最新課程標(biāo)準(zhǔn)：從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式．①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函數(shù)的圖像，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.知識點(diǎn)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系 Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??　一元二次不等式的解法：(1)圖像法：一般地，當(dāng)a>0時，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡圖；③由圖像得出不等式的解集．對于a<0的一元二次不等式，可以直接采取類似a>0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解． (2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p<q時，若(x－p)(x－q)>0，則x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，則p<x<q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．  [基礎(chǔ)自測]1．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)A．a2x2＋2≥0      B.<3C．－x2＋x－m≤0  D．x3－2x＋1>0解析：選項(xiàng)A中，a2＝0時不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為三次；只有選項(xiàng)C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集為(　　)A．[－1，＋∞)  B．[－1,0)C．(－∞，－1]  D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故選D.答案：D3．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　)A．[－7,1]  B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)  D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故選B.答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集為________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化為(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1} 題型一　解不含參數(shù)的一元二次不等式[教材P65例1　P66例3、例4]例1　(1)求不等式x2－x－2>0的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－1<0的解集．【解析】　(1)因?yàn)?/span>x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等價于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因?yàn)?/span>x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化為(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，兩邊開平方得|x－3|≤，從而可知－≤x－3≤，因此3－≤x≤3＋，所以不等式的解集為[3－，3＋]．(3)原不等式可化為x2－2x＋1>0，又因?yàn)?/span>x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化為(x－1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集為(－∞，1)∪(1，＋∞).  教材反思我們以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過程． 跟蹤訓(xùn)練1　解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)－2x2＋3x－2<0.解析：(1)因?yàn)?/span>Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有兩個不等實(shí)根x1＝3，x2＝4.再根據(jù)函數(shù)y＝x2－7x＋12的圖像開口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)不等式兩邊同乘－1，原不等式可化為x2＋2x－3≤0.因?yàn)?/span>Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有兩個不等實(shí)根x1＝－3，x2＝1.再根據(jù)函數(shù)y＝x2＋2x－3的圖像開口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)因?yàn)?/span>Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有兩個相等的實(shí)根x1＝x2＝1.再根據(jù)函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖像開口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集為?.(4)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖像開口向上，所以原不等式的解集為R.　―→題型二　三個“二次”之間的關(guān)系[經(jīng)典例題]例2　已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【解析】　方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為∪.方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a?b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0?6a<0，故原不等式的解集為∪.　→→→→ 方法歸納一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時可以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍． 跟蹤訓(xùn)練2　已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集為，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．解析：因?yàn)?/span>x2＋px＋q<0的解集為，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得解得所以不等式qx2＋px＋1>0即為－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集為{x|－2<x<3}． 　→→→ 題型三　含參數(shù)的一元二次不等式的解法[經(jīng)典例題]例3　解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2>0.【解析】　對于方程2x2＋ax＋2＝0，其判別式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．①當(dāng)a>4或a<－4時，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的兩根為x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．∴原不等式的解集為.②當(dāng)a＝4時，Δ＝0，方程有兩個相等實(shí)根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集為{x|x≠－1}．③當(dāng)a＝－4時，Δ＝0，方程有兩個相等實(shí)根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集為{x|x≠1}．④當(dāng)－4<a<4時，Δ<0，方程無實(shí)根，∴原不等式的解集為R. 　二次項(xiàng)系數(shù)為2，Δ＝a2－16不是一個完全平方式，故不能確定根的個數(shù)，因此需對判別式Δ的符號進(jìn)行討論，確定根的個數(shù). 方法歸納含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個數(shù)；(3)當(dāng)Δ>0時，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大??；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．跟蹤訓(xùn)練3　解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可變形為(x－a)·(x－a2)>0，則方程(x－a)(x－a2)＝0的兩個根為x1＝a，x2＝a2，(1)當(dāng)a<0時，有a<a2，∴x<a或x>a2，此時原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；(2)當(dāng)0<a<1時，有a>a2，即x<a2或x>a，此時原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；(3)當(dāng)a>1時，有a2>a，即x<a或x>a2，此時原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；(4)當(dāng)a＝0時，有x≠0；∴原不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；(5)當(dāng)a＝1時，有x≠1，此時原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}；綜上可知：當(dāng)a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠1}． 　→→→ 題型四　一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用[經(jīng)典例題]例4　某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(百臺)，其總成本為g(x)萬元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，并且銷售收入r(x)滿足r(x)＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求：(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？【解析】　(1)依題意得g(x)＝x＋3，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝要使工廠有盈利，則有f(x)>0，因?yàn)?/span>f(x)>0?或?或?或則3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺小于1 050臺的范圍內(nèi)．(2)當(dāng)3＜x≤7時，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故當(dāng)x＝6時，f(x)有最大值4.5，而當(dāng)x＞7時，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺產(chǎn)品時盈利最大.(1)求利潤函數(shù)f(x)?解不等式f(x)>0?回答實(shí)際問題．(2)根據(jù)第(1)題所求范圍，分類討論求函數(shù)最值?回答實(shí)際問題． 方法歸納解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實(shí)際問題．特別提醒：確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”． 跟蹤訓(xùn)練4　某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn)．(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．解析：(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(1＋2x%)依題意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%＝20a(萬元)．依題意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化簡得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范圍是{x|0＜x≤2}． 　根據(jù)題意，列出各數(shù)量之間的關(guān)系表，如下： 原計(jì)劃降稅后價格(元/擔(dān))200200稅率10%(10－x)%(0<x<10)收購量(萬擔(dān))aa(1＋2x%)收購總金額(萬元)200a200·a(1＋2x%)稅收y(萬元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%    課時作業(yè) 12一、選擇題1．不等式3x2－2x＋1>0的解集為(　　)A.  B.C．?           D．R解析：因?yàn)?/span>Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以拋物線y＝3x2－2x＋1開口向上，與x軸無交點(diǎn)，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集為R.答案：D2．設(shè)m＋n>0，則關(guān)于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)A．{x|x<－n或x>m}  B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n}  D．{x|－m<x<n}解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化為(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的兩根為x1＝m，x2＝－n.由m＋n>0，得m>－n，則不等式(x－m)(x＋n)<0的解集是{x|－n<x<m}，故選B.答案：B3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集為，則a，c的值分別為(　　)A．a＝6，c＝1  B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1  D．a＝－1，c＝－6解析：由題意知，方程ax2＋5x＋c＝0的兩根為x1＝，x2＝，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝.解得a＝－6，c＝－1.答案：B4．若不等式x2＋mx＋>0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)A．(2，＋∞)             B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)  D．(0,2)解析：由題意知原不等式對應(yīng)方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0<m<2，故答案為D.答案：D二、填空題5．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集為________．解析：方程(2x－5)(x＋3)＝0的兩根為x1＝，x2＝－3，函數(shù)y＝(2x－5)(x＋3)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)和，所以不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集為.答案：6．不等式<0的解集為________．解析：原不等式可以化為(2x－1)(2x＋1)<0，即<0，故原不等式的解集為.答案：7．用一根長為100 m的繩子能圍成一個面積大于600 m2的矩形嗎？若“能”，當(dāng)長＝________ m，寬＝________ m時，所圍成的矩形的面積最大．解析：設(shè)矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50－x)m,0<x<50.由題意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.所以，當(dāng)矩形一邊的長在(20,30)的范圍內(nèi)取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形．用S表示矩形的面積，則S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0<x<50)．當(dāng)x＝25時，S取得最大值，此時50－x＝25.即當(dāng)矩形的長、寬都為25 m時，所圍成的矩形的面積最大．答案：25　25三、解答題8．解下列不等式：(1)x2＋2x－15>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解析：(1)x2＋2x－15>0?(x＋5)(x－3)>0?x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．(2)因?yàn)?/span>Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根據(jù)函數(shù)y＝x2－3x＋5圖像的開口方向，所以原不等式的解集為R.(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等價于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖像知，原不等式的解集為.9．若關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．解析：由題意知所以代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)．即x2＋x＋1<0，化簡得x2＋5x＋6<0，所以所求不等式的解集為{x|－3<x<－2}．[尖子生題庫]10．解關(guān)于x的不等式x2－ax－2a2<0. 解析：方程x2－ax－2a2＝0的判斷式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程兩根x1＝2a，x2＝－a.(1)若a>0，則－a<x<2a，此時不等式的解集為{x|－a<x<2a}；(2)若a<0，則2a<x<－a，此時不等式的解集為{x|2a<x<－a}；(3)若a＝0，則原不等式即為x2<0，此時解集為?.綜上所述，原不等式的解集為：當(dāng)a>0時，{x|－a<x<2a}；當(dāng)a<0時，{x|2a<x<－a}；當(dāng)a＝0時，?.

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.3 一元二次不等式的解法

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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