課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十六）  二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布[素養(yǎng)落實(shí)練]1．如果生男孩和生女孩的概率相等，則有3個(gè)小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：選B　設(shè)女孩個(gè)數(shù)為X，女孩多于男孩的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×2×＋C×3＝3×＋＝.2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，則μ與D(ξ)的值分別為(　　)A．μ＝，D(ξ)＝  B．μ＝，D(ξ)＝7C．μ＝3，D(ξ)＝7  D．μ＝3，D(ξ)＝ 解析：選C　∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，7)，∴正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)．∵P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝＝3，D(ξ)＝σ2＝7.3．(2020·重慶期末)甲、乙、丙三人參加學(xué)業(yè)水平測(cè)試，已知他們通過(guò)測(cè)試的概率分別為，，，且每人是否通過(guò)測(cè)試相互獨(dú)立，則這三人中至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率為(　　)A.  B.C.  D.解析：選D　所求事件的對(duì)立事件為“三人均未通過(guò)測(cè)試”，概率為××＝，故至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率為1－＝.故選D.4．有歌唱道：“江西是個(gè)好地方，山清水秀好風(fēng)光．”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到江西旅游，分別準(zhǔn)備從廬山、三清山、龍虎山和明月山4個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇廬山，事件B：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率P(B|A)＝(　　)A.  B.C.  D.解析：選D　由題知，事件A：甲和乙至少一人選擇廬山共有n(A)＝C·C＋1＝7種情況，事件AB：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，且至少一人選擇廬山，共有n(AB)＝C·C＝6種情況，所以P(B|A)＝＝.5.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　)附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A．1 193  B．1 359C．2 718  D．3 413解析：選B　對(duì)于正態(tài)分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝－1對(duì)稱(chēng)，故題圖中陰影部分的面積為×[P(－3<X<1)－P(－2<X<0)]＝×[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝＝0.135 9，投入10 000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 9＝1 359.故選B.6．從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(　　)A.  B.C.  D.解析：選B　由題意知，X～B，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2，∴X～B，∴D(X)＝5××＝.故選B.7．某班有48名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，理論上說(shuō)在80分到90分的人數(shù)約為(　　)附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 3.A．32  B．16C．8  D．24解析：選B　∵數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，P(|X－μ|<σ)＝0.682 7，∴P(|X－80|<10)＝0.682 7.根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，∴理論上說(shuō)在80分到90分的人數(shù)約為×48≈16.故選B.8．隨著電商的流行，物流快遞的工作越來(lái)越重要了，早在周代，我國(guó)便已出現(xiàn)快遞制度，據(jù)《周禮·秋官》記載，周王朝的官職中設(shè)置了主管郵驛、物流的官員“行夫”，其職責(zé)要求是“雖道有難，而不時(shí)必達(dá)”．現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對(duì)國(guó)內(nèi)排名前五的5家快遞公司的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了3輪測(cè)試(每輪測(cè)試的客觀條件視為相同)，每輪測(cè)試結(jié)束后都要根據(jù)該輪測(cè)試的成績(jī)對(duì)這5家快遞公司進(jìn)行排名，那么跟測(cè)試之前的排名比較，這3輪測(cè)試中恰好有2輪測(cè)試結(jié)果都出現(xiàn)2家公司排名不變的概率為________．解析：每輪測(cè)試中有2家公司排名不變的概率為＝＝，因而3輪測(cè)試中恰好有2輪測(cè)試結(jié)果都出現(xiàn)2家公司排名不變的概率為C×2×＝.答案：9．(2021·懷化月考)已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，則兩次都取到紅球的概率為________．解析：設(shè)“從1號(hào)箱取到紅球”為事件A，“從2號(hào)箱取到紅球”為事件B.由題意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以?xún)纱味既〉郊t球的概率為.答案：10．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________．解析：∵甲隊(duì)以4∶1獲勝，即甲隊(duì)在第5場(chǎng)(主場(chǎng))獲勝，前4場(chǎng)中有一場(chǎng)輸．若在主場(chǎng)輸一場(chǎng)，則概率為2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；若在客場(chǎng)輸一場(chǎng)，則概率為2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.∴甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率P＝0.072＋0.108＝0.18.答案：0.1811．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝3，D(X)＝2，則p＝________，P(X＝1)＝________.解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，E(X)＝3，D(X)＝2，所以解得即隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B.P(X＝1)＝C××8＝.答案：　12．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為.(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．解：(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為.(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽．比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場(chǎng)的概率為；乙連勝四場(chǎng)的概率為；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1－－－＝.(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為；比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，，.因此丙最終獲勝的概率為＋＋＋＝.13．九節(jié)蝦的真身是虎斑蝦，蝦身上有一深一淺的橫向紋路，煮熟后有明顯的九節(jié)白色花紋，肉味鮮美．某酒店購(gòu)進(jìn)一批九節(jié)蝦，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/g[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]數(shù)量4121185 (1)若購(gòu)進(jìn)這批九節(jié)蝦35 000 g，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批九節(jié)蝦的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))；(2)以頻率估計(jì)概率，若在本次購(gòu)買(mǎi)的九節(jié)蝦中隨機(jī)挑選4只，記質(zhì)量在[5,25)間的九節(jié)蝦的數(shù)量為X，求X的分布列．解：(1)由表中數(shù)據(jù)可以估計(jì)每只九節(jié)蝦的質(zhì)量為×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因?yàn)?/span>35 000÷29.5≈1 186(只)，所以這批九節(jié)蝦的數(shù)量約為1 186只．(2)由表中數(shù)據(jù)知，任意挑選1只九節(jié)蝦，質(zhì)量在[5,25)間的概率p＝＝，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝4＝，P(X＝1)＝C××3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，P(X＝3)＝C×3×＝，P(X＝4)＝4＝.所以X的分布列為X01234P  [梯度拔高練]1．某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>90分至120分之間的考生人數(shù)所占的百分比約為(　　)A．10%　　　　　　　　 B．20%C．30%  D．40%解析：選D　根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，其曲線(xiàn)關(guān)于x＝μ＝90對(duì)稱(chēng)．因?yàn)?/span>60分以下的人數(shù)占10%，所以120分以上的人數(shù)占10%，所以60分到120分的人數(shù)占80%，故90分到120分的人數(shù)占40%.故選D.2．夏秋兩季，生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚(yú)回游到長(zhǎng)江，歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚(yú)長(zhǎng)大到15厘米左右，又?jǐn)y帶它們旅居外海．一個(gè)環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚(yú)魚(yú)苗，該批魚(yú)苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為0.15，雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05，若該批魚(yú)苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為(　　)A．0.05  B．0.007 5C．  D．解析：選C　設(shè)事件A為魚(yú)苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域長(zhǎng)成熟，事件B為該雌性個(gè)體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝＝＝.故選C.3.甲、乙兩類(lèi)水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4 kgB．甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量比乙類(lèi)水果的平均質(zhì)量小D．乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99解析：選D　由圖象可知，甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4 kg，乙類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ2＝0.8 kg，故A、C正確；由正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)可知，甲的曲線(xiàn)比乙的曲線(xiàn)“瘦”，因此方差較小，所以甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；由于正態(tài)曲線(xiàn)乙的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0.8，1.99)，結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)在頂點(diǎn)處的坐標(biāo)為可知，σ2＝，故D錯(cuò)誤，選D.4．近年來(lái)電子商務(wù)蓬勃發(fā)展，同時(shí)也極大地促進(jìn)了快遞行業(yè)的發(fā)展，為了更好地服務(wù)客戶(hù)，某快遞公司使用客戶(hù)評(píng)價(jià)系統(tǒng)對(duì)快遞服務(wù)人員的服務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，每月根據(jù)客戶(hù)評(píng)價(jià)評(píng)選出“快遞之星”．已知“快遞小哥”小張?jiān)诿總€(gè)月被評(píng)選為“快遞之星”的概率都是，則小張?jiān)诘谝患径鹊?/span>3個(gè)月中有2個(gè)月都被評(píng)為“快遞之星”的概率為________；設(shè)小張?jiān)谏习肽甑?/span>6個(gè)月中被評(píng)為“快遞之星”的次數(shù)為隨機(jī)變量X，則隨機(jī)變量X的方差D(X)＝________.解析：由題意可知，小張?jiān)诘谝患径鹊?/span>3個(gè)月中有2個(gè)月被評(píng)選為“快遞之星”的概率為C×2×＝.由題意易知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，所以D(X)＝6××＝.答案：　5．2019年，中華人民共和國(guó)成立70周年，為了慶祝建國(guó)70周年，某中學(xué)在全校進(jìn)行了一次愛(ài)國(guó)主義知識(shí)競(jìng)賽，共1 000名學(xué)生參加，答對(duì)題數(shù)(共60題)分布如下表所示：組別[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)1018526540011525 答對(duì)題數(shù)Y近似服從正態(tài)分布N(μ，81)，μ為這1 000人答對(duì)題數(shù)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)．(1)估計(jì)答對(duì)題數(shù)在(12,48]內(nèi)的人數(shù)(精確到整數(shù)位)．(2)學(xué)校為此次參加競(jìng)賽的學(xué)生制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：每名同學(xué)可以獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)品的價(jià)值與對(duì)應(yīng)的概率如下表所示：獲得獎(jiǎng)品的價(jià)值(單位：元)01020概率 用X(單位：元)表示學(xué)生甲參與抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)品的價(jià)值，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：(1)根據(jù)題意，可得μ＝＝30，則Y～N(30,81)．又12＝30－2×9,48＝30＋2×9，所以P(12<Y≤48)＝0.954 4，所以1 000×0.954 4≈954人．故答對(duì)題數(shù)在(12,48]內(nèi)的人數(shù)約為954.(2)由條件可知，X的可能取值為0,10,20,30,40.P(X＝0)＝2＝；P(X＝10)＝C××＝；P(X＝20)＝2＋C××＝；P(X＝30)＝C××＝；P(X＝40)＝2＝.X的分布列為X010203040P E(X)＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＝18(元)． 

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