1.理解平面直角坐標系概念，能正確畫出平面直角坐標系.
2.能在平面直角坐標系中,根據(jù)坐標確定點,以及由點求出坐標，掌握點的坐標特征.
3.由數(shù)軸到平面直角坐標系,滲透類比的數(shù)學(xué)思想.
【要點梳理】
要點一、有序數(shù)對
定義：把有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．
要點詮釋：
有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號，可以寫成(6，7)的形式，而(7，6)則表示7排6號．
要點二、平面直角坐標系及點的坐標的概念
1. 平面直角坐標系
在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點(如圖1).
要點詮釋：平面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成的.
2. 點的坐標
平面內(nèi)任意一點P，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對（a,b）叫做點P的坐標，記作:P(a,b)，如圖2.
要點詮釋：
（1）表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開．
（2）點P(a，b)中，|a|表示點到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點到x軸的距離.
(3) 對于坐標平面內(nèi)任意一點都有唯一的一對有序數(shù)對(x，y)和它對應(yīng),反過來對于任意一對有序數(shù)對，在坐標平面內(nèi)都有唯一的一點與它對應(yīng)，也就是說，坐標平面內(nèi)的點與有序數(shù)對是一一對應(yīng)的．
要點三、坐標平面
1. 象限
建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．
要點詮釋：
（1）坐標軸x軸與y軸上的點(包括原點)不屬于任何象限．
（2）按方位來說：第一象限在坐標平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2. 坐標平面的結(jié)構(gòu)
坐標平面內(nèi)的點可以劃分為六個區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點.
要點四、點坐標的特征
1.各個象限內(nèi)和坐標軸上點的坐標符號規(guī)律
要點詮釋：
（1）對于坐標平面內(nèi)任意一個點，不在這四個象限內(nèi)，就在坐標軸上.
（2）坐標軸上點的坐標特征：x軸上的點的縱坐標為0；y軸上的點的橫坐標為0．
（3）根據(jù)點的坐標的符號情況可以判斷點在坐標平面上的大概位置；反之，根據(jù)點在坐標平面上的位置也可以判斷點的坐標的符號情況．
2.象限的角平分線上點坐標的特征
第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為(a，a)；
第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數(shù)，可表示為(a，-a)．
3.關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征
P(a，b)關(guān)于x軸對稱的點的坐標為 (a,-b)；
P(a，b)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為 (-a,b)；
P(a，b)關(guān)于原點對稱的點的坐標為 (-a,-b)．
4.平行于坐標軸的直線上的點
平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同；
平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同.
【典型例題】
類型一、有序數(shù)對表示位置
1．如圖是小剛的一張笑臉，他對妹妹說：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）．
A．（1，0） B．（-1，0） C．（-1，1） D．（1，-1）
【思路點撥】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以確定平面直角坐標系中x軸與y軸的位置，從而可以確定嘴的位置．
【答案】A．
【解析】
解：根據(jù)（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，
可得嘴的坐標是（1，0），
故答案為A．
【總結(jié)升華】此題考查了坐標確定位置，由已知條件正確確定坐標軸的位置是解決本題的關(guān)鍵．
類型二、平面直角坐標系與點的坐標的概念
2.有一個長方形ABCD，長為5，寬為3，先建立一個平面直角坐標系，在此坐標系下求出A，B，C，D各點的坐標.

【答案與解析】
解：本題答案不唯一，現(xiàn)列舉三種解法.
解法一：以點A為坐標原點，邊AB所在的直線為x軸，邊AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖（1）：
A（0，0），B（5，0）， C（5，3）， D （0，3）.
解法二：以邊AB的中點為坐標原點，邊AB所在的直線為x軸，AB的中點和CD的中點所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖（2）：
A（﹣2.5，0），B（2.5，0）， C（2.5，3）， D （-2.5，3）.
解法三：以兩組對邊中點所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，如圖（3）：
A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5）， C（2.5，1.5）， D （-2.5，1.5）.
【總結(jié)升華】在不同平面直角坐標系中，長方形頂點坐標不同，說明位置的相對性與絕對性，即只要原點、x軸和y軸確定，每一個點的位置也確定，而一旦原點或x軸、y軸改變，每一個點的位置也相對應(yīng)地改變.
舉一反三：
【變式】如圖所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(-1，1)，A4(-1，-1)，A5(2，-1)，……，則點A2008的坐標為________．

【答案】(-502，-502)．
3.平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面積．
【思路點撥】三角形的三邊都不與坐標軸平行，根據(jù)平面直角坐標系的特點，可以將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形或長方形的面積減去多余的直角三角形的面積，即可求得此三角形的面積．
【答案與解析】
解：如圖所示，過點A、C分別作平行于y軸的直線與過B點平行于x軸的直線交于點D、E，則四邊形ACED為梯形，根據(jù)點A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC的面積為：
．
【總結(jié)升華】點的坐標能體現(xiàn)點到坐標軸的距離，解決平面直角坐標系中的三角形面積問題，就是要充分利用這一點，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用相關(guān)圖形的面積計算公式求解．
類型三、坐標平面及點的特征
4. （2016春?沂水縣期中）已知點P（a﹣2，2a+8），分別根據(jù)下列條件求出點P的坐標．
（1）點P在x軸上；
（2）點P在y軸上；
（3）點Q的坐標為（1，5），直線PQ∥y軸；
（4）點P到x軸、y軸的距離相等．
【思路點撥】根據(jù)點的坐標特征一一求解.
【答案與解析】
解：（1）∵點P（a﹣2，2a+8），在x軸上，
∴2a+8=0，
解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，
則P（﹣6，0）；
（2））∵點P（a﹣2，2a+8），在y軸上，
∴a﹣2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
則P（0，12）；
（3）∵點Q的坐標為（1，5），直線PQ∥y軸；，
∴a﹣2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
則P（1，14）；
（4）∵點P到x軸、y軸的距離相等，
∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，
解得：a1=﹣10，a2=﹣2，
故當a=﹣10則：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，
則P（﹣12，﹣12）；
故當a=﹣2則：a﹣2=﹣4，2a+8=4，
則P（﹣4，4）．
綜上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【總結(jié)升華】此題主要考查了點的坐標性質(zhì)，包括坐標軸上的點的坐標特征，平行于坐標軸的點的特征，以及到坐標軸的距離相等的點的特征，考察很全面．
舉一反三：
【變式】若點C(x,y)滿足x+y＜0，xy＞0，則點C在第_____象限.
【答案】三．
5.一個正方形的一邊上的兩個頂點O、A的坐標為O(0，0)，A(4，0)，則另外兩個頂點的坐標是什么．
【思路點撥】有點的坐標說明已有確定的平面直角坐標系，但正方形的另兩個頂點位置不確定，所以應(yīng)按不同位置分類去求．
【答案與解析】
解：不妨設(shè)另外兩個頂點為B、C，因為OABC是正方形，所以O(shè)C＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，則：
(1)當頂點B在第一象限時，如圖所示，顯然 B點坐標為(4，4)，C點坐標為(0，4)．
(2)當頂點B在第四象限時，如圖所示，顯然B點坐標為(4，-4)，C點坐標為(0，-4)．
【總結(jié)升華】在解答這類問題時，我們千萬不要忽略了分類討論而導(dǎo)致錯誤．
舉一反三：
【變式】（2015?濟南）在平面直角坐標系中有三個點A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），點P（0，2）關(guān)于A的對稱點為P1，P1關(guān)于B的對稱點P2，P2關(guān)于C的對稱點為P3，按此規(guī)律繼續(xù)以A、B、C為對稱中心重復(fù)前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，則點P2015的坐標是（ ）
A.（0，0） B.（0，2） C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）
【答案】A．

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