考點02實數(shù)的運算及大小比較 【命題趨勢】實數(shù)的運算及其大小比較是一個必考內(nèi)容出現(xiàn)，一直是中考的一個熱點。主要考簡單的選擇題、填空題、簡答題，此部分內(nèi)容較為簡單。選擇題、填空題考查實數(shù)的大小比較，而實數(shù)的運算常以填空題和簡答題的形式考查。往往涉及絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、-1的奇偶次冪、根式的運算、特殊角的三角函數(shù)值等。通?？蓟A(chǔ)題。【?？贾R】絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、-1的奇偶次冪、根式的運算、特殊角的三角函數(shù)值。【奪分技巧】①實數(shù)的混合運算步驟.②特別注意每個小單元的運算符號和運算性質(zhì).③根據(jù)互為相反數(shù)在數(shù)軸上表示的點關(guān)于原點對稱在數(shù)軸上標出相應(yīng)位置.④數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大.⑤利用負數(shù)、0、正數(shù)之間的大小關(guān)系判斷.⑥幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)都為零，據(jù)此可列方程組，求出之母的值.真題演練一、單選題1．（2021·河南衛(wèi)輝·八年級期中）定義：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（其中和為實數(shù)，為虛數(shù)單位，規(guī)定），稱為復(fù)數(shù)的實部，稱為復(fù)數(shù)的虛部．復(fù)數(shù)可以進行四則運算，運算的結(jié)果還是一個復(fù)數(shù)．例如，因此，的實部是﹣8，虛部是6．已知復(fù)數(shù)的虛部是12，則實部是（　?。?/span>A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5【答案】C【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根據(jù)新定義得出復(fù)數(shù)（3-mi）2的實部是9-m2，虛部是-6m，由（3-mi）2的虛部是12得出m=-2，代入9-m2計算即可．【詳解】解：∵∴復(fù)數(shù)的實部是，虛部是，∴，∴，∴．故選C．2．（2021·甘肅麥積·模擬預(yù)測）計算﹣﹣|﹣3|的結(jié)果是（　?。?/span>A．﹣1 B．5 C．1 D．-5【答案】D【分析】原式利用算術(shù)平方根定義，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可求出值．【詳解】原式 故選D．3．（2021·山東泗水·一模）定義運算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的兩根，則b★b-a★a的值為（   ）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)【答案】A【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a＋b＝1，根據(jù)新運算找出b?b?a?a＝b（1?b）?a（1?a），將其中的1替換成a＋b，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵a，b是方程x2?x＋m＝0（m＜0）的兩根，∴a＋b＝1，∴b?b?a?a＝b（1?b）?a（1?a）＝b（a＋b?b）?a（a＋b?a）＝ab?ab＝0，故選：A．4．（2021·全國·二模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．【詳解】解：設(shè)S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①則2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②由②－①得：2019S＝20202021－1∴．故答案為：C．5．（2021·浙江浙江·九年級期末）下列計算中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整式與實數(shù)的運算法則即可判斷．【詳解】A.，正確；B.，故錯誤；    C.不能計算，故錯誤；    D.，故錯誤；故選A．6．（2021·河南三門峽·七年級期末）在實數(shù)，，，中，最小的數(shù)是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)實數(shù)的比較大小的規(guī)則比較即可.【詳解】解：；因此根據(jù)題意可得-3是最小的故選B.7．（2021·重慶實驗外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）在，﹣1.6，0，2這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（　　　）A． B．﹣1.6 C．0 D．2【答案】A【分析】先比較和2的大小，再根據(jù)正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴在，﹣1.6，0，2這四個數(shù)中，最大的數(shù)是，故選：A．8．（2021·山東青島·七年級單元測試）實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，這四個數(shù)中最大的是（  ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊總比左邊的大，d在最右邊，故選D.9．（2021·江蘇·高港實驗學(xué)校二模）將邊長分別為2和4的長方形如圖剪開，拼成一個正方形，則該正方形的邊長最接近整數(shù)（    ）
 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】易得正方形的面積，求得正方形面積的算術(shù)平方根即為所求的邊長，利用四數(shù)的平方與正方形面積作差的絕對值進行比較即可解答．【詳解】解：正方形的面積與原長方形的面積相等，S長方形=，∴S正方形=8，設(shè)正方形的邊長為x則x2=8解得：x=則正方形的邊長為=， ∵12=1,22=4,32=9,42=16∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8；∵8>7>4>1∴正方形的邊長最接近整數(shù)3故選：C．10．（2021·湖南長沙·九年級專題練習(xí)）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（    ）A． B． C． D．－2021【答案】D【分析】根據(jù)正數(shù)永遠大于負數(shù)，平方法、立方法比較實數(shù)大小的方法比較即可解決問題．【詳解】解：∵正數(shù)永遠大于負數(shù)，∴可知C選項不是最小，故排除C選項，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故可知：最小的數(shù)為-2021，故選：D． 二、填空題11．（2021·河南省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）請寫出一個絕對值大于1小于3的無理數(shù)______．【答案】（答案不唯一）【分析】結(jié)合題意，根據(jù)無理數(shù)和絕對值的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】為無理數(shù)，且， 故答案為：（答案不唯一）．12．（2021·山東臨沂·中考真題）比較大?。?/span>___5（選填“”、“ ”、“ ” ）．【答案】＜【分析】先把兩數(shù)值化成帶根號的形式，再根據(jù)實數(shù)的大小比較方法即可求解．【詳解】解：∵，，而24＜25，∴＜5．故答案為：＜．13．（2021·全國·七年級專題練習(xí)），，2，0這四個數(shù)中，最大的數(shù)是____________．【答案】2【分析】依題意，依據(jù)數(shù)軸及不等式進行數(shù)的比較大小，即可；【詳解】由題知，依據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)：原點左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；可得；；又，∴；∴ ；故填：214．（2021·廣東清新·八年級期中）比較大?。?/span> __________5（填“＞”，“＝”，“＜”）【答案】＜【分析】把5化成根號的形式比較即可；【詳解】∵，∴，∴．故答案為＜．15．（2021·陜西·二模）比較大?。?/span>______ （填“＞”或“＜”或“=”）．【答案】＜【詳解】解：，，∵18＜20，∴．故答案為＜．16．（2021·福建泉州·模擬預(yù)測）現(xiàn)定義一種新的運算：．例如，則不等式的解集為___________．【答案】【分析】本題首先根據(jù)新定義將進行拆分，構(gòu)建新的不等式，繼而移項求解一元一次不等式即可．【詳解】根據(jù)新定義可得：，即，求解上述不等式得：．故填：．17．（2021·安徽·合肥38中八年級期中）已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線與直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是_________；記直線和與x軸圍成的三角形面積為，則_____，的值為______．【答案】            【分析】聯(lián)立直線和成方程組，通過解方程組，即可得到交點坐標；分別表示出直線和與x軸的交點，求得交點坐標即可得到三角形的邊長與高，根據(jù)三角形面積公式進行列式并化簡，即可得到直線和與x軸圍成的三角形面積為的表達式，從而可得到和，再依據(jù)分數(shù)的運算方法即可得解．【詳解】解：聯(lián)立直線與直線成方程組，，解得，∴這兩條直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是；∵直線與x軸的交點為，直線與x軸的交點為，∴，∴，故答案為：；； 三、解答題18．（2021·重慶實驗外國語學(xué)校三模）對于一個四位自然數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字不全相同且均不為0，它的千位數(shù)字減去個位數(shù)字之差等于百位數(shù)字或去十位數(shù)字之差，那么稱這個數(shù)為“差同數(shù)”，對于一個“差同數(shù)”，將它的千位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為s，將它的千位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)減去百位和個位構(gòu)成的兩位數(shù)所得差記為，規(guī)定：；例如：，因為，故：7513是一個“差同數(shù)”．所以：，，則：．（1）請判斷2586，8734是否是“差同數(shù)”，如果是，請求出的值；（2）若自然數(shù)，都是“差同數(shù)”，其中，（，，，，，，，都是整數(shù)），規(guī)定：，當能被11整除時，求的最小值．【答案】（1）2586不是“差同數(shù)”，8734是“差同數(shù)”，1；（2）．【分析】（1）根據(jù)新定義，先判斷2586，8734是否是“差同數(shù)”，再仿照樣例進行解答便可；（2）根據(jù)新定義與已知條件，用一個字母的代數(shù)式表示，再根據(jù)此字母的取值范圍便可求出的最值．【詳解】（1）解：∵，∴2586不是一個“差同數(shù)”，∵，∴8734是“差同數(shù)”，∴，，∴；（2）∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為,百位數(shù)為6，十位數(shù)為，個位數(shù)為6，∵是“差同數(shù)”，∴ 即，，，∴，∵，，且，都是整數(shù)，∴的千位數(shù)為3，百位數(shù)為，十位數(shù)為4，個位數(shù)為，∵是“差同數(shù)”，∴，即，，，∴ ，∴，∵且，，∴，∵且，，∴，∴，∴， ∵能被11整除，∴或0或11，、當時，，此時，，、時，，此時，，、當時，，結(jié)合，，有，此時，，不存在，綜上，的最小值為．19．（2021·廣西宜州·二模）計算：．【答案】【分析】先化簡二次根式、算絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，再算加減即可．【詳解】解：原式=．
 20．（2021·江蘇宿遷·中考真題）計算：4sin45°【答案】1【分析】結(jié)合實數(shù)的運算法則即可求解．【詳解】解：原式．21．（2021·山東禹城·二模）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為，依次類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中，公差為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為__________，第5項是__________．（2）如果一個數(shù)列，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，……由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：．（3）是不是等差數(shù)列的項？如果是，是第幾項？（4）如果一個數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為d，前n項的和記為，請用含，n，d的代數(shù)式表示，_________．【答案】（1）5 ；25；（2）；（3）是；第1346項；（4）【分析】（1）根據(jù)題目中的材料，可以得到等差數(shù)列5，10，15，…的公差d和第5項的值；（2）根據(jù)題目中推導(dǎo)，可以得到等差數(shù)列的通項公式；（3）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用（2）中的結(jié)論，可以得到等差數(shù)列…，的公差和通項公式，從而可以求得4040是等差數(shù)列…，的第幾項．（4）把分別相加，然后即可得到答案．【詳解】解：（1）由題意可得，d=1510=5，第5項是：15+5+5=25，故答案為：5，25；（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d，…，anan-1=d，…．∴a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，該等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+（n1）d，故答案為：n1；（3）4040是等差數(shù)列…的第1346項，理由：等差數(shù)列…，∴d=，∴an=，
令，解得，n=1346，即4040是等差數(shù)列，…的第1346項．（4）由題意，∵是等差數(shù)列，且公差為d，前n項的和記為，∴，∴===；故答案為：． 

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