考點21概率考點總結(jié)1.事件的概念必然事件:在現(xiàn)實生活中一定會發(fā)生的事件.不可能事件:一定不會發(fā)生的事件.事件的分類：2.概率定義:在次重復試驗中,如果事件發(fā)生的次數(shù)為,當越來越大時,頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近,那么這個常數(shù)就叫做事件的概率,記為概率的取值范圍:因為在次試驗中,事件發(fā)生的頻數(shù)滿足,所以,進而可知頻率所穩(wěn)定到的常數(shù)滿足,因此.規(guī)律:(1)必然事件的概率:當是必然事件時,在次試驗中,事件發(fā)生的頻數(shù),相應的頻率,隨著的增加,頻率始終穩(wěn)定為1,因此;(2)不可能事件的概率:是不可能發(fā)生的事件時,事件發(fā)生的頻率,相應的頻率,因此;(3)隨機事件的頻率:事件發(fā)生的可能性越大,則它的概率越接近于1;反之，事件發(fā)生的可能性越小,則它的概率越接近于0,因此,隨機事件的概率應為3.概率的計算方法:(1)列舉法:一般地,如果在一次試驗中,有種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件包含其中的種結(jié)果,那么事件發(fā)生的概率為(2)列表法：當事件發(fā)生的可能性為有限個,且可能性情況明確時,可用列表法列出所有可能的情況,再看其中適合題意的情況占總數(shù)的比值,借此確定該事件A發(fā)生的概率;(3)樹狀圖法:當一次試驗要涉及三個或更多步驟完成時,用“樹狀圖”的方法求事件A的概率很有效.4.利用概率設計游戲方案應用:概率在日常生活和科技方面有廣泛的應用，如福利彩票、體育彩票、有獎促銷等.幾個人玩一種游戲,對所有人是否公平,主要從兩個方面來檢測:一是判斷游戲雙方操縱的是否是同類事件,二是兩個事件發(fā)生的可能性是否相等.注意:理解游戲是否公平應注意的問題:(1)要使游戲?qū)﹄p方公平,首先是游戲的操作方式、程序、規(guī)則等條件必須相等,另一個重要的方面是雙方獲勝的可能性要求相等;(2)在設計轉(zhuǎn)盤游戲中,一般要將轉(zhuǎn)盤均分成若干份,從而保證指針落在各個區(qū)域的可能性都相同。真題演練 一、單選題1．（2021·山東臨沂·中考真題）現(xiàn)有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期，隨機抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出所有的情況，再得到至少有一盒過期的情況數(shù)，利用概率公式計算即可．【詳解】解：∵有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期，設未過期的兩盒為A，B，過期的兩盒為C，D，隨機抽取2盒，則結(jié)果可能為（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6種情況，其中至少有一盒過期的有5種，∴至少有一盒過期的概率是，故選D．2．（2021·山東東營·中考真題）經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或右拐．假設這三種可能性相同，現(xiàn)有兩車經(jīng)過該路口，恰好有一車直行，另一車左拐的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出恰有一車直行，另一車左拐的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰有一車直行，另一車左拐的結(jié)果數(shù)為2，所以恰有一車直行，另一車左拐的概率＝ ．故選A．3．（2021·山東威海·中考真題）在一個不透明的袋子里裝有5個小球，每個球上都寫有一個數(shù)字，分別是1，2，3，4，5，這些小球除數(shù)字不同外其它均相同．從中隨機一次摸出兩個小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過列舉的方法將所有可能的情況一一列舉，進而找出小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的情況即可求出對應概率．【詳解】所有可能出現(xiàn)的情況列舉如下：；；；；；；共10種情況，符合條件的情況有：；；；共3種情況；小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為，故選：C．4．（2021·山東濱州·中考真題）在四張反面無差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形．現(xiàn)將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷各圖形是否是軸對稱圖形，再根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵線段是軸對稱圖形，等邊三角形是軸對稱圖形，平行四邊形不是軸對稱圖形，正六邊形是軸對稱圖形，分別用A、B、C、D表示線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形，∴隨機抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為=，故選：A．5．（2021·山東濟南·中考真題）某學校組織學生到社區(qū)開展公益宣傳活動，成立了“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)保”三個宣傳隊，如果小華和小麗每人隨機選擇參加其中一個宣傳隊，則她們恰好選到同一個宣傳隊的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，用列表法求出概率即可．【詳解】根據(jù)題意，設三個宣傳隊分別為列表如下：小華\小麗總共由9種等可能情況，她們恰好選擇同一個宣傳隊的情況有3種，則她們恰好選到同一個宣傳隊的概率是．故選C6．（2021·山東南區(qū)·二模）一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，再放回，不斷重復上述過程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明可估計口袋中的白球大約有（    ）A．18個 B．15個 C．12個 D．10個【答案】C【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：4，由此可估計口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1：4；即可計算出白球數(shù)．【詳解】解：由題可得：312（個）．故答案為：12．7．（2021·山東東營·二模）有20張背面完全一樣的卡片，其中8張正面印有天鵝湖風光，7張正面印有黃河入?？谧匀伙L景，5張正面印有孫武湖景色．把這些卡片的背面朝上，攪勻后從中隨機抽出一張卡片，抽到正面是天鵝湖風光卡片的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)天鵝湖風光卡片的張數(shù)除以卡片的總張數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：共有圖片20張，天鵝湖風光卡片8張，抽到正面是天鵝湖風光卡片的概率是：．故選：C．8．（2021·山東淄川·一模）從－3，0，1，2這四個數(shù)中任取一個數(shù)作為一元二次方程的系數(shù)的值，能使該方程有實數(shù)根的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到△=32+4a≥0且，解得a≥且，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：當△=32+4a≥0且時，一元二次方程有實數(shù)根，
所以a≥且，
從－3，0，1，2這4個數(shù)中任取一個數(shù)，滿足條件的結(jié)果數(shù)有，
所以所得的一元二次方程中有實數(shù)根的概率是．
故選：．9．（2021·山東淄川·二模）某公司的班車在7：30，8：00，8：30從某地發(fā)車，小李在至之間到達車站乘坐班車，如果他到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先列出等車時間不超過10分鐘的時間段，再根據(jù)概率公式求解即可得．【詳解】解：由題意，小李等車時間不超過10分鐘的時間段為：至、至，一共20分鐘；從至一共有40分鐘，則他等車時間不超過10分鐘的概率是，故選：B．10．（2021·山東龍口·一模）有甲、乙兩把不同的鎖，各配有2把鑰匙．若從這4把鑰匙中任取2把鑰匙，則打開甲、乙兩把鎖的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有12個等可能的結(jié)果，打開甲、乙兩把鎖的結(jié)果有8個，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把打開甲的鑰匙記為A，打開乙的鑰匙記為B，畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結(jié)果，打開甲、乙兩把鎖的結(jié)果有8個，∴打開甲、乙兩把鎖的概率為，故選：C． 二、填空題11．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，在兩個同心圓中，四條直徑把大圓分成八等份，若往圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在黑色區(qū)域的概率是_______．【答案】【詳解】解：∵兩個同心圓被等分成八等份，飛鏢落在每一個區(qū)域的機會是均等的，其中白色區(qū)域的面積占了其中的四等份，∴P（飛鏢落在白色區(qū)域）=故答案為：．12．（2021·山東青島·中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是__________．【答案】6【分析】估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為 ，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：設袋中紅球的個數(shù)是x個，根據(jù)題意得： ，解得：x=6，經(jīng)檢驗：x=6是分式方程的解，即估計袋中紅球的個數(shù)是6個．故答案為：6．13．（2021·山東臨清·三模）兩個不透明的盒子里各分別裝有紅色、白色、藍色三個小球，現(xiàn)從兩個盒子中各隨機取一個球，則取出的球是同一顏色的概率是__________．【答案】【分析】畫出樹狀圖，得出所有情況數(shù)及取出的球是同一顏色的情況數(shù)，利用概率公式計算即可得答案．【詳解】畫樹狀圖如下：∵共有9種等可能情況，其中取出的球是同一顏色的情況有3種，∴取出的球是同一顏色的情況的概率為，故答案為：14．（2021·山東周村·一模）一個不透明盒子里有3張形狀大小質(zhì)地完全相同的卡片，上面分別標有數(shù)字1，2，3．從中隨機抽出一張后不放回，再從盒中隨機抽出一張，則兩次抽出的卡片都是奇數(shù)的概率為______．【答案】【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得．【詳解】解：列表如下 1231 （2，1）（3，1）2（1，2） （3，2）3（1，3）（2，3） 由表可知，共有6種等可能結(jié)果，其中兩次抽出的卡片都是奇數(shù)的有2種結(jié)果，
所以兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為，
故答案為：．15．（2021·山東招遠·一模）如圖，“趙爽弦圖”是吳國的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長得到一個正方形，該正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動中，數(shù)學小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子擊中了鑼面，他擊中陰影部分的概率是__________．【答案】【分析】分別計算出陰影部分的面積和大正方形的面積，然后按照概率公式計算即可．【詳解】在中，由勾股定理得，，∴陰影部分正方形的邊長為，∴陰影部分正方形的面積為，∵大正方形的面積為，∴擊中陰影部分的概率，故答案為：． 三、解答題16．（2021·山東東營·中考真題）為慶祝建黨100周年，讓同學們進一步了解中國科技的快速發(fā)展，東營市某中學九（1）班團支部組織了一次手抄報比賽．該班每位同學從A．“北斗衛(wèi)星”；B．“5G時代”；C．“東風快遞”；D．“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜歡的主題．統(tǒng)計同學們所選主題的頻數(shù)，繪制成以下不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：  
 （1）九（1）班共有________名學生；（2）補全折線統(tǒng)計圖；（3）D所對應扇形圓心角的大小為________；（4）小明和小麗從A、B、C、D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．【答案】（1）50；（2）見解析；（3）108°；（4）【分析】（1）用B組頻數(shù)除以所占百分比即可求解；（2）用50減去A、B、C組頻數(shù)，求出D組頻數(shù)，即可補全折線統(tǒng)計圖；（3）用360°乘以D組所占百分比即可求解；（4）列表得出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】（1）20÷40%=50（人），故答案為：50；（2）50-10-20-5=15（人），補全折線統(tǒng)計圖如圖：；（3），故答案為：；（4）列表如下：小明小麗ABCDABCD由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，他們選擇相同主題的結(jié)果有4種，所以P（相同主題）．17．（2021·山東濟寧·中考真題）某校為了解九年級學生體質(zhì)健康情況，隨機抽取了部分學生進行體能測試，根據(jù)測試結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題：
（1）在這次調(diào)查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數(shù)是    ；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校九年級共有學生1200人，則估計該校“良好”的人數(shù)是    ；（4）已知“不合格”的3名學生中有2名男生、1名女生，如果從中隨機抽取兩名同學進行體能加試，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽到兩名男生的概率多少？【答案】（1）；（2）補全條形統(tǒng)計圖見詳解；（3）510；（4）【分析】（1）由乘以“優(yōu)秀”的人數(shù)所占的比例即可；（2）求出這次調(diào)查的人數(shù)為：(人)，得出及格的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）由該?？?cè)藬?shù)乘以“良好”的人數(shù)所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，抽到兩名男生的結(jié)果有2種，則由概率公式計算即可．【詳解】解：（1）在這次調(diào)查中，“優(yōu)秀”所在扇形的圓心角的度數(shù)是：，故答案為：；（2）這次調(diào)查的人數(shù)為：(人)，則及格的人數(shù)為：(人)，補全條形統(tǒng)計圖如下：；（3）估計該校“良好”的人數(shù)為：(人)，故答案為：510人；（4）畫樹狀圖如圖：，共有6種等可能的結(jié)果，抽到兩名都是男生的結(jié)果有2種，∴抽到兩名都是男生的概率為．18．（2021·山東菏澤·中考真題）2021年5月，菏澤市某中學對初二學生進行了國家義務教育質(zhì)量檢測，隨機抽取了部分參加15米折返跑學生的成績，學生成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）合格等級所占百分比為______%；不合格等級所對應的扇形圓心角為______度；（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生、、……中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到、兩位同學的概率．【答案】（1）見解析；（2）30， （3）【分析】（1）先根據(jù)良好等級所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，再根據(jù)總?cè)藬?shù)減去其他等級求出優(yōu)秀的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖．（2）用合格等級的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得百分比；不合格等級的人數(shù)除以總數(shù)得百分比，再乘以，得對應的扇形圓心角度數(shù)．（3）用列表法列舉出所有可能，找出恰好抽到、兩位同學的情形，利用概率的概念求得概率．【詳解】（1）總?cè)藬?shù)為：（人）；優(yōu)秀人數(shù)為：（人）．（2）合格等級：．不合格等級對應的扇形圓心角：．（3）用列表法如圖： ABCDEFA ABACADAEAFBBA BCBDBEBFCCACB CDCECFDDADBDC DEDFEEAEBECED EFFFAFBFCFDFE 從表中可以看出，共有30種等情況數(shù)，符合題意選中、兩位同學共2種． 恰好抽到、兩位同學的概率為 ．

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