一元一次不等式組（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解不等式組的概念；2.會(huì)解一元一次不等式組，并會(huì)利用數(shù)軸正確表示出解集；3.會(huì)利用不等式組解決較為復(fù)雜的實(shí)際問題，感受不等式組在實(shí)際生活中的作用．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、不等式組的概念定義：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組．如，等都是一元一次不等式組． 要點(diǎn)詮釋： (1)這里的“幾個(gè)”不等式是兩個(gè)、三個(gè)或三個(gè)以上． (2)這幾個(gè)一元一次不等式必須含有同一個(gè)未知數(shù)．要點(diǎn)二、解一元一次不等式組一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集．要點(diǎn)詮釋：(1)找?guī)讉€(gè)不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，然后找出它們重疊的部分．(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現(xiàn)無解的情況．2.一元一次不等式組的解法解不等式組就是求它的解集，解一元一次不等式組的方法步驟：（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集．（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個(gè)不等式組的解集．要點(diǎn)三、一元一次不等式組的應(yīng)用列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟為：審題→設(shè)未知數(shù)→找不等關(guān)系→列不等式組→解不等式組→檢驗(yàn)→答．要點(diǎn)詮釋： (1)利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找不等關(guān)系． (2)列不等式組解決實(shí)際問題時(shí)，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問題的實(shí)際背景，從解集中聯(lián)系實(shí)際找出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取整數(shù)．【典型例題】類型一、解一元一次不等式組1.解不等式組【思路點(diǎn)撥】按照解不等式組的基本步驟進(jìn)行求解就可以了．【答案與解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式組的解集是1≤x＜4．【總結(jié)升華】求出不等式①、②的解集后，應(yīng)取其公共部分作為不等式組的解集． 舉一反三：【變式】解不等式組 無解．則a的取值范圍是 (   )A．a(chǎn)＜1    B．a(chǎn)≤l    C．a(chǎn)＞1    D．a(chǎn)≥1    【答案】B  2. 不等式組是否存在整數(shù)解？如果存在請(qǐng)求出它的解；如果不存在要說明理由.【思路點(diǎn)撥】解這類問題的第一步是分別求出各個(gè)不等式的解集；第二步借助數(shù)軸以確定不等式組的公共解集；最后看公共解集中是否存在整數(shù)解.【答案與解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x-3；解不等式（3），得：x-2；在數(shù)軸上分別表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：∴原不等式組的解集為：-2≤x＜2.∴原不等式組的整數(shù)解為：-2、-1、0、1.【總結(jié)升華】求不等式組的解集就是求不等式組中所有不等式解集的公共部分.對(duì)于三個(gè)以上的不等式有時(shí)不容易得到公共解集，于是常常借助數(shù)軸的直觀性，這樣較容易確定其解集.在數(shù)軸上表示點(diǎn)的位置，要注意空心圈與實(shí)心圓點(diǎn)的不同用法.舉一反三：【變式】（2015?北京）解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．【答案】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x＜，∴不等式組的解集為﹣2≤x＜，則不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3．3.試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．使不等式組 恰好有兩個(gè)整數(shù)解．【思路點(diǎn)撥】先確定其解集，再判斷出整數(shù)解，最后利用數(shù)軸確定a的范圍．【答案與解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)＞0，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1后得x＞．由不等式去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式組的解集為，因?yàn)樵摬坏仁浇M恰有兩個(gè)整數(shù)解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：≤１．【總結(jié)升華】此題考查的是一元一次不等式組的解法，得出x的整數(shù)解，再根據(jù)x的取值范圍求出a的值即可． 舉一反三：【變式】.已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一個(gè)不等式，得解集，解第二個(gè)不等式，得解集，∵不等式組的解集為x＞2，∴，即，又為自然數(shù)，∴或1或2．類型二、解特殊的一元一次不等式組4.（2015?黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或 ②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集為x＞或x＜﹣3．請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．【答案與解析】解：（1）根據(jù)“異號(hào)兩數(shù)相乘，積為負(fù)”可得①或②，解①得不等式組無解；解②得，﹣1＜x＜；（2）根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得①，②，解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，故不等式組的解集為：x≥3或x＜﹣2．【總結(jié)升華】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵． 類型三、一元一次不等式組的應(yīng)用5.某校初三年級(jí)春游，現(xiàn)有36座和42座兩種客車供選擇租用，若只租用36座客車若干輛，則正好坐滿；若只租用42座客車，則能少租一輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過30人；已知36座客車每輛租金400元，42座客車每輛租金440元．    (1)該校初三年級(jí)共有多少人參加春游?    (2)請(qǐng)你幫該校設(shè)計(jì)一種最省錢的租車方案．【思路點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵語句是：“若只租用42座客車，則能少租一輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過30人”．理解這句話，有兩層不等關(guān)系．    (1)租用36座客車x輛的座位數(shù)小于租用42座客車(x-1)輛的座位數(shù)．    (2)租用36座客車x輛的座位數(shù)大于租用42座客車(x-2)輛的座位數(shù)+30．【答案與解析】 解：(1)設(shè)租36座的車x輛．據(jù)題意得：，解得：．    由題意x應(yīng)取8，則春游人數(shù)為：36×8＝288(人)．    (2)方案①：租36座車8輛的費(fèi)用：8×400＝3200(元)，       方案②：租42座車7輛的費(fèi)用：7×440＝3080(元)，       方案③：因?yàn)?2×6+36×1＝288，所以租42座車6輛和36座車1輛的總費(fèi)用：6×440＋1×400＝3040(元) ．    所以方案③：租42座車6輛和36座車1輛最省錢．【總結(jié)升華】本例不等關(guān)系相對(duì)隱蔽，需要在審題過程中加以挖掘．舉一反三：【變式1】“向陽”中學(xué)某班計(jì)劃用勤工儉學(xué)收入的66元，同時(shí)購買單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲乙丙三種紀(jì)念品，獎(jiǎng)勵(lì)參加校“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)的同學(xué)．已知購買的乙種紀(jì)念品比購買的甲種紀(jì)念品多2件，而購買的甲種紀(jì)念品不少于10件，且購買甲種紀(jì)念品費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半，若購買的甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢，問可有幾種購買方案，每種方案中購買甲乙丙三種紀(jì)念品各多少件？【答案】解：設(shè)購買的甲、乙、丙三種紀(jì)念品件數(shù)分別為x、y、z，由題意得：且由方程組得：解不等式組得：10≤x≤11∵x為整數(shù)，∴x＝10或x＝11當(dāng)x＝10時(shí)，y＝12，z＝12當(dāng)x＝11時(shí)，y＝13，z＝7∴可有兩種方案購買． 【變式2】5.12四川地震后，懷化市立即組織醫(yī)護(hù)工作人員趕赴四川災(zāi)區(qū)參加傷員搶救工作． 擬派30名醫(yī)護(hù)人員，攜帶20件行李（藥品、器械），租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車共8輛，日夜兼程趕赴災(zāi)區(qū)．經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載4人和3件行李，乙種汽車每輛最多能載2人和8件行李．(1) 設(shè)租用甲種汽車x輛，請(qǐng)你設(shè)計(jì)所有可能的租車方案；(2) 若甲、乙汽車的租車費(fèi)用每輛分別為8000元、6000元，請(qǐng)你選擇最省錢的租車方案． 【答案】解：（1）設(shè)租用甲種汽車x輛，則租用乙種汽車，則：，解得：，∵應(yīng)為整數(shù)，∴或8，   ∴有兩種租車方案，分別為：方案1：租甲種汽車7輛，乙種汽車1輛；方案2：租甲種汽車8輛，乙種汽車0輛．（2）租車費(fèi)用分別為：方案1:   8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）． ∴ 方案1花費(fèi)最低，所以選擇方案1．

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