課時(shí)跟蹤檢測(cè)（六十一）  分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理[素養(yǎng)落實(shí)練]1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是(　　)A．26　　　　　　　　　 B．60C．18  D．1 080解析：選A　由分類加法計(jì)數(shù)原理知有5＋12＋3＋6＝26(種)不同走法．2．從集合{0,1,2,3,4,5}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有(　　)A．36個(gè)  B．30個(gè)C．25個(gè)  D．20個(gè)解析：選C　因?yàn)?/span>a，b互不相等且a＋bi為虛數(shù)，所以b只能從{1,2,3,4,5}中選，有5種選法，a從剩余的5個(gè)數(shù)中選，有5種選法，所以共有虛數(shù)5×5＝25(個(gè))，故選C.3．(2021·保定質(zhì)檢)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　)A．4種  B．6種C．10種  D．16種解析：選B　分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．4．5 400的正約數(shù)有(　　)A．48個(gè)  B．46個(gè)C．36個(gè)  D．38個(gè)解析：選A　5 400＝23×33×52,5 400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，所以正約數(shù)個(gè)數(shù)為(3＋1)×(3＋1)×(2＋1)＝48.故選A.5．某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))．有車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有(　　)A．180種  B．360種C．720種  D．960種解析：選D　按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法．因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．6．某班有9名運(yùn)動(dòng)員，其中5人會(huì)打籃球，6人會(huì)踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有(　　)A．28種  B．30種C．27種  D．29種解析：選A　有9名運(yùn)動(dòng)員，其中5人會(huì)打籃球，6人會(huì)踢足球，則有2人既會(huì)踢足球又會(huì)打籃球，有3人只會(huì)打籃球，有4人只會(huì)踢足球，所以選派的方案有四類：選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員有2種方案；選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員中一名踢足球，只會(huì)打籃球的運(yùn)動(dòng)員打籃球，有2×3＝6(種)方案；選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員中一名打籃球，只會(huì)踢足球的運(yùn)動(dòng)員踢足球，有2×4＝8(種)方案；選派只會(huì)打籃球和踢足球的運(yùn)動(dòng)員分別打籃球和踢足球，有3×4＝12(種)方案．綜上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(種)方案，故選A.7．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A．24  B．48C．60  D．72解析：選D　由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有A種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3A＝72，故選D.8. (2021·鎮(zhèn)江模擬)如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有(　　)A．120種  B．260種C．340種  D．420種解析：選D　由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種)涂色方案．故選D.9．(2021·青島模擬)中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有(　　)A．50種  B．60種C．80種  D．90種解析：選C　根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時(shí)乙的選法有2種，丙的選法有10種，共有2×10＝20種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時(shí)甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，共有2×3×10＝60種不同的選法．綜上，一共有20＋60＝80種選法．10．從集合{1,2,3,4，…，10}中選出5個(gè)數(shù)組成該集合的子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有(　　)A．32個(gè)  B．34個(gè)C．36個(gè)  D．38個(gè)解析：選A　先把數(shù)字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可，故共有2×2×2×2×2＝32(個(gè))這樣的子集．11．中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能(六藝)：禮、樂、射、御、書、數(shù)，某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周末開展“六藝”課程講座活動(dòng)，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“射”不能排在第一，“數(shù)”不能排在最后，則“六藝”講座不同的排課順序共有________種．解析：根據(jù)題意，分2種情況討論：①“數(shù)”排在第一，則剩下的“五藝”全排列，安排在剩下的5節(jié)，有A＝120(種)情況．②“數(shù)”不排在第一，則“數(shù)”的排法有4種，“射”的排法有4種，剩下的“四藝”全排列，安排在剩下的4節(jié)，有A＝24(種)情況，則此時(shí)共有4×4×24＝384(種)情況．綜上，共有120＋384＝504(種)排課順序．答案：50412.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)． 解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè))．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè))．答案：4013．若橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．解析：當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2個(gè)．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(個(gè))滿足條件的橢圓．答案：2014．有A，B，C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型電腦．從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答)．解析：由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦”這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類：第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號(hào)，有2×2＝4種方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8種選派方法．答案：815.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓，則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．解析：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)螺栓里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)螺栓，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)螺栓，依次選下去，共可以得到10種方法，所以總共有10×6＝60(種)方法．答案：60 [梯度拔高練]1. 6個(gè)標(biāo)有不同編號(hào)的乒乓球放在兩頭有蓋的棱柱型紙盒中，正視圖如圖所示，若隨機(jī)從一頭取出一個(gè)乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，則不同的排法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：排成一行的6個(gè)球，第1個(gè)球可從左邊取，也可從右邊取，有2種可能，同樣第2個(gè)球也有2種可能，…，第5個(gè)球也有2種可能，第6個(gè)球只有1種可能，因此不同的排法種數(shù)為25＝32.答案：322．設(shè)a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形，則這樣的三角形有________個(gè)．解析：先考慮等邊的情況，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六個(gè)．再考慮等腰的情況，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此時(shí)c＝1，與等邊重復(fù)；若a＝b＝2，c<a＋b＝4，則c＝1,3，有兩個(gè)；若a＝b＝3，c<a＋b＝6，則c＝1,2,4,5，有四個(gè)；若a＝b＝4，c<a＋b＝8，則c＝1,2,3,5,6，有五個(gè)；若a＝b＝5，c<a＋b＝10，則c＝1,2,3,4,6，有五個(gè)；若a＝b＝6，c<a＋b＝12，則c＝1,2,3,4,5，有五個(gè)．故一共有27個(gè)符合題意的三角形．答案：273．若給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有________種．解析：如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步．當(dāng)染邊1時(shí)有3種染法，則染邊2有2種染法．①當(dāng)3與1同色時(shí)有1種染法，則4有2種，5有1種，此時(shí)染法總數(shù)為3×2×1×2×1＝12(種)．②當(dāng)3與1不同色時(shí)，3有1種，當(dāng)4與1同色時(shí)，4有1種，5有2種；當(dāng)4與1不同色時(shí)，4有1種，5有1種，則此時(shí)有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(種)．綜合①②，由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得染法的種數(shù)為12＋18＝30種．答案：304．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99,3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則(1)5位回文數(shù)有________個(gè)；(2)2n(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)．解析：(1)5位回文數(shù)相當(dāng)于填5個(gè)方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，第2位和第4位一樣，有10種填法，中間一位有10種填法，共有9×10×10＝900(種)填法，即5位回文數(shù)有900個(gè)．(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格．結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有9×10n－1種填法，故答案為9×10n－1.答案：(1)900　(2)9×10n－15．(2020·南通期末)某系列智能手機(jī)玻璃版有“星河銀”“羅蘭紫”“翡冷翠”“亮黑色”四種顏色．若甲、乙等四位市民準(zhǔn)備分別購(gòu)買一部顏色互不相同的同一型號(hào)玻璃版的該系列手機(jī)，且甲購(gòu)買“亮黑色”或“星河銀”時(shí)，乙不購(gòu)買“羅蘭紫”，則這四位市民不同的購(gòu)買方案有________種．解析：根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲購(gòu)買“亮黑色”或“星河銀”，則甲有2種選擇方法，還剩下3種顏色，又由乙不購(gòu)買“羅蘭紫”，乙也有2種選擇方法，還剩下2種顏色，剩下的2人選擇剩下的2種顏色，有A＝2種選擇方法，則此時(shí)有2×2×2＝8種購(gòu)買方案；②若甲不購(gòu)買“亮黑色”或“星河銀”，則甲有2種選擇方法，還剩下3種顏色，由其他三人購(gòu)買，有A＝6種選擇方法，則此時(shí)有2×6＝12種購(gòu)買方案．綜上，一共有8＋12＝20種不同的購(gòu)買方案．答案：20 

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