課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十七）  研透高考命題的“三大題型”1．(2021·重慶模擬)某組織在某市征集志愿者參加志愿活動(dòng)，現(xiàn)隨機(jī)抽出60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出100名市民中愿意參加志愿活動(dòng)和不愿意參加志愿活動(dòng)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖所示．(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為愿意參加志愿活動(dòng)與性別有關(guān). 愿意不愿意總計(jì)男生   女生   總計(jì)    (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從愿意參加志愿活動(dòng)的市民中選取7名志愿者，再?gòu)闹谐槿?/span>2人作為隊(duì)長(zhǎng)，求抽取的2人至少有一名女生的概率．參考數(shù)據(jù)及公式：P(K2≥k0)0.10.050.0250.01k02.7063.8415.0246.635 K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．解：(1)列聯(lián)表如下： 愿意不愿意總計(jì)男生154560女生202040總計(jì)3565100因?yàn)?/span>K2＝≈6.59<6.635，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為愿意參加志愿活動(dòng)與性別有關(guān)．(2)用分層抽樣的方法從愿意參加志愿活動(dòng)的市民中選取7名志愿者，則女生4人，男生3人，分別編號(hào)為{1,2,3,4}，{a，b，c}，從中任取兩人的所有基本事件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1，a}，{1，b}，{1，c}，{2,3}，{2,4}，{2，a}，{2，b}，{2，c}，{3,4}，{3，a}，{3，b}，{3，c}，{4，a}，{4，b}，{4，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共有21種情況，其中滿足兩人中至少有一人是女生的基本事件有18個(gè)，故抽取的2人至少有一名女生的概率P＝＝.2．某工廠的一臺(tái)某型號(hào)機(jī)器有2種工作狀態(tài)：正常狀態(tài)和故障狀態(tài)．若機(jī)器處于故障狀態(tài)，則停機(jī)檢修．為了檢查機(jī)器工作狀態(tài)是否正常，工廠隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)器以往正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)的1 000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得出如圖1所示頻率分布直方圖．由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為這1 000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)，σ2近似為這1 000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表)．若產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值全部在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)，就認(rèn)為機(jī)器處于正常狀態(tài)，否則，認(rèn)為機(jī)器處于故障狀態(tài)．(1)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)從該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件測(cè)得的質(zhì)量指標(biāo)值：29　45　55　63　67　73　78　87　93　113請(qǐng)判斷該機(jī)器是否出現(xiàn)故障．(2)若機(jī)器出現(xiàn)故障，有2種檢修方案可供選擇：方案一：加急檢修，檢修公司會(huì)在當(dāng)天排除故障，費(fèi)用為700元；方案二：常規(guī)檢修，檢修公司會(huì)在七天內(nèi)的任意一天來(lái)排除故障，費(fèi)用為200元．現(xiàn)需決策在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí)，該工廠選擇何種方案進(jìn)行檢修，為此搜集檢修公司對(duì)該型號(hào)機(jī)器近100單常規(guī)檢修在第i(i＝1,2，…，7)天檢修的單數(shù)，得到如圖2所示柱狀圖，將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率．已知該機(jī)器正常工作一天可收益200元，故障機(jī)器檢修當(dāng)天不工作，若機(jī)器出現(xiàn)故障，該選擇哪種檢修方案？附：≈13.71，≈14.42，≈15.10.解：(1)由圖1可估計(jì)1 000個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差s2分別為＝40×0.04＋50×0.08＋60×0.24＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.10＋100×0.04＝70，s2＝(－30)2×0.04＋(－20)2×0.08＋(－10)2×0.24＋02×0.30＋102×0.20＋202×0.10＋302×0.04＝188，依題意知，μ＝70，σ＝≈13.71，所以μ－3σ≈28.87，μ＋3σ≈111.13，所以產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為(28.87,111.13)．又抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在(28.87,111.13)之內(nèi)，故可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)．(2)方案一：若安排加急檢修，工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為700＋200＝900元；方案二：若安排常規(guī)檢修，工廠需要支付檢修費(fèi)為200元，設(shè)損失收益為X元，則X的可能取值為200,400,600,800,1 000,1 200,1 400，X的分布列為X2004006008001 0001 2001 400P0.070.180.250.200.150.120.03 E(X)＝200×0.07＋400×0.18＋600×0.25＋800×0.20＋1 000×0.15＋1 200×0.12＋1 400×0.03＝14＋72＋150＋160＋150＋144＋42＝732元，故需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為200＋732＝932元．因?yàn)?/span>900<932，所以若機(jī)器出現(xiàn)故障，選擇加急檢修更為適合．3．某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位：元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位：千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合，已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為＝96.54e－0.2x，ln y與x的相關(guān)系數(shù)r1＝－0.94.(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程．(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本．(3)該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價(jià)定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價(jià)定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)(2)的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn)，產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇100元還是90元？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：iyi2ie－2183.40.340.1151.5336022 385.561.40.135 參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.相關(guān)系數(shù)r＝.解：(1)令u＝，則y＝a＋可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，因?yàn)?/span>＝＝45，所以＝＝＝＝100，則＝－＝45－100×0.34＝11，所以＝11＋100u，所以y關(guān)于x的回歸方程為＝11＋.(2)y與的相關(guān)系數(shù)r2＝＝≈≈0.99，因?yàn)?/span>|r1|<|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好．當(dāng)x＝10時(shí)，y＝＋11＝21(元)，所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元．(3)①若產(chǎn)品單價(jià)為100元，記企業(yè)利潤(rùn)為X千元，訂單為9千件時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為元，企業(yè)的利潤(rùn)為611千元；訂單為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為31元，企業(yè)的利潤(rùn)為690千元，則企業(yè)利潤(rùn)X的分布列為X611690P0.80.2 所以E(X)＝611×0.8＋690×0.2＝626.8(千元)．②若產(chǎn)品單價(jià)為90元，記企業(yè)利潤(rùn)為Y千元，訂單為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為31元，企業(yè)的利潤(rùn)為590千元；訂單為11千件時(shí)，每件產(chǎn)品的成本為元，企業(yè)的利潤(rùn)為659千元，則企業(yè)利潤(rùn)Y的分布列為Y590659P0.30.7 所以E(Y)＝590×0.3＋659×0.7＝638.3(千元)．由于626.8<638.3，故企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn)，產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇90元．4．(2020·湖北漢陽(yáng)一中高三一模)2019年12月以來(lái)，湖北武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，并迅速在全國(guó)范圍內(nèi)開始傳播，專家組認(rèn)為，本次病毒性肺炎病例的病原體初步判定為新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過(guò)與患者的密切接觸進(jìn)行傳染．我們把與患者有過(guò)密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者．已知每位密切接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為p(0<p<1)，某位患者在隔離之前，每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0≤X≤a)，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者．(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)為X的概率P(X)與a，p的關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望．(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無(wú)任何癥狀，為病毒傳播的最佳時(shí)間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有 a位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為En(n≥2)．①求數(shù)列{En}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；②若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1＋p)－p，當(dāng)p′取最大值時(shí)，計(jì)算此時(shí)p′所對(duì)應(yīng)的E6′值和此時(shí)p對(duì)應(yīng)的E6值，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明戴口罩的必要性．(取a＝10)結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln 5≈1.6, ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7解：(1)由題意，被感染人數(shù)服從二項(xiàng)分布：X～B(a，p)，則P(X)＝CpX(1－p)a－X(0≤X≤a)，X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝ap.(2)①第n天被感染人數(shù)為(1＋ap)n－1，第n－1天被感染人數(shù)為(1＋ap)n－2，由題目中均值的定義可知，En＝(1＋ap)n－1－(1＋ap)n－2＝ap(1＋ap)n－2則＝1＋ap，且E2＝ap.∴{En}是以ap為首項(xiàng)，1＋ap為公比的等比數(shù)列．②令f(p)＝ln(1＋p)－p，則f′(p)＝－＝.∴f(p)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．f(p)max＝f＝ln－＝ln 3－ln 2－≈1.1－0.7－0.3＝0.1.當(dāng)a＝10時(shí)，En＝10p(1＋10p)n－2，則E6′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4＝16，E6＝10×0.5×(1＋10×0.5)4＝6 480.∵E6>E6′，∴戴口罩很有必要． 

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