課時跟蹤檢測（六十三）  二項式定理[素養(yǎng)落實練]1．在9的展開式中，常數(shù)項是(　　)A．C　　　　　　　　 B．－CC．8C  D．－8C解析：選D　9展開式的通項公式為Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常數(shù)項是－8C.2．(2021·長沙一中高三月考)(2x＋y)(x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　)A．30  B．10C．－30  D．－10解析：選D　(x－y)5的展開式中x3y2，x2y3的系數(shù)分別為C，－C，所以(2x＋y)(x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C－2C＝－10.故選D.3．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，則a0＋a1＋a2＋…＋a6的值為(　　)A．1  B．2C．129  D．2 188解析：選C　令x＝0，則a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27.二項式(2－x)7＝[3－(1＋x)]7的通項Tr＋1＝C37－r(－1)r(1＋x)r，令r＝7，得T8＝C30[－(1＋x)]7＝－(1＋x)7.∴a7＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝129.4．(2020·資陽一模)已知(a＋x2)(1＋x)n的展開式中各項系數(shù)之和為192，且常數(shù)項為2，則該展開式中x4的系數(shù)為(　　)A．30  B．45C．60  D．81解析：選B　令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n，令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6，故該展開式中x4的系數(shù)為2C＋C＝45.故選B.5.5的展開式中，xy3z的系數(shù)為(　　)A．16  B．8C．－1  D．－20解析：選D　因為Tr＋1＝C5－r(2z)r，所以r＝1.因為4的展開式的通項公式為Tk＋1＝C4－k·(－y)k，所以k＝3，所以xy3z的系數(shù)為C×2×C××(－1)3＝－20.6．已知(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　)A．512  B．210C．211  D．212解析：選A　因為(1＋2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以C＝C，解得n＝10，所以(1＋2x)10的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為×210＝29＝512，故選A.7．(多選)已知4的展開式中各項系數(shù)之和為A，第二項的二項式系數(shù)為B，則(　　)A．A＝256B．A＋B＝260C．展開式中存在常數(shù)項D．展開式中含x2項的系數(shù)為54解析：選ABD　令x＝1，得4的展開式中各項系數(shù)之和為44＝256，所以A＝256，選項A正確；4的展開式中第二項的二項式系數(shù)為C＝4，所以B＝4，A＋B＝260，選項B正確；4的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(3x2)4－rr＝34－rCx8－3r，令8－3r＝0，則r＝，所以展開式中不存在常數(shù)項，選項C錯誤；令8－3r＝2，則r＝2，所以展開式中含x2項的系數(shù)為34－2C＝54，選項D正確．8．已知m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m等于(　　)A．5  B．6C．7  D．8解析：選B　由題意可知，a＝C，b＝C，∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝，解得m＝6. 9．(2021·?？谡{(diào)研)(＋x)5的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項系數(shù)之和為(　　)A．1  B．20C．21  D．31解析：選C　因為(＋x)5展開式的通項為Tk＋1＝C()5－kxk＝C2xk，因此，要使系數(shù)為有理數(shù)，只需為正整數(shù)，又因為0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，因此系數(shù)為有理數(shù)的項為C()3x2，x5，故所求系數(shù)之和為20＋1＝21.10．在5的展開式中，x3的系數(shù)等于－5，則該展開式的各項的系數(shù)中最大值為(　　)A．5  B．10C．15  D．20解析：選B　5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，則r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展開式中第2,4,6項的系數(shù)為負數(shù)，第1,3,5項的系數(shù)為正數(shù)，故各項的系數(shù)中最大值為C＝10，故選B.11．(2021·唐山模擬)(2x－1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：(2x－1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是第四項，系數(shù)是C23(－1)3＝－160.答案：－16012．若n的展開式中各項系數(shù)之和為256，則n的值為________，展開式中的系數(shù)是________．解析：令x＝1，可得n的展開式中各項系數(shù)之和為2n＝256，∴n＝8，∴n＝8，它的展開式的通項公式Tr＋1＝C·(－1)r·38－r·x8－r.令8－＝－2，可得r＝6，則展開式中的系數(shù)為C·32＝252.答案：8　25213．已知n(n∈N*)的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為p，q，則p＋64q的最小值為________．解析：顯然p＝2n.令x＝1，得q＝.所以p＋64q＝2n＋≥2＝16，當且僅當2n＝，即n＝3時取等號，此時p＋64q的最小值為16.答案：1614．已知(3x＋1)4＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4，則a1＋a2＋a3＋a4＝________，a2＝________.解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.令x＝－1，得a0＝16，所以a1＋a2＋a3＋a4＝－15.(3x＋1)4＝[3(x＋1)－2]4，其展開式的通項Tr＋1＝C[3(x＋1)]4－r(－2)r＝C(－2)r34－r(x＋1)4－r，令4－r＝2，得r＝2，所以a2＝C32(－2)2＝216.答案：－15　21615.5的展開式中常數(shù)項是________．解析：5表示五個相乘，則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)生，第一種是從五個中分別抽取2x,2x，，，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·22· (－3)＝－360；第二種情況是從五個中都抽?。?/span>3，則此時的常數(shù)項為(－3)5＝  －243；第三種情況是從五個中分別抽取2x，，－3，－3，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·21·(－3)3＝－1 080.綜上，展開式中常數(shù)項為－360－243－1 080＝－1 683.答案：－1 683 [梯度拔高練]1．(2020·衡水調(diào)研)設(shè)a，b，m為整數(shù)(m>0)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，則b的值可以是(　　)A．2 018　　　　　　　　 B．2 019C．2 020  D．2 021解析：選D　a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余數(shù)為1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.2．已知函數(shù)f(x)＝10sin x＋x3在x＝0處的切線與直線nx－y＝0平行，則二項式(1＋x＋x2)(1－x)n展開式中x4的系數(shù)為(　　)A．120  B．140C．135  D．100解析：選C　由函數(shù)的解析式可得：f′(x)＝10cos x＋x2，函數(shù)f(x)＝10sin x＋x3在x＝0處的切線與直線nx－y＝0平行，則n＝f′(0)＝10，則二項式(1＋x＋x2)(1－x)n＝(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)·(1－x)9，∵(1－x)9的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－x)r，故分別令r＝4，r＝1，可得展開式中x4的系數(shù)為C－(－C)＝135.3．將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，便可以得到如圖的“01三角”．在“01三角”中，從第1行起，設(shè)第n(n∈N*)次出現(xiàn)全行為1時，1的個數(shù)為an，則a4等于(　　)A．13  B．14C．15  D．16解析：選D　第1行和第3行全是1，即a1＝2，a2＝4，依題意，第6行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，6，而C＝6為偶數(shù)，不合題意；第7行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，7，即1,7,21,35,35,21,7,1全為奇數(shù)，一共有8個，即a3＝8；第8行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，8，而C＝8為偶數(shù)，不合題意；第9行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，9，而C＝36為偶數(shù)，不合題意；第10行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，10，而C＝10為偶數(shù)，不合題意；第11行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，11，而C＝330為偶數(shù)，不合題意；第12行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，12，而C＝12為偶數(shù)，不合題意；第13行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，13，而C＝78為偶數(shù)，不合題意；第14行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，14，而C＝14為偶數(shù)，不合題意；第15行原來的數(shù)是C，r＝0,1,2，…，15，即1,15,105,455,1 365,3 003,5 005,6 435,6 435,5 005,3 003,1 365,455,105,15,1，全為奇數(shù)，即a4＝16.故選D.4．(多選)(2020·邢臺一中高三月考)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021      x2 021(x∈R)，則(　　)A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝C．a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝D.＋＋＋…＋＝－1解析：選ACD　由題意，當x＝0時，a0＝12 021＝1，當x＝1時，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，當x＝－1時，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝.因為＋＋…＋＝a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，當x＝時，0＝a0＋a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021，所以a1×＋a2×2＋…＋a2 021×2 021＝－a0＝－1. 

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