?中考模擬卷（三）


一、單選題
1．如圖，C為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B，E重合，在BE同側(cè)分別作等邊ABC和等邊CDE、BD與AE交于點(diǎn)P，BD與AC交于點(diǎn)M，AE與CD交于點(diǎn)N，連結(jié)MN．以下四個(gè)結(jié)論：①CM=CN；②∠APB=60°；③PA+PC=PB；④PC平分∠BPE；恒成立的結(jié)論有（ ）

A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①④
【答案】B
【分析】
根據(jù)等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)角都是60°，可以證明△ACE與△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠MBC=∠NAC，然后證明△MBC≌△MBC，從而得到CM=CN，所以①正確；在△MBC和△AMP中，∠MBC=∠PAM，∠BMC=∠PMA，所以∠BCM=∠APM，所以②正確； 在BP上截取PG=PC，連接CG，證明出△BGC≌△APC，然后證明△PGC為等邊三角形即可證明；根據(jù)條件證明D，O，C，E共圓，可得到∠PCD=∠PED，然后根據(jù)角關(guān)系導(dǎo)出PC平分∠BPE，故④正確
【詳解】
解：∵△ABC和△CDE是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠ACD=∠DCE
∴∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD
∴∠MBC=∠NAC
∵AC=BC，∠BCM=∠CAN
∴△MBC≌△MBC
∴CM=CN，故①正確
△MBC和△AMP中
∵∠MBC=∠PAM，∠BMC=∠PMA
∴∠BCM=∠APM即∠APB=60°，故②正確
如圖，在BP上截取PG=PC

∵BC=BA，PC=PG，∠CBM=∠CAN
∴△BGC≌△APC
∴BG=AP，∠BCG=∠ACP
∵∠BCG+∠GCM=60°，∠ACP+∠PCN=60°
∴∠GCM=∠PCN
∴∠GCM+∠ACP=60°
∴△PGC是等邊三角形
∴PC=PG
∴PA+PC=PB，故③正確
由②有∠APB=60°，
∴∠BPE=120°，
∴∠DPE=∠DCE=60°
∴D，P，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠PCD=∠PED，∠PDC=∠PEC，
∵∠PED+∠PEC=60°，
∴∠PCD+∠PDC=60°，
∴∠APC=60°，
∴∠CPE=∠AOC=60°，
∴PC平分∠BPE，故④正確
故選：B
2．如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限的分支交AB于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)E，直線PE交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，連接AC．則下列結(jié)論：
①S四邊形ACFP＝k；
②四邊形ADEC為平行四邊形；
③若＝，則＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，則k＝6．
其中正確的是（　?。?br />
A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
【答案】A
【分析】
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,a)，則得A(0,a)，C(b,0)，從而可求出P，E，再求出直線PE的解析式為，進(jìn)而求得F(,0)，判斷出四邊形ACFP是平行四邊形，計(jì)算得此四邊形的面積，從而判斷①正確；由四邊形ACFP是平行四邊形，得AC∥DF，故可得②正確；由，判斷得ab=4k，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可判斷③錯(cuò)誤；由S△CEF＝1，得出＝2，再由S△PBE＝4，得到關(guān)于k的方程，解方程得k=6，從而可判斷④正確．
【詳解】
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b,a)，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴A(0,a)，C(b,0)，
∵點(diǎn)P，E在反比例函數(shù)圖形上，
∴P，E ，
∴直線PE的解析式為，
令y＝0，則，
∴x＝，
∴F(,0)，
∴CF＝+b﹣b＝，
∵P(，a)，
∴AP＝，
∴AP＝CF，
∵四邊形OABC是矩形，
∴，
∴四邊形ACFP是平行四邊形，
∴S四邊形ACFP＝CF?OA＝?a＝k，故①正確；
∵四邊形ACFP是平行四邊形，
∴AC∥DF，
∵OA∥BC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，故②正確；
∵，
∴，
∵B(b,a)，
∴OB＝b，
∵P(,a)，
∴AP＝，
∴，
∴ab＝4k，
∵直線PE的解析式為，
∴D，
∵A(0,a)，
∴AD＝+a﹣a＝，
∴＝＝＝，故③錯(cuò)誤；
∵S△CEF＝1，
∴＝1，
∴＝2，
∵S△PBE＝4，
∴(b﹣)?(a﹣)＝4，
∴ab﹣k﹣k+＝8，
∴k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正確，
∴正確的有①②④，
故選：A．

3．如圖，在正方形ABCD中，BC=2，點(diǎn)P，Q均為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE⊥CP，垂足為E，則QD+QE的最小值為（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)BE⊥CP可得點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)Q為DF與AB交點(diǎn)時(shí)，QD+QE最小．作半圓Ｈ與以BC為直徑的半圓關(guān)于AB對稱，連接DH，交半圓Ｈ與Ｆ，此時(shí)DF＝QD+QE,且為最小值，求出DF即可．
【詳解】
解：如圖，∵BE⊥CP，
∴點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，
作點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)F，
∴QE=QF，
∴QD+QE= QD+QF，
連接DF，當(dāng)Q為DF與AB交點(diǎn)時(shí)，QD+QE最?。?br />
作半圓Ｈ與以BC為直徑的半圓關(guān)于AB對稱，連接DH，交半圓Ｈ與Ｆ，此時(shí)DF＝QD+QE,且為最小值，此時(shí)CD=2，BH=1，HC=3，
在中，，
．

故選：D
4．如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持，連接，，.在此運(yùn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積保持不變；④當(dāng)時(shí)，，其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
過O作于G，于，由正方形的性質(zhì)得到，求得，，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①正確；，推出，故②正確；得到四邊形的面積正方形的面積，四邊形的面積保持不變；故③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到
，，求得，得到，于是得到，故④正確．
【詳解】

解：過O作于G，于H，
∵四邊形是正方形，
，
，，
∵點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，
，，
，，
，
，，
∴四邊形是正方形，
，
，
，
在與中，
，
，
，故①正確；，
，
，故②正確；
，
∴四邊形的面積正方形的面積，
∴四邊形的面積保持不變；故③正確；
，
，，
，
，
，
，
，故④正確；
故選．
5．如圖，AD 為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F(xiàn) 分別為線段AD，AC 上的動(dòng)點(diǎn)，且 AE=CF， 當(dāng) BF＋CE 取最小值時(shí)，∠AFB的度數(shù)為（ ）

A．75° B．90° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】
先構(gòu)造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，當(dāng)FH+BF最小時(shí)，即是BF+CE最小時(shí)，此時(shí)求出∠AFB的度數(shù)即可．
【詳解】
解：如圖，作CH⊥BC，且CH=BC，連接HB，交AC于F，此時(shí)△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，

∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此時(shí)∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故選：C．
6．如圖，A是⊙B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）

A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
【答案】A
【分析】
以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，證明得到，分析出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到BC的最大距離，即可求出面積最大值．
【詳解】
解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，
∵，
∴，即
在和中，
，
∴，
∴，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長為半徑的圓，
要使面積最大，則求出點(diǎn)D到線段BC的最大距離，
∵是邊長為4的等邊三角形，
∴點(diǎn)M到BC的距離是，
∴點(diǎn)D到BC的最大距離是，
∴的面積最大值是．
故選：A．

7．如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P為對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，將沿折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)G處，若是等腰三角形時(shí)，則的長為（ ）

A．或 B．或2 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】
分CG=CB和GC=GB兩種情形，分別求解即可．
【詳解】
解：連接DB，交AC于點(diǎn)O，則DB⊥AC.
∵EF ⊥AC，
∴EF//DB
∵，
∴∠CAB= ∠CAD= ∠BCA=30°，
∵
∴AD=AB=BC=DB=，DO=BO=
∵DB⊥AC
∴AO= ,即AC=6
當(dāng)GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；
當(dāng)GB=GC時(shí)，過點(diǎn)G做GH⊥BC，則CH=BC=
∵∠BCA=30°
∴
∴GC= 2，
∴AP=（AC-CG）=（6-2）=2；
綜上，AP的長為3-或2．
故選B．

8．如圖，等腰中，于，，為內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)，在直線上有一點(diǎn)，連接．的最小值為（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由為內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)，得M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，以AC為邊向外作正三角形ACF，據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的特征，直線BM和直線BF為同一條直線，由題意容易求得∠MBC=30°，以BF為邊，B為頂點(diǎn)向∠MBC的外側(cè)作∠FBG，使∠FBG=30°，過E作BG的垂線，垂足為H，顯然；再過點(diǎn)C作BG的垂線，垂足為，由垂線段最短，知；因?yàn)橐椎肂C=，又∠GBC=60°就容易求得就是的最小值．
【詳解】
解：如下圖

以AC為邊向外作正三角形ACF，以BF為邊，B為頂點(diǎn)向∠MBC的外側(cè)作∠FBG，使∠FBG=30°，過E作BG的垂線，垂足為H，過點(diǎn)C作BG的垂線，垂足為
由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=
∴
下面計(jì)算
∵AB=AC=2且
∴；
∵為內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)
∴M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)
由費(fèi)馬點(diǎn)的特點(diǎn)知BM與BF為同一條直線
∵正三角形ACF
∴∠CAF=60°
又
∴∠BAF=150°
又AB=AC=AF
∴∠ABF=15°
又∠ABC=45°
∴∠FBC=30°
∴∠GBC=60°
在RT△中

∴的最小值為．
故選：D．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，作AG⊥PQ于點(diǎn)G，則AG的最大值為（ ）

A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】
連接OB，交PQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)與t無關(guān)，由Rt△ADG中可得AG的最大值為AD，此題得解．
【詳解】
連接OB，交PQ于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，

由題意得 ，
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB＝＝10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴＝＝＝
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，
∴OF＝OD?cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD?sin∠OBC＝6×＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），
∴
∴
∵AG⊥PQ
∴
∴當(dāng)G與D重合時(shí)AG的最大，最大值為，
故選B

二、填空題
10．如圖，半圓的半徑為1，為直徑，、為切線，，P為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值______________．

【答案】
【分析】
取CO中點(diǎn)M，利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，利用勾股定理即可計(jì)算求解．
【詳解】
∵OA=AC=1，AC是切線，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，
連接CO、OP，取CO中點(diǎn)M，連接DM，PM，

∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
過M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切線，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四邊形MNBH為矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值為，
故答案為：．
11．如圖，在中，，以為邊，作，滿足，為上一點(diǎn)，連接，，連接．下列結(jié)論中正確的是________（填序號）

①；②；③若，則；④．
【答案】②③④
【分析】
通過延長EB至E＇，使BE=BE＇，連接，構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)依次分析，可得出正確的結(jié)論是②③④．
【詳解】
解：如圖，延長EB至E＇，使BE=BE＇，連接；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE＇,
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1=，
∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E＇AC=∠EAD,
又∵AD=AC，
∴，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正確），
∴∠3=∠4；
當(dāng)∠6=∠1時(shí)，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此時(shí)，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
當(dāng)∠6≠∠1時(shí)，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此時(shí)，∠AME≠90°，
∴①不正確；
若CD∥AB，
則∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E＇AC=90°，
由，
∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE，
∴AE⊥AD（即③正確），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正確）；
故答案為：②③④．

12．如圖，已知矩形的頂點(diǎn)、分別落在雙曲線上，頂點(diǎn)、分別落在軸、軸上，雙曲線經(jīng)過的中點(diǎn)，若，則的值為______．

【答案】2
【分析】
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則k＝ab，用a、b的代數(shù)式表示B、C、D、E坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線經(jīng)過AD的中點(diǎn)E，列方程求出b＝2，再由矩形ABCD對角線相等列方程求出a，即可得A坐標(biāo)，從而求出k．
【詳解】
解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則k＝ab，y＝，如圖，
過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
∴ON＝3﹣b，即yB＝b﹣3，且B在y＝圖象上，
∴B（，b﹣3），
∴BN＝DM＝|xB|＝，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴MF＝，OF＝a+，OD＝a+，
∴E（a+，b），
∵雙曲線y＝經(jīng)過AD的中點(diǎn)E，
∴（a+）?b＝ab，解得b＝2，
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而C（0，﹣3），且矩形ABCD有AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴A（1，2），代入y＝得：k＝2．
故答案為：2．

13．如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OA沿直線OP進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC，以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，線段BC的長的最小值為____________，線段BD所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）____________．


【答案】 4
【分析】
根據(jù)僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號成立，由折疊性質(zhì)可知OA=OC，從而求出BC的最小值；再證明，而且相似比為：1，從而得出點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，由此畫出圖形即可得出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】
解：如圖，連接OB，AD．


∵，
∴，
又∵僅當(dāng)C在OB上時(shí)等號成立，
∴BC的最小值，
又∵，
∴BC的最小值，
∵和均為等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴如圖：點(diǎn)D在以為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)D在處，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)D在處，
∴線段BD所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）4個(gè)．
故答案為：，4．
14．如圖，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：5，點(diǎn)E是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），將矩形沿過點(diǎn)E的直線MN折疊，使得點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1分別落在直線AD與BC上，當(dāng)△A1CE為直角三角形時(shí)，AN：DN的值為_________．

【答案】
或．
【分析】
設(shè)AB=3x，BC=5x，則CD=AB=3x，AD=BC=5x，分兩種情況：①當(dāng)∠CA1E=90°時(shí)，△A1CE為直角三角形，易證∠DCA1=∠EA1N，由折疊的性質(zhì)得出AN=A1N，AE=A1E， ∠EAN=∠EA1N，推出∠DCA1=∠DAC，證明△CDA1~△ADC即可得出結(jié)果；
②當(dāng)∠A1CE=90°時(shí)，△A1CE為直角三角形，易證∠CA1D=∠ACD，證明△A1DC~△CDA，得出即可得出結(jié)果．
【詳解】
∵AB：BC＝3：5，
設(shè)AB＝3x，BC＝5x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝5x，
分兩種情況：
①當(dāng)∠CA1E＝90°時(shí)，△A1CE為直角三角形，如圖1所示：

∵∠DCA1＋∠DA1C＝∠DA1C＋∠EA1N＝90°，
∴∠DCA1＝∠EA1N，
由折疊的性質(zhì)得：AN＝A1N，AE＝A1E，∠EAN＝∠EA1N，
∴∠DCA1＝∠DAC，
∵∠CDA1＝∠ADC＝90°，
∴△CDA1∽△ADC，
∴，即，
∴DA1x，
∴ANx，
DNx，
∴AN：DN；
②當(dāng)∠A1CE＝90°時(shí)，△A1CE為直角三角形，如圖2所示：

∵∠A1CD＋∠CA1D＝∠A1CD＋∠ACD＝90°，
∴∠CA1D＝∠ACD，
∵∠A1DC＝∠CDA＝90°，
∴△A1DC∽△CDA，
∴，即，
∴A1Dx，
由折疊的性質(zhì)得：AN＝A1N，
∴DN(A1A﹣2A1D)x+5x﹣2x，
AN＝AD﹣DN＝5xx，
∴AN：DN，
綜上所述，AN：DN的值為或，
故答案為：或．
15．如圖，在菱形中，，點(diǎn)在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，過點(diǎn)作交菱形的邊于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長為____，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線長為____．

【答案】3
【分析】
過點(diǎn)D作，得到四邊形EDHF是平行四邊形，再根據(jù)已知條件求出FH、CH即可得解；以B為分界點(diǎn)進(jìn)行做圖，根據(jù)條件求出和即可得解；
【詳解】
D、P重合，

過點(diǎn)D作，
∵FH∥ED，EF∥DH，
∴四邊形EDHF是平行四邊形，
∴ED=FH，
∵且AD=10，
∴，
∵，
∴，
∴；
以B為分界點(diǎn)，

在之間，，
在之間，，
∴即為所求；
延長CB、交于H，過C作，
∵CB∥AQ，
∴，
∵，
∴，
在Rt△CDQ中，，，，
∴，，
由可得：，
∴，
∵，
∴，
∵BH∥AE，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
綜上所述，M點(diǎn)數(shù)為運(yùn)動(dòng)路線長為．
故答案是：3；．
16．如圖所示：已知，，現(xiàn)有點(diǎn)和點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)出發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)速度為，點(diǎn)速度為，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)后掉頭向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在向的運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，速度變?yōu)椋?，兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，全部停止運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過____后的距離為．

【答案】0.9或1.1或或．
【分析】
設(shè)經(jīng)過t秒后PQ距離為0.5cm，然后分情況分別進(jìn)行考慮：①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)；②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)；③當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)；④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過B點(diǎn)時(shí)；⑤當(dāng)Q超過P時(shí)．
【詳解】
解：設(shè)經(jīng)過t秒后PQ距離為0.5cm，
①當(dāng)P、Q在AB上且P在Q左側(cè)時(shí)，如圖1所示：

由題意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②當(dāng)P、Q在AB上且P在Q右側(cè)時(shí)，如圖2所示：

由題意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到達(dá)A所用時(shí)間為5÷3=s，
當(dāng)Q從A返回還未到B時(shí)，如圖3所示：

由題意得：，解得：t=4.5s，但此時(shí)AQ= cm>5cm，不符合題意；
④當(dāng)Q從A返回運(yùn)動(dòng)并超過B點(diǎn)時(shí)，如圖4所示：

此時(shí)Q從B-A-B用時(shí)為：s，
由題意得：，
解得：s；
⑤當(dāng)Q超過P時(shí)，如圖5所示：

由題意得：，
解得：s，
綜上所述，當(dāng)P、Q相距0.5cm時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為0.9s或1.1s或或，
故答案為：0.9或1.1或或．

三、解答題
17．對圖形M，N和點(diǎn)P，如果圖形M上存在點(diǎn)Q1，圖形N上存在點(diǎn)Q2，使得點(diǎn)Q1繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與點(diǎn)Q2重合，則稱圖形N是圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“秋實(shí)”圖形．
（1）如圖1，A（﹣3，0），B（0，3），則點(diǎn)C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是線段AB關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形的點(diǎn)是 　 ??；
（2）設(shè)直線y＝x+b（b＞0）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，與y軸正半軸交于點(diǎn)E，⊙F是以點(diǎn)F（2，1）為圓心，2為半徑的圓．若⊙F是線段DE關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形，求b的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）為圓心，1為半徑的圓，若對⊙G上的任意一點(diǎn)H，存在k（≤k≤），使得點(diǎn)H是直線l關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形，請直接寫出m的取值范圍．

【答案】（1）C3；（2）≤b≤；（3）．
【分析】
（1）先理解新定義，利用待定系數(shù)法求 AB的解析式為，然后求出點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)C1（1，0）對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 1），點(diǎn)C2（-2，-1）對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)C3（3，0）對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 3），在代入解析式驗(yàn)證即可；
（2）連結(jié)OF并延長與圓交于M、N兩點(diǎn)，先求出OF=，再求ON=,OM=，點(diǎn)M是圓上最近點(diǎn)，點(diǎn)N是圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)，tan∠IOF= ，cos∠IOF=，求出點(diǎn)M（，），點(diǎn)N（，），點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)（，），點(diǎn)N繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)（，），點(diǎn)N、M的對應(yīng)點(diǎn)在直線y＝x+b上，代入求出b的值即可；
（3）過點(diǎn)O作⊙G的切線OD、OE，連結(jié)DE交x軸于F，連結(jié)OD，OE，求出OD=OE=，利用面積求EF=DF=，在Rt△ODF中，求出點(diǎn)D（，），點(diǎn)E（，）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D′（，），點(diǎn)E′（，）分別代入最大與最小k對應(yīng)解析式求出m即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)AB的解析式為，
∵點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），將坐標(biāo)代入解析式得
，
解得，
∴AB的解析式為，
點(diǎn)C1（1，0）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 1），
點(diǎn)C2（-2，-1）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
點(diǎn)C3（3，0）繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0， 3），
當(dāng)x=0時(shí)，，C1不是線段AB關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形的點(diǎn)，
當(dāng)x=-1時(shí)，，C2不是線段AB關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形的點(diǎn)，
當(dāng)x=0時(shí)，，C3是線段AB關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形的點(diǎn)，
故答案為C3；

（2）連結(jié)OF并延長與圓交于M、N兩點(diǎn)，OF=，ON=，OM=，
點(diǎn)M是圓上最近點(diǎn)，OM長最小，點(diǎn)N是圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)，ON長最大，
過M、F、N分別作MG⊥y軸于G，F(xiàn)I⊥y軸于I，NH⊥y軸于H，
∴tan∠IOF= ，cos∠IOF=，
∴OG=OMcos∠IOF=，
∴GM=2OG=，
∴OH=ON cos∠IOF=，
∴NH=2OH=，
點(diǎn)M（，），點(diǎn)N（，），
點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)（，），
點(diǎn)N繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)（，），
點(diǎn)N、M的對應(yīng)點(diǎn)在直線y＝x+b上，
=+b，
∴b=，
=+b，
∴b=，
∴≤b≤；

（3）過點(diǎn)O作⊙G的切線OD、OE，連結(jié)DE交x軸于F，連結(jié)OD，OE，
∵OG=4，DG=1，OG⊥OD，
∴OD=OE=，
∴EF=DF=，
在Rt△ODF中，
∴點(diǎn)D（，），點(diǎn)E（，），
逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D′（，），點(diǎn)E′（，），
點(diǎn)D′在y＝（x+m）上，
∴，
解得，
點(diǎn)E′在直線在y＝（x+m）上，
∴，
解得，
∴，

18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，0），連接AB，點(diǎn)P（0，t）是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以BP為一直角邊構(gòu)造等腰直角△BPC（B，P，C的順序?yàn)轫槙r(shí)針），且∠BPC＝90°，過點(diǎn)A作AD∥x軸并與直線BC交于點(diǎn)D，連接PD．
（1）如圖1，當(dāng)t＝2時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，當(dāng)t＞0時(shí)，求證：∠ADC＝∠PDB；
（3）如圖3，當(dāng)t＜0時(shí)，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．


【答案】（1）；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）作軸，通過“”證明，即可求解；
（2）方法一：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在的延長線上截取，使得，連接，通過全等三角形的性質(zhì)，求解證明；方法二：取的中點(diǎn)，連接，利用性質(zhì)得到四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，即可求解；
（3）方法一：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在上截取，使得，通過全等三角形的性質(zhì)，求解證明；方法二：作軸，取的中點(diǎn)，連接，利用全等三角形的性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)為的內(nèi)心，利用內(nèi)心的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，作軸，


則
∵，
∴
由題意可得，當(dāng)時(shí)，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中

∴
∴，
∴
即
（2）方法一：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在的延長線上截取，使得，連接，如下圖：

∵，
∴
∴四邊形為矩形
又∵
∴矩形為正方形
∴
在和中

∴
∴，
∵
∴
∴
在和中

∴
∴
又∵
∴
方法二：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，


∵
∴
∵
∴
∴四點(diǎn)共圓
∴
在和中，
∵的中點(diǎn)
∴
∴
∵，的中點(diǎn)
∴
∴
∵軸
∴
∴
∴
∴四點(diǎn)共圓
∴，
∵
（3）方法一：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在上截取，使得，如下圖：

由題意可得：
由（2）方法一可得：四邊形為正方形
∴，
在和中

∴
∴，
∵
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
方法二：如圖3，作軸，取的中點(diǎn)，連接


則
∵
∴
∵
∴
在和中

∴
∴，，
∴
∴四點(diǎn)共圓
∴，
∴平分
在和中，
∵的中點(diǎn)
∴
∴
∵，的中點(diǎn)
∴
∴
∵軸
∴
∴
∴
∴四點(diǎn)共圓
∴
∴平分
∴點(diǎn)為的內(nèi)心
∴，即
∵
∴，
∴，
即
∴
∴，即
∴
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1和直線l2相交于y軸上的點(diǎn)B，分別交x軸于A、C且∠OBC＝30度．

（1）求直線l2的解析式；
（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值．
【答案】（1）；（2）F（1，），PF+OP的最小值為?；
【分析】
（1）求出B（0，），再由OC=BO?tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系數(shù)法求直線解析式即可；
（2）先確定∠ABC=90°，則可知C點(diǎn)關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)C'在l2上，過點(diǎn)C'作C'K⊥y軸交K點(diǎn)，易證△C'KB≌△COB（AAS），則C'的縱坐標(biāo)為2，即可求C'（1，2），連接C'E交l1于F，因?yàn)镋F+CF=EF+C'F≥C'E，所以當(dāng)C'、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF+CF的值最小為C'E；當(dāng)P、F、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PF+OP的值最小，過F作FG⊥x軸交l3，于點(diǎn)G，易證△FQG為等腰直角三角形，然后求出最小值即可．
【詳解】
解：（1）令x=0，則y=，
∴B（0，），
∴OB=，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BO?tan30°=×，
∴C（1，0），
設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b，
則，
∴，
∴直線l2的解析式為；
（2）令y=0，則，
∴x=3，
∴A（3，0），
∴OA=3，
∴tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=90°，
∴C點(diǎn)關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)C'在l2上，
如圖1，過點(diǎn)C'作C'K⊥y軸交K點(diǎn)，

∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK=BO=，
∴C'的縱坐標(biāo)為2，
∴，
∴x=1，
∴C'（1，2），
連接C'E交l1于F，
∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，
∴當(dāng)C'、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，EF+CF的值最小為C'E，
設(shè)直線C'E的解析式為y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2），
則，
∴，
∴，
∴，
解得x=1，
∴F（1，），
作第二、四象限的角平分線l3，，過點(diǎn)F作FQ⊥l3，，交y軸于點(diǎn)P，交l3，于點(diǎn)Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
∴，
∴PF+OP=PF+PQ≥FQ，
當(dāng)P、F、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PF+OP的值最小，
過F作FG⊥x軸交l3，于點(diǎn)G，
∴△FQG為等腰直角三角形，
∴FQ=FG，
∵l3，的解析式為y=x，
∴G（1，1），
∴FG=1+，
∴FQ=+，
∴PF+OP的最小值為+．
20．問題背景：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC+CD的值．
問題解決：（2）有一個(gè)半徑為30cm的圓形配件⊙O，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個(gè)四邊形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四邊形孔洞OABC的面積盡可能小，試問，是否存在符合要求的面積最小的四邊形OABC？若存在，請求出四邊形OABC面積的最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；(2)
【分析】
（1）將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，證明C、D、E在同一條直線上，由△ACE是等腰直角三角形得出結(jié)果；
（2）類比（1）的方法，將△AOB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△COE，連接BE，根據(jù)面積關(guān)系：S四邊形OABC=S△AOB+S△BCO=S△COE+S△BCO=S△BOE-S△BCE，故使△BCE的面積最大時(shí)存在符合要求的面積最小的四邊形OABC，因BE=30，∠BCE=120°，利用“定弦對定角”作正△BEF，作它的外接圓⊙I，進(jìn)而求得其最大值．
【詳解】
（1）如圖1，


∵∠BCD=∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴可以將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，
∴∠ADE=∠B，AE=AC，∠CAE=90°，
∴∠ADE+∠ADC=180°，
∴C、D、E在同一條直線上，
∴CD+DE=CE=AC=；
（2）如圖連接OB，

∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴將△AOB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△COE，連接BE，
∴∠BOE=60°，OE=OB，
∴△BOE是等邊三角形，
∴BE=OB=30，∠BEO=60°，∠CBE=∠ABO=∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠BCE=120°，
∵S四邊形OABC=S△AOB+S△BCO=S△COE+S△BCO
=S△BOE-S△BCE
=-S△BCE，
∴要使四邊形OABC的面積最小，就要使△BCE的面積最大，
即求C到BE距離最大

作正△BEF，作它的外接圓⊙I，作直徑FC′，
當(dāng)C與C′重合時(shí)，S△BCE最大，此時(shí)△BCE是頂角120°的等腰三角形，
過C作CG⊥BE于G
∴
∴S△BCE最大=，
∴S四邊形OABC最小=S△BOE-S△BCE=．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，OA＝OB＝2．
（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)C在OA的延長線上，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，連接CD交直線AB于點(diǎn)E，點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，△CAE的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；
（3）如圖，在（2）的條件下，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M為EB的中點(diǎn)，過M作MH⊥CD于點(diǎn)H，延長HM交x軸于點(diǎn)G，點(diǎn)N在AB的延長線上，連接NG、DN、CM，若FG＝OC，∠ACM＝∠GDN，求GN的長．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根據(jù)OA、OB的長度寫出點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可求出答案；
（2）利用E是CD的中點(diǎn)，寫出E點(diǎn)橫坐標(biāo)，再利用點(diǎn)E在直線AB上，將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入求出縱坐標(biāo)，繼而表示出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)坐標(biāo)，最后即可表示出與的函數(shù)解析式；
（3）由題意可知，再根據(jù)已知條件表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線CD和GM的k值，最后利用垂直關(guān)系求解即可．
【詳解】
解：（1）∵直線交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，，
∴，，
將A、B兩點(diǎn)代入中，
得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為;
（2）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是t，且E是CD的中點(diǎn) ，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)E在直線AB上，
∴將E的橫坐標(biāo)為代入中，得，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，
∴，
∴與的函數(shù)解析式為；
（3）由題可知：，， ，，，
∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴， ，
∵，即，
∴，即，
整理得：，
解得：，，
∵點(diǎn)D在x軸正半軸上，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵點(diǎn)N在直線AB上，
∴將代入中，
得，
∴，
∴
22．已知，內(nèi)接于，AD、BD為的弦，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，過B作的切線交AC的延長線于E，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CD，若，，，求CE的長度．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得，結(jié)合已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可得，進(jìn)而根據(jù)等角對等邊即可證明；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而可得，根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合（1）的結(jié)論即可證明；
（3）連接，先證明，延長AD交BC的延長線于G，作于G，于N，于Q，延長AB至S，連接ES，使，作于F，于R, 設(shè)，，則 ，通過角度的計(jì)算推導(dǎo)，根據(jù)等角對等邊可得，，，設(shè)，，根據(jù)得出，進(jìn)而在，中，根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，，在與中，勾股定理求得，進(jìn)而求得，通過導(dǎo)角可得，結(jié)合已知條件求得，進(jìn)而通過角度計(jì)算可得，則，進(jìn)而計(jì)算，根據(jù)等邊對等角求得．
【詳解】
（1）

∵
∴
∵
∴
∴；
（2）連OB、OD，如圖，

∵BE為切線
∴
∴，
∴
則
，
∴

（3）如圖，連接，




是的切線，






如圖，延長AD交BC的延長線于G，作于G，于N，于Q，延長AB至S，連接ES，使，作于F，于R,




∵，
設(shè)，，則 ，
∴

∴
∴


∵
∴，


又


，

∵，設(shè)，，
，則，
，
又
∴
∴，
∵
∴在中，，
在中，，

即
∴
∴，設(shè)，
∵
在與中，

∴
∴
解得：
∴
，



∴
∵





∴
∴
∵，
∴
23．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸的正半軸點(diǎn)B，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如圖1，點(diǎn)D、P分別在一、三象限的拋物線上，其中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接BP，交y軸于點(diǎn)E，連接CD、DE，設(shè)△CDE的面積為s，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，射線AE與射線FB交于點(diǎn)G，連接AP，若∠AGB＝2∠APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長，將解析式變形為，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，求得的長，根據(jù)，即可求得的值，進(jìn)而求得解析式；
（2）根據(jù)已知二次函數(shù)解析式，由已知條件可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則設(shè)的橫坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，求得直線解析，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△CDE的面積，根據(jù)已知條件，進(jìn)而求得的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，即可求得的坐標(biāo)；
（3）連接，過作軸與，根據(jù)已知條件求得是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)證明，延長至，使得，連接，證明，是等腰直角三角形，根據(jù)已知條件∠AGB＝2∠APB可推出，過點(diǎn)引坐標(biāo)的兩條垂線，垂足為，作直線關(guān)于軸對稱的直線，交于點(diǎn),過點(diǎn)作，證明，根據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)論，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得根據(jù)的坐標(biāo)和的坐標(biāo)，求得列出比例式，解方程即可求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)．
【詳解】
（1）拋物線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸的正半軸點(diǎn)B，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，且，
令，則，則，
，
由，
則,，
，
，
即，
解得，
（2），
，
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則，,，，
設(shè)的橫坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
則
解得
，
，
，
設(shè)△CDE的面積為s，
則，
，
，
解得，
，
將代入，
，
（3）如圖，連接，過作軸與

,，,,,
,
，
是等腰直角三角形

將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，
,



,

延長至，使得，連接，
，

在與中


，，



即
是等腰直角三角形







過點(diǎn)引坐標(biāo)的兩條垂線，垂足為，作直線關(guān)于軸對稱的直線，交于點(diǎn),過點(diǎn)作，設(shè)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，


設(shè)，則，，
軸，是等腰直角三角形，


，

，軸，
，的橫坐標(biāo)為1，
直線的解析式為
令
解得




，


，，
，，
，
即，
整理得，
解得，
，
，
將代入，
．
24．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為，直線、直線分別與直線相交于點(diǎn)，．記旋轉(zhuǎn)角為．
（1）如圖①，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在軸正半軸上時(shí)，
①求證：；
②求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖②，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，
①求證：．
②求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，若，請直接寫出此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)．
【答案】（1）①見解析；②點(diǎn) 的坐標(biāo)為；（2）①見解析；②點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】
（1）①由題意得∠B＇CQ=∠C＇即可求解；②由題可得OA=8，OC=6． B＇C＇=BC=8，OC＇=OC=6；由（1）知△B＇CQ∽△B＇C＇O即可求解；
（2）①由題意知A＇B＇=AB=OC，∠BCO=∠B＇CO=∠A＇=90，易得三角形全等；②設(shè)CP=x，由（1）知△PCO≌△PA＇B＇，易得CP長即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分P在BQ上和P在QB延長線上兩種情況，分別運(yùn)用勾股定理求出PC長度，進(jìn)而確定P的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）①證明：根據(jù)題意，知∠B＇CQ=∠BCO=90°，∠BCO=∠C＇=90°，
∴∠B＇CQ=∠C＇=90°．
又∵∠QB＇C=∠OB＇C＇
∴△B＇CQ∽△B＇C＇O．
②∵點(diǎn)A（-8，0）C（0，6），
∴OA=8，OC=6．
∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=8．
根據(jù)題意，知B＇C＇=BC=8，OC＇=OC=6．
∴OB＇=10，B＇C=OB＇-OC=4．
由①知△B＇CQ∽△B＇C＇O，
∴，即．
∴CQ=3．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，6）．
（2）①證明：由題意知A＇B＇=AB=OC，∠BCO=∠B＇CO=∠A＇=90°，
又∵∠CPO=∠A＇PB＇
∴ △PCO≌△PA＇B＇．
②根據(jù)題意，知A＇O=AO=8．
設(shè)CP=x，由（1）知△PCO≌△PA＇B＇，
∴A＇P=CP=x，A＇B＇=OC=6，PB＇=PO=A＇O-A＇P=8-x．
在Rt△PA＇B＇中，，即，解得x=，
∴CP=．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）；
（3）對于△PQO，PQ邊上的高CO等于PO邊上的高C＇O
設(shè)BP=n
①當(dāng)P在BQ上時(shí)，∵BQ=2BP∴BP=PQ=n
在Rt△PCO中，由勾股定理得解得
∴PC=BC-BP=8-=故P點(diǎn)坐標(biāo)為（，6）
②當(dāng)P在QB的延長線上時(shí)，
∵BQ=2BP
∴PQ= 3BP=3n
在Rt△PCO中，由勾股定理得解得或（舍）
∴PC=BC+BP=故P點(diǎn)坐標(biāo)為（，6）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．

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