課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十二）  排列與組合[素養(yǎng)落實(shí)練]1．(2021·惠州調(diào)研)七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是(　　)A．3 600　　　　　　　　　 B．1 440C．4 820  D．4 800解析：選A　除甲、乙外，其余5個(gè)人排列數(shù)為A種，再用甲、乙去插6個(gè)空位有A種，不同的排法種數(shù)是AA＝3 600(種)．2．(多選)有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為N，則下列等式能成為N的算式是(　　)A．C－CC  B．CC＋CC＋CC＋CC．C－CC－C  D．CC解析：選BC　13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人．利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即N＝C－CC－C，所以能成為N的算式是B、C.3．6本不同的書在書架上擺成一排，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有(　　)A．24種  B．36種C．48種  D．60種解析：選A　甲、乙兩本書擺在兩端有A種擺法，因?yàn)楸?、丁兩本書必須相鄰，則先將其“捆綁”，與剩下的兩本書全排列有A種擺法，丙、丁再排列，有A種擺法，則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有AAA＝24種不同的擺法，故選A.1234567894.用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1，2，…，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“3,5,7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有(　　)A．18種  B．36種C．72種  D．108種解析：選D　先涂3,5,7，有C種方法，再涂2,4.若2,4同色，則有C種方法，此時(shí)涂1，有C種方法；若2,4不同色，則有A種方法，此時(shí)涂1，有1種方法．根據(jù)對(duì)稱性一共有C·×＝108種涂法，故選D.  5．(多選)(2020·濱州高三期末)2020年3月，為促進(jìn)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，濱州市某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共43種解析：選ABC　對(duì)于選項(xiàng)A：若C企業(yè)沒有派醫(yī)生去，每名醫(yī)生有2種選擇，則共用24＝16種，若C企業(yè)派1名醫(yī)生則有C·23＝32種，所以共有16＋32＝48種．對(duì)于選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有·A＝36種．對(duì)于選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，若甲企業(yè)分2人，則有A＝6種；若甲企業(yè)分1人，則有CCA＝6種，所以共有6＋6＝12種．對(duì)于選項(xiàng)D：所有不同分派方案共有34種．6．(2020·廣州調(diào)研)某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有(　　)A．36種  B．24種C．22種  D．20種解析：選B　根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個(gè)大學(xué)各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有AA＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有CAA＝12種推薦方法．故共有24種推薦方法．7．某地實(shí)行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為(　　)A．6  B．12C．18  D．19解析：選D　從六科中選考三科的選法有C種，其中不選物理、政治、歷史中任意一科的選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C－1＝19種．8．從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A．300  B．216C．180  D．162解析：選C　分兩類：第一類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C·C·A＝72(個(gè))符合要求的四位數(shù)；第二類，取0，此時(shí)2和4只能取一個(gè)，再取兩個(gè)奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(個(gè))符合要求的四位數(shù)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個(gè))．9．(2020·滄州七校聯(lián)考)身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)共有(　　)A．24種  B．28種C．36種  D．48種解析：選D　按紅紅之間有藍(lán)、無藍(lán)兩類來分．(1)當(dāng)紅紅之間有藍(lán)時(shí)，則有AA＝24(種)．(2)當(dāng)紅紅之間無藍(lán)時(shí)，則有CACC＝24(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的排法共有48種．10．安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　)A．12種  B．18種C．24種  D．36種解析：選D　因?yàn)榘才?/span>3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，所以必有1人完成2項(xiàng)工作．先把4項(xiàng)工作分成3組，即2,1,1，有＝6種，再分配給3個(gè)人，有A＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)．11．某校2020年元旦晚會(huì)對(duì)2個(gè)相聲節(jié)目和5個(gè)小品節(jié)目安排演出順序，若第一個(gè)節(jié)目只能排相聲甲或相聲乙，最后一個(gè)節(jié)目不能排相聲甲，則不同的排法有________種．解析：若第一個(gè)節(jié)目排相聲甲，有A＝720(種)排法；若第一個(gè)節(jié)目排相聲乙，則最后一個(gè)節(jié)目不能排相聲甲，有AA＝600(種)排法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有720＋600＝1 320(種)排法．答案：1 32012．某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有________種不同的抽調(diào)方法．解析：法一：在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分為三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛，有A種；一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種．故共有C＋A＋C＝84(種)抽調(diào)方法．法二：由于每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛，只需將10個(gè)份額分成7份．可看作將10個(gè)小球排成一排，在相互之間的9個(gè)空當(dāng)中插入6個(gè)隔板，即可將小球分成7份，故共有C＝84(種)抽調(diào)方法．答案：8413．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天．若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)解析：根據(jù)題意，分2種情況討論，若甲、乙之中只有一人參加，有C·C·A＝3 600(種)；若甲、乙兩人都參加，有C·A·A＝1 440(種)．故不同的安排種數(shù)為3 600＋1 440＝5 040.答案：5 04014．(2021·湖南師大附中測(cè)試)某市政府決定派遣8名干部(5男3女)分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有________種．解析：兩組至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3,5或4,4，又因?yàn)?/span>3名女干部不能單獨(dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為A＝180.答案：18015．(2020·湖北八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生甲和乙不能同時(shí)參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)解析：①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為C－C＝9.②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為C－C＝9.③設(shè)甲、乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為C＝5.綜合①②③得，不同的選法種數(shù)為9＋9＋5＝23.答案：23 [梯度拔高練]1．(2020·江西八校聯(lián)考)若一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)”，如數(shù)字“2 017”．試問用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復(fù)數(shù)字且大于2 017的“完美四位數(shù)”的個(gè)數(shù)為(　　)A．55　　　　　　　　　　 B．59C．66  D．71解析：選D　記千位為首位，百位為第二位，十位為第三位，由題設(shè)中提供的信息可知，和為10的無重復(fù)的四個(gè)數(shù)字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五組．其中第一組(0,1,2,7)中，7排在首位有A＝6(種)情形，2排在首位，1或7排在第二位上時(shí)，有2A＝4(種)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1種情形，共有        6＋4＋1＝11(種)情形符合題設(shè)；第二組中3,6分別排在首位共有2A＝12(種)情形；第三組中4,5分別排在首位共有2A＝12(種)情形；第四組中2,3,5分別排在首位共有3A＝18(種)情形；第五組中2,3,4分別排在首位共有3A＝18(種)情形．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知符合題設(shè)條件的“完美四位數(shù)”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(個(gè))．2．(2020·南京調(diào)研)已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡．若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四位顧客購物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，則他們結(jié)賬方式的可能情況有(　　)A．19種  B．26種C．7種  D．12種解析：選B　甲付現(xiàn)金或用支付寶或用微信，乙只能付現(xiàn)金，按甲、乙結(jié)賬方式相同或結(jié)賬方式不同分類．由題意，結(jié)賬方法數(shù)為A＋2×(2×2＋2×3)＝26.故選B.3．用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是(　　)A．12  B．24C．30  D．36解析：選C　按順序涂色，第一個(gè)圓有三種選擇，第二個(gè)圓有二種選擇，若前三個(gè)圓用了三種顏色，則第三個(gè)圓有一種選擇，后三個(gè)圓也用了三種顏色，共有3×2×1×C×C＝24(種)；若前三個(gè)圓用了兩種顏色，則后三個(gè)圓也用了兩種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是30.4．某共享汽車停放點(diǎn)的停車位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為________．解析：設(shè)停車位有n個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰相當(dāng)于先將(n－3)個(gè)停車位排好，將這3輛共享汽車插入到所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有A種．若有2輛共享汽車相鄰，可先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另一輛插入到將(n－3)個(gè)停車位排好所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有AA種．因?yàn)檫@3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.答案：105．(2020·龍巖期末)已知集合A＝{C}，B＝{C，C}，C＝{C，C，C}，若從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．解析：不考慮任何限制條件，則不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CCA＝36，由組合數(shù)的性質(zhì)可知C＝C，則坐標(biāo)中同時(shí)含C和C的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為C＝3，所以所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)為36－(A－3)＝33.答案：33 

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