課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十八）  突破制約解題的“四大關(guān)口”1．(2020·濟(jì)南一模)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物已經(jīng)成為人們的一種生活方式．某購(gòu)物平臺(tái)為了給顧客提供更好的購(gòu)物體驗(yàn)，為入駐商家設(shè)置了積分制度，每筆購(gòu)物完成后，買(mǎi)家可以根據(jù)物流情況、商品質(zhì)量等因素對(duì)商家做出評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)分為好評(píng)、中評(píng)和差評(píng)．平臺(tái)規(guī)定商家有50天的試營(yíng)業(yè)時(shí)間，期間只評(píng)價(jià)不積分．正式營(yíng)業(yè)后，每個(gè)好評(píng)給商家計(jì)1分，中評(píng)計(jì)0分，差評(píng)計(jì)－1分．某商家在試營(yíng)業(yè)期間隨機(jī)抽取100單交易，調(diào)查了其商品的物流情況以及買(mǎi)家的評(píng)價(jià)情況，分別制成了圖①和圖②.(1)通常收件時(shí)間不超過(guò)四天認(rèn)為是物流迅速，否則認(rèn)為是物流遲緩．請(qǐng)根據(jù)題目所給信息完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“獲得好評(píng)”與物流速度有關(guān)．  好評(píng)中評(píng)或差評(píng)總計(jì)物流迅速   物流遲緩30  總計(jì)    (2)從正式營(yíng)業(yè)開(kāi)始，記商家在每筆交易中得到的評(píng)價(jià)得分為X.該商家將試營(yíng)業(yè)50天期間的成交情況制成了頻數(shù)分布表(如表)，以試營(yíng)業(yè)期間成交單數(shù)的頻率代替正式營(yíng)業(yè)時(shí)成交單數(shù)發(fā)生的概率.成交單數(shù)363027天數(shù)102020 ①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②平臺(tái)規(guī)定，當(dāng)積分超過(guò)10 000分時(shí)，商家會(huì)獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào)，請(qǐng)估計(jì)該商家從正式營(yíng)業(yè)開(kāi)始，1年內(nèi)(365天)能否獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào)．附：K2＝.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635 解：(1)2×2列聯(lián)表如下： 好評(píng)中評(píng)或差評(píng)總計(jì)物流迅速50555物流遲緩301545總計(jì)8020100 K2的觀測(cè)值k＝＝≈9.091>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為“獲得好評(píng)”與物流速度有關(guān)．(2)①由題意可知，X的取值可能是1,0，－1，每位買(mǎi)家給商家作出好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)的概率分別為0.8,0.1,0.1，所以X的分布列為X10－1P0.80.10.1 所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×0.8＋0×0.1＋(－1)×0.1＝0.7.②法一：設(shè)商家每天的成交量為Y，則Y的取值可能為27,30,36，所以Y的分布列為Y273036P0.40.40.2 所以E(Y)＝27×0.4＋30×0.4＋36×0.2＝30，所以商家每天能獲得的平均積分為30×0.7＝21，商家一年能獲得的積分為21×365＝7 665<10 000，所以該商家在1年內(nèi)不能獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào)．法二：商家每天的平均成交量為＝30，所以商家每天能獲得的平均積分為30×0.7＝21，商家一年能獲得的積分為21×365＝7 665<10 000，所以該商家在1年內(nèi)不能獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào)．2．出版商為了解某科普書(shū)一個(gè)季度的銷(xiāo)售量y(單位：千本)和利潤(rùn)x(單位：元/本)之間的關(guān)系，對(duì)近年來(lái)幾次調(diào)價(jià)之后的季銷(xiāo)售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下所示的散點(diǎn)圖．(1)根據(jù)圖中所示的散點(diǎn)圖判斷y＝ax＋b和y＝cln x＋d哪個(gè)更適宜作為銷(xiāo)售量y關(guān)于利潤(rùn)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不需要說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)回歸方程分析：設(shè)該科普書(shū)一個(gè)季度的利潤(rùn)總額為z(單位：千元)，當(dāng)季銷(xiāo)售量y為何值時(shí)，該書(shū)一個(gè)季度的利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大？(季利潤(rùn)總額＝季銷(xiāo)售量×每本書(shū)的利潤(rùn))參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝，＝－.參考數(shù)據(jù)：(xi－)2(ui－)2(xi－)·(yi－)(ui－)·(yi－)6.506.601.7582.502.70－143.25－27.54 表中ui＝ln xi，＝i.另：ln 4.06≈1.40.計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到0.01.解：(1)y＝cln x＋d更適宜作為銷(xiāo)售量y關(guān)于利潤(rùn)x的回歸方程類(lèi)型．(2)令u＝ln x，則y＝cu＋d.由于＝＝＝－10.20，＝－·＝6.6＋10.20×1.75＝24.45，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為＝24.45－10.20u，即y關(guān)于x的回歸方程為＝24.45－10.20ln x.(3)由題意得z＝xy＝x(24.45－10.20ln x)，則z′＝14.25－10.20ln x.令z′＝0，即14.25－10.20ln x＝0，解得ln x≈1.40，所以x≈4.06.當(dāng)x∈(0，4.06)時(shí)，z′>0，所以z在(0,4.06)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(4.06，＋∞)時(shí)，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝4.06時(shí)，即季銷(xiāo)量y＝10.17千本時(shí)，季利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大．3．(2021·武漢模擬)為增強(qiáng)全民科技意識(shí)，提高公眾科學(xué)素養(yǎng)，某市圖書(shū)館開(kāi)展了以“親近科技、暢想未來(lái)”為主題的系列活動(dòng)，并對(duì)不同年齡借閱者借閱科技類(lèi)圖書(shū)的情況進(jìn)行了調(diào)查．該圖書(shū)館從只借閱了一本圖書(shū)的借閱者中隨機(jī)抽取100人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 借閱科技類(lèi)圖書(shū)借閱非科技類(lèi)圖書(shū)年齡不超過(guò)50歲2025年齡超過(guò)50歲1045 (1)是否有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類(lèi)圖書(shū)有關(guān)？(2)該圖書(shū)館為了鼓勵(lì)市民借閱科技類(lèi)圖書(shū)，規(guī)定市民每借閱一本科技類(lèi)圖書(shū)獎(jiǎng)勵(lì)積分2分，每借閱一本非科技類(lèi)圖書(shū)獎(jiǎng)勵(lì)積分1分，積分累計(jì)一定數(shù)量可以用積分換購(gòu)自己喜愛(ài)的圖書(shū)．用表中的樣本頻率作為概率．①現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書(shū)，記這3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；②現(xiàn)從只借閱一本圖書(shū)的借閱者中選取16人，則借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)是多少？附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828 解：(1)因?yàn)?/span>K2＝＝≈8.129>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類(lèi)圖書(shū)有關(guān)．(2)①因?yàn)橛帽碇械臉颖绢l率作為概率，所以借閱科技類(lèi)圖書(shū)的概率p＝＝.因?yàn)?/span>3名借閱者每人借閱一本圖書(shū)，這3人增加的積分總和為隨機(jī)變量ξ，所以ξ的可能取值為3,4,5,6.P(ξ＝3)＝C03＝，P(ξ＝4)＝C12＝，P(ξ＝5)＝C21＝，P(ξ＝6)＝C30＝，從而ξ的分布列為ξ3456P 所以E(ξ)＝3×＋4×＋5×＋6×＝3.9.②記16人中借閱科技類(lèi)圖書(shū)的人數(shù)為X，則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X～B.設(shè)借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)是k(k＝0,1,2，…，16)，則P(X＝k)＝Ck16－k.因?yàn)?/span>＝＝1＋，所以當(dāng)k≤5時(shí)，>1，當(dāng)k≥6時(shí)，<1.即P(X＝0)<P(X＝1)<…<P(X＝5)>P(X＝6)>…>P(X＝16)．所以P(X＝5)最大．所以16人中借閱科技類(lèi)圖書(shū)最有可能的人數(shù)是5.4．(2021·長(zhǎng)沙模擬)某市有一家大型共享汽車(chē)公司，在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的汽車(chē)．已知黃、藍(lán)兩種顏色的汽車(chē)的投放比例為3∶1.監(jiān)管部門(mén)為了解這兩種顏色汽車(chē)的質(zhì)量，決定從投放到市場(chǎng)上的汽車(chē)中隨機(jī)抽取5輛汽車(chē)進(jìn)行試駕體驗(yàn)，假設(shè)每輛汽車(chē)被抽取的可能性相同．(1)求抽取的5輛汽車(chē)中恰有2輛是藍(lán)色汽車(chē)的概率．(2)在試駕體驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色汽車(chē)存在一定質(zhì)量問(wèn)題，監(jiān)管部門(mén)決定從投放的汽車(chē)中隨機(jī)地抽取1輛送技術(shù)部門(mén)作進(jìn)一步抽樣檢測(cè)，并規(guī)定：若抽取的是黃色汽車(chē)，則將其放回市場(chǎng)，并繼續(xù)隨機(jī)地抽取下一輛汽車(chē)；若抽到的是藍(lán)色汽車(chē)，則抽樣結(jié)束．并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過(guò)n(n∈N*)次．在抽樣結(jié)束時(shí)，若已取到的黃色汽車(chē)的次數(shù)用ξ表示，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)因?yàn)殡S機(jī)抽取1輛汽車(chē)是藍(lán)色汽車(chē)的概率為，用X表示“抽取的5輛汽車(chē)中藍(lán)色汽車(chē)的輛數(shù)”，則X服從二項(xiàng)分布，即X～B，所以抽取的5輛汽車(chē)中恰有2輛是藍(lán)色汽車(chē)的概率P＝C·32＝.(2)ξ的可能取值為0,1,2，…，n.P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝×，P(ξ＝2)＝2×，…，P(ξ＝n－1)＝n－1×，P(ξ＝n)＝n.所以ξ的分布列為ξ012…n－1nP×2×…n－1×n 則E(ξ)＝1××＋2×2×＋3×3×＋…＋(n－1)×n－1×＋n×n，①E(ξ)＝1×2×＋2×3×＋…＋(n－2)×n－1×＋(n－1)×n×＋n×n＋1.②①－②得，E(ξ)＝×＋2×＋3×＋…＋n－1×＋n×n－(n－1)×n×－n×n＋1＝×＋2×＋3×＋…＋n－1×＋n×，則E(ξ)＝＋2＋3＋…＋n－1＋n＝＝3，所以E(ξ)＝3－3×n. 

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