37角（提高）知識(shí)講解練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

角（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；4. 掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5．了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、角的概念1．角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2. 角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3. 角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角；（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1. 角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．2. 角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?/span>方法2：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。?如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3. 角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4. 角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1. 定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2．性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)． (2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α) ．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°．知識(shí)點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”；（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【典型例題】類型一、角的比較與運(yùn)算1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個(gè)小于180°的角，試一一畫出來(lái)．【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個(gè)不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案與解析】解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七個(gè)度數(shù)的角，畫法如圖所示．【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫出11個(gè)度數(shù)的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．2. 計(jì)算下列各題： (1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″； (3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案與解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″ 即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°， ∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°． (2)將82°化為81°59′60″，則 ∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″． 423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′， ∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算；在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60″進(jìn)1′，滿60′進(jìn)1°；對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開(kāi)始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入．舉一反三：【變式】計(jì)算： (1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″； (3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．3.（2016春?龍口市期中）如圖，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度數(shù)；（2）若∠AOB=α其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（3）若∠AOC=β（β為銳角）其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從上面結(jié)果中看出有什么規(guī)律？【思路點(diǎn)撥】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根據(jù)角平分線的概念分別進(jìn)行計(jì)算即可求得；（2）和（3）均根據(jù)（1）的計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)即可．（4）根據(jù)（2）和（3）中的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)．【答案與解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）從上面的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)：∠MON的大小只和∠AOB得大小有關(guān)，與∠A0C的大小無(wú)關(guān)．【總結(jié)升華】能夠結(jié)合圖形表示角之間的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線的概念運(yùn)用幾何式子表示角之間的倍分關(guān)系．舉一反三：【變式】如圖，∠AOB的平分線OM,ON為∠MOA內(nèi)的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線。某同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是∠MON=（∠BON－∠AON），你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過(guò)程寫出來(lái)。【答案】解：正確，理由如下：∵∠AOB的平分線OM， ∴∠AOM=∠MOB又∵∠MON=∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON即有∠MON=∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON=∠BON－∠AON∴∠MON=（∠BON－∠AON）類型二、余角與補(bǔ)角4.已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線． (1)當(dāng)點(diǎn)C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖①所示)時(shí)．試說(shuō)明∠BOE＝2∠COF； (2)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E、F在直線AB的兩旁(如圖②所示)時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由； (3)將如圖②中的射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°(0＜m＜180)，得到射線OD，設(shè)∠AOC＝n°，若∠BOD＝，則∠DOE的度數(shù)是多少?(用含n的式子表示)【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來(lái)說(shuō)明理由．【答案與解析】解：(1)如圖①，設(shè)∠COF＝α，則∠EOF＝90°-α 因?yàn)镺F是∠AOE的平分線所以∠AOF＝90°-α 所以∠AOC＝(90°-α)-α＝90°-2α ∠BOE＝180°-∠COE-∠AOC ＝180°-90°-(90°-2α)＝2α 即∠BOE＝2∠COF (2)成立．如圖2 設(shè)∠AOC＝β，則，所以 ∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-(90°-β)＝90°+β 所以∠BOE＝2∠COF (3)因?yàn)?/span>∠DOE＝180°-∠AOE-∠BOD . 故的度數(shù)是.【總結(jié)升華】根據(jù)角平分線，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算．有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．舉一反三：【變式1】如圖，已知O是直線AC上一點(diǎn)，OD平分?AOB，OE在?BOC內(nèi)，且?BOE＝?EOC，?DOE＝70°，求?EOC的度數(shù). 【答案】解：設(shè)∠EOC=°，則?BOE＝?EOC＝°，根據(jù)題意可得：.解得：.∴ ?EOC＝2?BOE＝80°.【變式2】（2015?百色）一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（　　）　A．30° B． 45° C． 60° D． 70° 【答案】 B．解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則它的余角為90°﹣x，補(bǔ)角為180°﹣x，依題意得：90°﹣x=（180°﹣x），解得x=45°．類型三、方位角5. （2015?浦東新區(qū)三模）已知小島A位于基地O的東南方向，貨船B位于基地O的北偏東50°方向，那么∠AOB的度數(shù)等于　　．【答案】85°．【解析】解：如圖：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案為：85°．【總結(jié)升華】本題主要考查了方位角的概念，根據(jù)方位角的概念，畫圖正確表示出A，B的方位，注意東南方向是45度是解答此題的關(guān)鍵．類型四、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題6. 在7時(shí)到7時(shí)10分之間的什么時(shí)刻，時(shí)針與分針成一條直線?【答案與解析】解：設(shè)7時(shí)x分鐘，時(shí)針與分針成一條直線，由題意得：，．答：7時(shí)分鐘時(shí)針與分針成一條直線．【總結(jié)升華】時(shí)鐘上的分針與時(shí)針繞著中心順時(shí)針均勻轉(zhuǎn)動(dòng)，在不同時(shí)刻，兩針之間形成一定的角度．如果把單位時(shí)間分針和時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)當(dāng)作它們的速度則：① 分針的速度為＝6°/分；②時(shí)針的速度為＝0.5°/分．故分針?biāo)俣仁菚r(shí)針?biāo)俣鹊?2倍．舉一反三：【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購(gòu)物，表上的時(shí)針和分針的夾角恰為110°，下午近7點(diǎn)回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)表上的時(shí)針和分針的夾角又是110°，試算出此人外出用了多長(zhǎng)時(shí)間?【答案】解法一：設(shè)此人外出用了x分鐘，則分針轉(zhuǎn)了6x度，時(shí)針轉(zhuǎn)了0.5x度．根據(jù)題意得：6x-0.5x＝110×2，解之得x＝40．答：此人外出購(gòu)物用了40分鐘的時(shí)間．解法二：設(shè)時(shí)針從某人外出到回家走了x°，則分針走了（110＋110+x）°，則：
　　 110＋x＋110＝12x，
　　解得x＝20．
　　又∵時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，
　　 ∴此人外出用的時(shí)間為：20÷0.5＝40（分鐘）．
答：此人外出購(gòu)物用了40分鐘的時(shí)間．

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