課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十五）  離散型隨機(jī)變量的分布列及均值、方差[素養(yǎng)落實(shí)練]1．已知隨機(jī)變量X的分布列為X124P0.40.30.3 則E(5X＋4)等于(　　)A．15　　　　　　　　　 B．11C．2.2  D．2.3解析：選A　∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.2．若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1 則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，2]　　　　　　 B．[1,2]C．(1,2]  D．(1,2)解析：選C　由隨機(jī)變量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．3．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且 i＝1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(　　)A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：選B　X的可能取值為1,2,3,4，四種情形的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，標(biāo)準(zhǔn)差為.A選項(xiàng)的方差D(X)＝0.65；B選項(xiàng)的方差D(X)＝1.85；C選項(xiàng)的方差D(X)＝1.05；D選項(xiàng)的方差D(X)＝1.45.可知選項(xiàng)B的情形對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大．故選B.4．(2021·福州模擬)口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的期望為(　　)A.  B.C．2  D.解析：選D　因?yàn)榭诖杏芯幪?hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)，所以取出的球的最大編號(hào)X的可能取值為2,3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.5．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)＝，則D(3X－2)＝(　　)X－101Pab A.  B.C．5  D．7解析：選C　∵E(X)＝，∴由隨機(jī)變量X的分布列得：解得∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝，∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×＝5.    6．(2021·贛州模擬)一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為(　　)解析：選C　隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故選C.7．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍為(　　)A.  B.C.  D.解析：選A　由題可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞或p＜，由p∈(0,1)可得p∈，故選A.8．某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab 若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為________．解析：由分布列的性質(zhì)得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.答案：40%9．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和     4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則        P(ξ＝2)＝________.解析：由題意可知，P(ξ＝2)＝＝.答案：10．為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．解：(1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P 均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.11．(2020·鎮(zhèn)江三模)共享單車的出現(xiàn)大大方便了人們的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五種共享單車，某人在某周的周一至周五這五天中，每天選擇其中任意一種共享單車出行的可能性相同．(1)求此人在這連續(xù)五天的出行中共選擇了三種共享單車的概率；(2)記此人在這連續(xù)五天的出行中選擇的共享單車的種數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)記“此人在這連續(xù)五天的出行中共選擇了三種共享單車”為事件M，則事件M包含“某種共享單車用三天，另有兩種共享單車各用一天”、“某種共享單車用一天，另有兩種共享單車各用兩天”兩種情況．所以P(M)＝＝.(2)易知隨機(jī)變量X的所有可能的取值為1,2,3,4,5，由(1)知，P(X＝3)＝，又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，則隨機(jī)變量X的分布列為X12345P 所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. [梯度拔高練]1．設(shè)0＜a<，隨機(jī)變量X的分布列為：X－2－112Pa－a則當(dāng)a在增大時(shí)，(　　)A．D(X)增大  B．D(X)減小C．D(X)先增大后減小  D．D(X)先減小后增大解析：選C　由題意可得，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝－2×－1×a＋1×＋2×＝－2a，隨機(jī)變量X2的數(shù)學(xué)期望E(X2)＝(－2)2×＋(－1)2×a＋12×＋22×＝3，∴隨機(jī)變量X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝3－2＝－42＋3，∴當(dāng)a在增大時(shí)，D(X)先增大后減小，故選C.2．某糕點(diǎn)房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價(jià)為4元，售價(jià)為8元．受保質(zhì)期的影響，當(dāng)天沒(méi)有銷售完的部分只能銷毀．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的調(diào)研，統(tǒng)計(jì)了一下該新品的日需求量．現(xiàn)將近期一個(gè)月(30天)的需求量展示如下： 日需求量x(個(gè))20304050天數(shù)510105 (1)從這30天中任取2天，求2天的日需求量均為40個(gè)的概率．(2)以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望值E(X)＝.現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天45個(gè)，試列出生產(chǎn)45個(gè)時(shí)，利潤(rùn)Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判斷此建議該不該被采納．解：(1)從這30天中任取2天，基本事件總數(shù)n＝C，2天的日需求量均為40個(gè)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝C，∴2天的日需求量均為40個(gè)的概率P＝＝.(2)設(shè)該糕點(diǎn)房制作45個(gè)蛋糕時(shí)對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為Y，P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，∴Y的分布列為Y－2060140180P E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.∵該糕點(diǎn)房一天制作35個(gè)該類蛋糕時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)的期望值E(X)＝，<，∴此建議不該被采納．3．近年來(lái)，祖國(guó)各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展．景區(qū)與游客都應(yīng)樹(shù)立尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場(chǎng)走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道．某景區(qū)有一個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目：在參觀某特色景點(diǎn)入口處會(huì)為每位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷毀．該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平均只有三成的游客會(huì)選擇帶走照片．為改善運(yùn)營(yíng)狀況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿關(guān)系作了市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費(fèi)與消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設(shè)平均每天約有5 000人參觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每位游客是否購(gòu)買照片相互獨(dú)立．(1)若調(diào)整為支付10元就可以帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多還是少？(2)要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價(jià)？解：(1)當(dāng)收費(fèi)為20元時(shí)，照片被帶走的概率為0.3，不被帶走的概率為0.7，設(shè)此時(shí)每位游客的利潤(rùn)為Y1(元)，則Y1是隨機(jī)變量，其分布列為Y115－5P0.30.7 E(Y1)＝15×0.3－5×0.7＝1(元)，則5 000位游客的利潤(rùn)為5 000元．當(dāng)收費(fèi)為10元時(shí)，照片被帶走的概率為0.3＋0.05×10＝0.8，不被帶走的概率為0.2，設(shè)此時(shí)每位游客的利潤(rùn)為Y2(元)，則Y2是隨機(jī)變量，其分布列為Y25－5P0.80.2 E(Y2)＝5×0.8－5×0.2＝3(元)，則5 000位游客的利潤(rùn)為15 000元．所以調(diào)整價(jià)格后，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多．(2)設(shè)降價(jià)x元，則0≤x＜15，照片被帶走的概率為0.3＋0.05x，不被帶走的概率為0.7－0.05x，設(shè)此時(shí)每位游客的利潤(rùn)為Y(元)，則Y是隨機(jī)變量，其分布列為Y15－x－5P0.3＋0.05x0.7－0.05x E(Y)＝(15－x)(0.3＋0.05x)－5(0.7－0.05x)＝0.05[－(x－7)2＋69](元)，當(dāng)x＝7時(shí)，E(Y)有最大值3.45元，即當(dāng)定價(jià)為13元時(shí)，每天的平均利潤(rùn)最大，為17 250元． 

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