第二章  等式與不等式2.2.3 一元二次不等式的解法教學設計教材分析本節(jié)內容為一元二次不等式的解法。教材主要給出了因式分解法、配方法。教學目標：1.使學生會用因式分解和配方法解一元二次不等式;2.使學生會運用轉化的方法解簡單分式不等式;3.向學生滲透化歸和轉化的數(shù)學思想方法;4.培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).【教學重點】1.掌握用因式分解法解決一元二次不等式.2.掌握用配方法解決一元二次不等式.【教學難點】1.對特殊的一元二次不等式進行變形回顧所學的一元二次方程的解法。教學過程【情境與問題】      不難看出，要判斷甲、乙兩車是否超速，就是要得到它們車速的取值范圍，也就是要解不等式       即一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等如何求一個一元二次不等式的解集呢？讓我們從簡單的一元二次不等式開始探討.首先來看一元二次不等式x（x一1）>0.              ①【嘗試與發(fā)現(xiàn)】  注意到只有兩個同號的數(shù)相乘，結果才能是正數(shù)，也就是說，ab>0當且僅當a>0， 或   a<0，b>0       b<0.因此，不等式①可以轉化為兩個不等式組x>0，      或     x<0，x-1>0             x-1<0.解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集為（一∞，0）∪（1，+∞）.用類似的方法可以求得不等式（x+1）（x-1）<0            ②的解，但此時的依據(jù)是：ab<0當且僅當a<0， 或   a＞0b>0        b＜0 因為不等式②可以轉化為兩個不等式組x+1<0， 或  x+1>0，x-1>0       x-1<0.不難解得x∈?或-1＜x＜1，因此不等式②的解集為                            （-1，1）一般地，如果x1<x2，則不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是（x1，x2），不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）【典型例題】例1   求不等式x2-x-2>0的解集.解  因為x2-x-2=（x+1）（x-2），所以原不等式等價于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集為（一∞，一1）U（2，+∞）.回到情境與問題中的不等式，v2-10v-600>0可以化為（v+20）（v-30）>0，因此甲車的車速v>30；而v2-10v-2000>0可以化為（v+40）（v-50）>0，因此乙車的車速v＞50.由此可見，乙車肯定超速了.上述我們介紹的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.當然，這種方法只有在一元二次不等式是特殊類型時才比較方便，那么一般情況該怎么辦呢？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】    因為任何一個實數(shù)的平方一定是一個非負數(shù)，因此上述嘗試與發(fā)現(xiàn)中（1）的解集為?，（2）的解集為R對于x2<9.來說，兩邊同時開根號可得，即|x|<3，因此-3<x<3，從而得到（3）的解集為（-3，3）.這就是說，一般的一元二次不等式可以通過配方法來求得解集.例2 求下列不等式的解集：（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.解（1）因為x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，所以原不等式可化為（x+2)2-3≥0，即（x+2)2≥3，兩邊開平方得|x+2|≥，從而可知x+2≤ -或x+2≥，因此x≤ -2-或x≥-2+，所以原不等式的解集為（一∞，-2-]∪[-2+，+∞）.（2）因為x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，所以原不等式可化為(x-3)2-10≤0，即(x-3)2≤10，兩邊開平方得|x-3|≤，從而可知-≤ x-3 ≤，因此3-≤x≤3+，所以原不等式的解集為[3-，3+].（3）原不等式可化為x2-2x+1>0，又因為x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化為（x-1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集為（一∞，1）U（1，+∞）.（4）原不等式可以化為    因為         所以原不等式可以化為        即  不難看出，這個不等式恒成立，即原不等式的解集為R.由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通過配方總是可以變?yōu)?/span>(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根據(jù)k的正負等知識，就可以得到原不等式的解集。 例3 求不等式          的解集. 解  由題意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式兩邊同時乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集為（-∞，-3]U（2，+∞）.例3說明，有些不等式通過變形之后，可以借助于一元二次不等式的解法來解，請讀者自行總結其中的規(guī)律。教學反思本節(jié)內容需要學生掌握因式分解法、配方法，對學生的運算能力有一定要求。     

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2.2.3 一元二次不等式的解法

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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