(jié)合圖形等量代換是解答此題的關(guān)鍵．
27．（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）結(jié)論①正確，
【分析】
（1）根據(jù)點的平移規(guī)律易得點C，D的坐標(biāo)，可證四邊形ABDC是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式可求解；
（2）先計算出S△MAC=2，然后分M在x軸或y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式列方程求解，從而確定M的坐標(biāo)；
（3）作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．
【詳解】
解：（1）由題意可知：C點坐標(biāo)為，D點坐標(biāo)為（4，2）
∴AB=4，OC=2
S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8
故答案為：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在
，且

①當(dāng)點在軸上時，令

或
此時點的坐標(biāo)為
②當(dāng)點在軸上時，令

或b=1
此時點的坐標(biāo)為
綜上，點M的坐標(biāo)為
（3）結(jié)論①正確
過點作交與點
∵AB∥CD




【點撥】
本題是四邊形綜合題，考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
28．（1）過點作；（2）30；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；
（2）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；
（3）設(shè)，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．
【詳解】
（1）由圖中虛線可知PQ//AC，
∴小明同學(xué)輔助線的做法為過點作，
故答案為：過點作
（2）如圖2，過點作，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案為：30

（3）如圖，設(shè)，過點作，





∵

，即．

【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
29．問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見解析
【分析】
小明的思路是：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC＝110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【詳解】
解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案為：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

當(dāng)P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

【點撥】
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．
30．(1) 110°，剩余解答見解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由見解析
【分析】
(1)過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)過P作PE∥AD交CD于E點，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【詳解】
解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
故答案為：110°.
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下圖，過P作PE∥AD交CD于點E，

∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β
故答案為：∠CPD=∠α+∠β.
【點撥】
本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角.
31．（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由見解析．
【分析】
（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可解答；
（2）過點P作PF∥AB，則AB∥CD∥PF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可解答；
（3）根據(jù)AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（4）選擇以上結(jié)論任意一個進(jìn)行證明即可．
【詳解】
解：（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）過點P作直線PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
故答案為：∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB．
故答案為：∠PCD=∠APC+∠PAB．

（4）選擇結(jié)論∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
理由：過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．
【點撥】
本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．
32．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先過點P作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”進(jìn)一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”進(jìn)一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進(jìn)一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．
【詳解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：
如圖1所示，過點P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：
如圖2所示，過點P作PQ∥AB，

∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，
∴∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH
＝∠FEG?∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【點撥】
本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
33．（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析
【分析】
（1）①過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．
【詳解】
解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°．
證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，
∴結(jié)合（1）問得：
所有角的和為（n+1）?180°．

【點撥】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出結(jié)論．
34．（1）AB∥CD，EF∥HL，理由詳見解析；（2）∠P＝3∠Q．
【分析】
（1），；由同旁內(nèi)角互補可得；延長 交于，由平行線的性質(zhì)及已知，可得，從而可判定；
（2）；作，先由平行線的性質(zhì)推得，從而；同理可得；再將已知代入計算即可得解．
【詳解】
解：（1），
理由如下：
，

；
延長 交于





；
（2）
理由如下：
，作，

，
，

同理可得
，




．
【點撥】
本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線三線八角的基本模型是解題的關(guān)鍵．
35．（1）55°；（2）140°
【分析】
（1）過點B作BM∥AF，則BM∥AF∥CD，DA=140°，DC=165°，進(jìn)而即可求解；
（2）延長AB，DC交于點N，由∠ABC=55°，DBCD=165°,得∠BNC=40°，結(jié)合AB∥DE，即可得到答案．
【詳解】
（1）過點B作BM∥AF，
∵AF∥CD，
∴BM∥AF∥CD，
∴∠A+∠ABM=180°，∠C+∠CBM=180°，
∵DA=140°，DC=165°，
∴DB=∠ABM+∠CBM=360°-∠A-∠C=360°-140°-165°=55°．
（2）延長AB，DC交于點N，
∵∠ABC=55°，
∴∠NBC=125°，
∵DBCD=165°,
∴∠BNC=165°-125°=40°
若AB∥DE，則∠D=180°-40°=140°．
故答案是：140°


【點撥】
本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵．
36．.
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
又因為，得到，所以.
【詳解】
因為，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
，
即，
，
【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).
37．見解析.
【分析】
設(shè)，，
由題意得，
則，故，所以
【詳解】
設(shè)，，
由靴子圖知，
，
由靴子圖知，
，
.
【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，由題意得出x與y之間的關(guān)系式.
38．56°.
【分析】
由平行線的性質(zhì)可知，由三角形鄰補角可得，帶入題干信息即可得出答案.
【詳解】
由平行線的性質(zhì)可知，由三角形鄰補角以及鳥嘴圖DCEFBA知.
【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)，知道同位角相等時解題的關(guān)鍵.
39．.
【解析】
【分析】
作，得，由題意得，又因為，得到，即.
【詳解】
如圖，作，易證，由筆尖圖TABDS知，，又因為，所以，所以
.
【點撥】
本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
40．.
【解析】
【分析】
先設(shè)，，由題意的，，題意得到；由側(cè)M圖知，.
【詳解】
設(shè)，，
與的角平分線相交于點，
，，
由筆尖圖知，，
即，，
由側(cè)M圖知，.
【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，
并由題意得到x，y的關(guān)系式.

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