2.1　坐標(biāo)法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．理解平面直角坐標(biāo)系中的基本公式．(重點(diǎn))2．理解坐標(biāo)法的數(shù)學(xué)思想并能掌握坐標(biāo)法的應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助距離公式和坐標(biāo)法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．小華以馬路上的電線桿為起點(diǎn)，先向東走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小華現(xiàn)在的位置離電線桿多遠(yuǎn)？對(duì)于這類問題，我們可以建立一個(gè)直線坐標(biāo)系，確定出正、負(fù)方向，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式來求解．1．平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式如果數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為x1(即A的坐標(biāo)為x1，記作A(x1))，且B(x2)，則向量的坐標(biāo)為x2－x1，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|＝||＝|x2－x1|．如果M(x)是線段AB的中點(diǎn)，則＝．?dāng)?shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x＝．思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有怎樣的關(guān)系？[提示]　給定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝||＝，若M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則＝，則直角坐標(biāo)系內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x＝，y＝．2．坐標(biāo)法通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算等解決問題的方法稱為坐標(biāo)法．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)． (　　)(2)數(shù)軸上起點(diǎn)相同的向量方向相同． (　　)(3)點(diǎn)M(x)位于點(diǎn)N(2x)的左側(cè)． (　　)(4)數(shù)軸上等長(zhǎng)的向量是相等的向量． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×[提示]　(1)×　與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)．(2)×　終點(diǎn)不一定相同．(3)×　x與2x的大小無法確定．(4)×　方向不一定相同．2．(教材P69習(xí)題2－1A①改編)已知數(shù)軸上A(－3)，B(8)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為(　　)A．3　　　B．8　　　C．11　　　D．5C　[|AB|＝|8－(－3)|＝11．]3．已知A(1,2)，B(2,6)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為________．　[設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則x＝＝，y＝＝4，∴中點(diǎn)坐標(biāo)為．]4．已知A(2,4)，B(－1,3)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．　[|AB|＝＝．]數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)間的關(guān)系【例1】　(1)若點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(－2)，N(3)之間，求x的取值范圍；(2)試確定點(diǎn)A(a)，B(b)的位置關(guān)系．[解]　(1)由題意可知，點(diǎn)M(－2)位于點(diǎn)N(3)的左側(cè)，且點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(－2)，N(3)之間，所以－2<x<3．(2)確定兩點(diǎn)的位置關(guān)系，需要討論實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系：當(dāng)a>b時(shí)，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)B(b)的右側(cè)；當(dāng)a<b時(shí)，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)B(b)的左側(cè)；當(dāng)a＝b時(shí)，點(diǎn)A(a)與點(diǎn)B(b)重合．數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以點(diǎn)的坐標(biāo)的大小決定彼此的相互位置，顯然右邊的點(diǎn)的坐標(biāo)要大于左邊的點(diǎn)的坐標(biāo).1．不在數(shù)軸上畫點(diǎn)，判斷下列各組點(diǎn)的位置關(guān)系：(1)A(－3．2)，B(－2．3)；(2)A(m)，B(m2＋1)；(3)A(|a|)，B(a)．[解]　(1)因?yàn)?/span>－2．3>－3．2，所以A(－3．2)位于B(－2．3)的左側(cè)．(2)因?yàn)?/span>m2＋1－m＝＋≥>0，所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右側(cè)．(3)當(dāng)a≥0時(shí)，|a|＝a，則A(|a|)和B(a)為同一個(gè)點(diǎn)．當(dāng)a<0時(shí)，|a|>a，則A(|a|)位于B(a)的右側(cè)．數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離[探究問題]1．如果兩點(diǎn)的位置不確定，如何求其距離？[提示]　分類討論．2．向量的長(zhǎng)度及數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系．[提示]　|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA．【例2】　已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為－1,3，x．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)x．[思路探究]　數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離?點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系?數(shù)軸上的基本公式．[解]　由題意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，則3(x＋1)＝x－3，①或3(x＋1)＝－(x－3)．②解①得x＝－3；解②得x＝0．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為－3或0．1．本例中若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都是2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)x，此時(shí)點(diǎn)P與線段AB有著怎樣的關(guān)系？[解]　由題意知|PA|＝|PB|＝2，即解得x＝1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，顯然此時(shí)P為線段AB的中點(diǎn)．2．本例中在線段AB上是否存在點(diǎn)P(x)，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離都是3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)x；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解]　不存在這樣的點(diǎn)P(x)．因?yàn)?/span>d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使點(diǎn)P在線段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，則d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，這是不可能的．數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法(1)已知向量，，中的兩個(gè)的坐標(biāo)，求另外一個(gè)的坐標(biāo)時(shí)，使用＝＋求解．(2)已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo)，使用＝xB－xA求解．(3)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解． 兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【例3】　已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)求△ABC的面積．[思路探究]　(1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷△ABC的大致形狀，然后從邊著手或從角著手確定其形狀．(2)結(jié)合三角形形狀求解．[解]　(1)∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面積S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26．判斷三角形形狀的方法(1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向．(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別計(jì)算△ABC三邊的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形邊的長(zhǎng)度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理．2．若等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A是(3,0)，底邊BC的長(zhǎng)為4，BC邊的中點(diǎn)為D(5,4)，求等腰△ABC的腰長(zhǎng)．[解]　因?yàn)?/span>|AD|＝＝2，在等腰△ABD中，由勾股定理得，|AB|＝＝＝2．所以等腰△ABC的腰長(zhǎng)為2．坐標(biāo)法的應(yīng)用【例4】　如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，利用坐標(biāo)法證明梯形ABCD的對(duì)角線|AC|＝|BD|．[證明]　建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a,0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c)．∴|AC|＝＝，|BD|＝＝，故|AC|＝|BD|．利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．3．已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點(diǎn)為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：|AM|＝|BC|．[證明]　以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(b,0)，(0，c)，斜邊BC的中點(diǎn)為M，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即．由兩點(diǎn)間的距離公式得|BC|＝＝，|AM|＝＝，故|AM|＝|BC|．1．坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個(gè)已知點(diǎn)間的距離．反過來，已知兩點(diǎn)間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．平面幾何中與線段長(zhǎng)有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標(biāo)法來證明．用坐標(biāo)法解題時(shí)，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標(biāo)系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標(biāo)系會(huì)使計(jì)算有繁簡(jiǎn)之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必須“避繁就簡(jiǎn)”．3．本節(jié)課要掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系．(2)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式．4．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是坐標(biāo)法的應(yīng)用，容易將坐標(biāo)寫錯(cuò)．1．下列各組點(diǎn)中，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的右側(cè)的是(　　)A．C(－3)和D(－4)　　　 B．C(3)和D(4)C．C(－4)和D(3)   D．C(－4)和D(－3)A　[由數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)可知A正確．]2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A．　　　　 B．C．   D．B　[由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求得．]3．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于________．5　[|MN|＝＝5．]4．已知矩形相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的對(duì)角線交點(diǎn)在x軸上，求另外兩頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)．[解]　設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)為P(x,0)，則|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以對(duì)角線交點(diǎn)為P(－5,0)．所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．所以另外兩頂點(diǎn)的坐標(biāo)為C(－9，－3)，D(－8，－4)．  

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 坐標(biāo)法

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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