2.2.3　一元二次不等式的解法素養(yǎng)目標·定方向課程標準學(xué)法解讀1．會借助因式分解或配方法求解一元二次不等式．2．理解一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.在一元二次不等式求解中，應(yīng)辨明一元二次方程的根與一元二次不等式的解集關(guān)系，歸納總結(jié)出用一元二次方程解一元二次不等式的程序.必備知識·探新知基礎(chǔ)知識　　1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等．思考1：不等式x2＋>0是一元二次不等式嗎？提示：不是，一元二次不等式一定為整式不等式．2．一元二次不等式的解法(1)因式分解法如果x1<x2，則不等式__(x－x1)(x－x2)<0__的解集是(x1，x2)；不等式__(x－x1)(x－x2)>0__的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?/span>__(x－h)2>k或(x－h)2<k__的形式，再由k值情況，可得原不等式的解集，如下表： k>0k＝0k<0(x－h)2>k轉(zhuǎn)化為|x－h|>，解集為(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)(－∞，h)∪(h，＋∞)R(x－h)2<k轉(zhuǎn)化為|x－h|<，解集為(h－，h＋)??思考2：用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是什么？提示：用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項式的配方技巧．基礎(chǔ)自測　　1．不等式6－x－2x2<0的解集是(　D　)A．{x|－<x<2}　 B．{x|－2<x<}C．{x|x<－或x>2}　 D．{x|x>或x<－2}解析：不等式變形為2x2＋x－6>0，即(2x－3)(x＋2)>0，∴不等式的解集為{x|x<－2或x>}．故選D．2．不等式≥0的解集是(　B　)A．{x|－≤x≤}　 B．{x|－≤x<}C．{x|x>或x≤－}　 D．{x|x≥或x≤－}解析：原不等式可化為解得－≤x<，故其解集為{x|－≤x<}．故選B．3．①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，n∈R)．其中關(guān)于x的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(請把正確的序號都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因為當m＝0時，它是一元一次不等式；⑤不是，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是3；⑥是，盡管x2的系數(shù)含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥與④不同，故答案為①②⑥.4．不等式組0≤x2－2x－3<5的解集為__(－2，－1]∪[3,4)__.解析：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－2<x<4.∴－2<x≤－1或3≤x<4.∴原不等式的解集為(－2，－1]∪[3,4)．5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，則k的取值范圍是__(2,4)__.解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.關(guān)鍵能力·攻重難類型　解不含參數(shù)的一元二次不等式┃┃典例剖析__■典例1　解下列不等式：(1)x2＋x＋1>0；(2)(3x－1)(x＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解．解析：(1)由題意，可得x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不等式的解集為R.(2)由不等式(3x－1)(x＋1)>4，可化為3x2＋2x－5>0，即(x－1)(x＋)>0，所以不等式的解集為{x|x<－或x>1}．歸納提升：一元二次不等式的解題策略1．因式分解法：不等式的左端能夠進行因式分解的可用此法，它只能適應(yīng)于解決一類特殊的不等式．2．配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總可以化為(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根據(jù)k值的正負即可求得不等式的解集．┃┃對點訓(xùn)練__■1．解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)4x2－12x＋9>0.解析：(1)原不等式可化為(2x－1)(x＋3)<0，∴原不等式的解集為(－3，)．(2)原不等式可化為x2－3x＋>0，因為x2－3x＋＝(x－)2，所以原不等式可化為(x－)2>0，所以只要x≠，不等式即成立，所以原不等式的解集為(－∞，)∪(，＋∞)．類型　分式不等式的解法┃┃典例剖析__■典例2　解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.思路探究：(1)解分式不等式的關(guān)鍵是把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，特別注意不能直接去分母．(2)當分式不等式的右邊不為0時，要先移項、通分、合并同類項，再進行等價轉(zhuǎn)化．解析：(1)∵≥0，∴∴即x<－或x≥.∴原不等式的解集為{x|x<－或x≥}．(2)原不等式可化為>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－.∴原不等式的解集為{x|－3<x<－}．歸納提升：解分式不等式的關(guān)注點(1)根據(jù)是實數(shù)運算的符號法則，分式不等式經(jīng)過同解變形可化為四種類型，解題思路如下：①>0?f(x)g(x)>0；②<0?f(x)g(x)<0；③≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；④≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先兩邊同時乘以分母的平方去分母，再移項，因式分解，轉(zhuǎn)化為用上述方法求解．┃┃對點訓(xùn)練__■2．(1)已知集合A＝{x|≤0}，B＝{0,1,2,3}，則A∩B＝(　A　)A．{1,2}　 B．{0,1,2}C．{1}　 D．{1,2,3}(2)若關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集為(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式>0的解集為__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.解析：(1)由已知得A＝{x|0<x≤2}，又B＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{1,2}．(2)由ax－b>0的解集為(1，＋∞)可得＝1，且a>0，∴>0可化為>0.解得x<－1或x>3.類型　—元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系┃┃典例剖析__■典例3　不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a>0的解集為(　A　)A．{x|x<－1或x>}　 B．{x|－1<x<}C．{x|－2<x<1}　 D．{x|x<－2或x>1}思路探究：解答本題需從一元二次不等式的解集與不等式對應(yīng)的一元二次方程根的情況的關(guān)系著手．解析：方法一：由題設(shè)條件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個實根．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，知解得則2x2＋x－1>0的解集是{x|x<－1或x>}．方法二：由題設(shè)條件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個實根．分別把x＝－1，x＝2代入方程ax2＋bx＋2＝0中，得解得則2x2＋x－1>0的解集是{x|x<－1或x>}．歸納提升：已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集，則可知a的符號和ax2＋bx＋c＝0的兩實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知a，b，c之間的關(guān)系．例如，若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|d<x<e}(d<e)，則說明a<0，x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集為{x|x<d或x>e}(d<e)，則說明a>0，x1＝d，x2＝e分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即d＋e＝－，d·e＝.┃┃對點訓(xùn)練__■3．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝(　A　)A．　 B．　　C．　 D．解析：方法一：x2－2ax－8a2<0可化為(x＋2a)(x－4a)<0.∵a>0且解集為(x1，x2)，則x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，故a＝.方法二：由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，結(jié)合a>0得a＝.易混易錯警示　忽略二次項系數(shù)為負┃┃典例剖析__■典例4　求一元二次不等式－x2＋5x－4>0的解集．錯因探究：解一元二次不等式時易忽略二次項系數(shù)的符號，特別是當二次項系數(shù)為負數(shù)，利用因式分解法解不等式時，容易寫錯解集．解析：原不等式等價于x2－5x＋4<0，即等價于(x－1)(x－4)<0，所以原不等式的解集為{x|1<x<4}．誤區(qū)警示：若一元二次不等式的二次項系數(shù)為負數(shù)，通常先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再求解．將二次項系數(shù)化為正數(shù)時，可以將不等式兩邊同乘以－1，也可以移項，具體解題時，一定要注意不等號的方向．二次項系數(shù)含參數(shù)時，要嚴格分系數(shù)為正、系數(shù)為0、系數(shù)為負三種情況進行討論，缺一不可，若認為當系數(shù)為0時，為一元一次不等式，故不討論，這是不可以的．因為只要題中沒有明確說明為一元二次不等式，就必須討論這種情況．學(xué)科核心素養(yǎng)　用分類討論思想解含參不等式┃┃典例剖析__■對于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．典例5　解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．思路探究：本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的求解，可通過分解因式、分類討論求解．解析：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.當a<0時，a<a2，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當a＝0時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠0，x∈R}；當0<a<1時，a2<a，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當a＝1時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠1，x∈R}；當a>1時，a<a2，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}．綜上所述，當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當0<a<1時，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1，x∈R}；當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0，x∈R}．課堂檢測·固雙基1．不等式3x2－2x＋1>0的解集為(　D　)A．{x|－1<x<}　 B．{x|<x<1}C．?　 D．R解析：由3x2－2x＋1>0得x2－x＋>0，所以(x－)2>－顯然成立，所以原不等式的解集為R.2．不等式<0的解集為(　C　)A．{x|x>1}　 B．{x|x<－2}C．{x|－2<x<1}　 D．{x|x>1或x<－2}解析：原不等式等價于(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1.3．不等式4－x2≥0的解集是__[－2,2]__.解析：根據(jù)題意，4－x2≥0?x2≤4?|x|≤2?－2≤x≤2，即不等式4－x2≥0的解集是[－2,2]．4．不等式≥0的解集為__(－2,1]__.解析：由≥0，得即解得－2<x≤1，所以不等式的解集是(－2,1]．5．解下列不等式．(1)x2－4x＋3≤0；(2)≥0.解析：(1)x2－4x＋3≤0，即(x－3)(x－1)≤0，解得1≤x≤3.所以不等式的解集為{x|1≤x≤3}．(2)≥0等價于解得x≤－2或x>，故不等式的解集為{x|x≤－2或x>}． 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.3 一元二次不等式的解法

版本： 人教B版 (2019)

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