2.2.3　一元二次不等式的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的過程,能用符號語言來描述這個模型,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);2.通過一元二次不等式實例的求解,能概括解一元二次不等式的一般步驟,提高總結(jié)歸納能力;會運(yùn)用一元二次不等式知識解決有關(guān)的問題,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.自主預(yù)習(xí)汽車在行駛中,由于慣性,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為40 km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對,同時剎車,但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查,測得甲車的剎車距離略超過6 m,乙車的剎車距離略超過10 m.已知甲、乙兩種車型的剎車距離s m與車速v km/h之間的關(guān)系分別為s甲=v2-v,s乙=v2-v.試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象.不難看出,要判斷甲、乙兩車是否超速,就是要得到它們車速的取值范圍,也就是要解不等式v2-v>6和　　　　　, 即v2-10v-600>0和　　　　　, 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式稱為　　　　　,其中a,b,c是　　　　　,而且　　　　　.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等. [嘗試與發(fā)現(xiàn)1]任意選定一些數(shù),看它們是否是不等式x(x-1)>0的解,由此給出解這個不等式的方法.注意到　　　　　　　　,結(jié)果才能是正數(shù),也就是說,ab>0當(dāng)且僅當(dāng) 或因此,不等式可以轉(zhuǎn)化為兩個不等式組或用類似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解,但此時的依據(jù)是:ab<0當(dāng)且僅當(dāng)或　　　　　, 因為不等式可以轉(zhuǎn)化為兩個不等式組或一般地,如果x1<x2,則不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是　　　　　　　　. 不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是　　　　　　　　　　　　　　. [嘗試與發(fā)現(xiàn)2]通過代入數(shù)值驗證的方法,猜測以下一元二次不等式的解集,由此總結(jié)求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x2<-1;(2)x2>-2;(3)x2<9.因為任何一個實數(shù)的平方一定是一個非負(fù)數(shù),因此上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中(1)的解集為　　　　,(2)的解集為　　　　. 對于x2<9來說,兩邊同時開根號可得<,即|x|<3,因此-3<x<3,從而得到(3)的解集為(-3,3).課堂探究例1　求不等式x2-x-2>0的解集.   反思感悟:因式分解法:不等式的左端能夠進(jìn)行因式分解可用此法,它只能適用于解決一類特殊的不等式.跟蹤訓(xùn)練1　求下列不等式的解集:(1)2x2+x-6>0;　　　　　(2)(3x-1)(x+4)>0.   例2　求下列不等式的解集:(1)x2+4x+1≥0; (2)x2-6x-1≤0;    (3)-x2+2x-1<0; (4)2x2+4x+5>0.    反思感悟:配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通過配方總可以化為(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根據(jù)k值的正負(fù)即可求得不等式的解集.跟蹤訓(xùn)練2　求下列不等式的解集:(1)x2+x+1>0. (2)-4x2+18x-≥0.   例3　求不等式≥1的解集.   　　反思感悟:1.對于比較簡單的分式不等式,可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.2.對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解.跟蹤訓(xùn)練3　求下列不等式的解集:(1)<0; (2)≤2.     核心素養(yǎng)專練1.不等式x2>1的解集是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　A.{x|x>1} B.{x|x>±1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x>1或x<-1}2.不等式x(2-x)<0的解集是(　　)A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)3.不等式x2+2x-3<0的解集為(　　)A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3}C.{x|-1<x<3} D.{x|-3<x<1}4.求下列不等式的解集:(1)x(x-3)<0; (2)(x+1)(1-x)≥0;    (3)x2+6x-7≤0; (4)x2-8x+16<0.    5.求下列不等式的解集:(1)x2+2x-5<0; (2)x2-4x-2≥0;     (3)x2+6x+10≤0; (4)x2-8x+16≤0;     (5)-x2+8x-1≤0; (6)2x2-4x+3<0.    6.求下列不等式的解集:(1)>0; (2)>1.    參考答案自主預(yù)習(xí)v2-v>10,v2-10v-2 000>0,一元二次不等式,常數(shù),a≠0,只有兩個同號的數(shù)相乘,(x1,x2),(-∞,x1)∪(x2,+∞),?,R課堂探究例1　(-∞,-1)∪(2,+∞).跟蹤訓(xùn)練1　(1)(-∞,-2)∪(2)(-∞,-4)∪例2　(1)(-∞,-2- ]∪[-2+,+∞)(2)[3-,3+ ](3){x|x≠1}(4)R跟蹤訓(xùn)練2　(1)R(2)例3　(-∞,-3]∪(2,+∞)跟蹤訓(xùn)練3　(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)(-∞,2)∪[5,+∞)核心素養(yǎng)專練1.D　2.D　3.D　4.(1)(0,3)　(2)[-1,1](3)[-7,1]　(4)?5.(1)[-1-,-1+](2)(-∞,2- ]∪[2+,+∞)　(3)?(4){4}　(5)(-∞,4-]∪[4+,+∞)(6)?6.(1)(-∞,-1)∪(1,+∞)　(2)(1,2)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能在現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境中提取出一元二次不等式模型.2.能恰當(dāng)使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.課堂探究情境與問題:汽車在行駛中,由于慣性,剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止,一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為40 km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對,同時剎車,但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查,測得甲車的剎車距離略超過6 m,乙車的剎車距離略超過10 m.已知甲、乙兩種車型的剎車距離s m與車速v km/h之間的關(guān)系分別為s甲=v2-v,s乙=v2-v.試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象.任務(wù)一:通過閱讀上面內(nèi)容,解答以下問題:問題1:(1)如何構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)系式解決是否超速問題?  (2)所得數(shù)學(xué)關(guān)系特征是什么?一般的,形如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的不等式稱為一元二次不等式,其中a,b,c是　　　　　,而且　　　　　,不等號也可以是　　　　　　　　　　　. 任務(wù)二:探究形如:(x-x1)(x-x2)>0或(x-x1)(x-x2)<0的解集.問題2:(1)兩個數(shù)相乘結(jié)果為正數(shù),則這兩個數(shù)滿足什么關(guān)系?  依據(jù):ab>0當(dāng)且僅當(dāng)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. (2)x(x-1)>0可以等價轉(zhuǎn)化成什么形式?解集是什么?(3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么?依據(jù):ab<0當(dāng)且僅當(dāng)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 結(jié)論:一般地,如果x1<x2,則不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是　　　　　　　　. 不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是　　　　　　　　　　　　　　. 這種解不等式的方法叫因式分解法.問題3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?例1　求不等式x2-x-2>0的解集.  回到情境與問題中的不等式,v2-10v-600>0可以化為(v+20)(v-30)>0,因此甲車的車速v>30;而v2-10v-2 000>0可以化為　　　　　　　　　　　　　　　, 因此乙車的車速　　　　　.由此可見,乙車肯定超速了. 小結(jié)因式分解法解題規(guī)律:  任務(wù)三:探究形如:(x-h)2>k或(x-h)2<k的解集問題4:(1)通過代入數(shù)值驗證的方法,猜測以下一元二次不等式的解集:①x2<-1　　　　　;②x2>-2　　　　　;③x2<9　　　　　. (2)類比方程的研究方法,解不等式x2<9.  (3)借助(2)解法特點解不等式x2-6x-1≤0.  結(jié)論:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?/span>(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根據(jù)k的正負(fù)等知識,就可以得到原不等式的解集.這種解不等式的方法叫配方法.問題5:(1)配方法適合解什么特征的一元二次不等式?(2)幾種特殊情形:①(x-h)2>0的解集為　　　　　;(x-h)2<0的解集為　　　　　　　. ②當(dāng)k<0時,不等式(x-h)2>k的解集為　　　,不等式(x-h)2<k的解集為　　　. 例2　求下列不等式的解集:(1)x2+4x+1≥0;　　　　　　(2)-x2+2x-1<0; (3)2x2+4x+5>0. 變式訓(xùn)練:->-x2. 小結(jié)配方法解題規(guī)律:  拓展性問題:求不等式≥1的解集.  課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?(知識層面、思想方法層面) 布置作業(yè)1.閱讀課本,結(jié)合學(xué)案,進(jìn)行知識整理、整合.2.完成課本第71頁A組　第2,3題;B組　第1,2題.3.選做題:B組　第5題.參考答案課堂探究問題1:(1)v2-v>6;v2-v>10(2)ax2+bx+c>0;常數(shù);a≠0;<　≥　≤問題2:(1)同號;或(2)或(-∞,0)∪(1,+∞)(3)(-1,1);或(x1,x2);(-∞,x1)∪(x2,+∞)問題3:一元二次不等式是特殊類型、能因式分解.例1　(-∞,-1)∪(2,+∞)情境與問題:(v+40)(v-50)>0;v>50.問題4:(1)①?;②R;③(-3,3).(2)∵x2<9,∴<,即|x|<3,∴-3<x<3.不等式的解集為(-3,3).(3)[3-,3+ ].問題5:(1)一般的一元二次不等式(2)①(-∞,h)∪(h,+∞);?;②R;?例2　(1)(-∞,-2-]∪[-2+,+∞)(2)(-∞,1)∪(1,+∞)　(3)R變式訓(xùn)練:(-∞,-1)∪拓展性問題:(-∞,-3]∪(2,+∞)課堂小結(jié)略布置作業(yè)略 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.3 一元二次不等式的解法

版本： 人教B版 (2019)

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