課時跟蹤檢測（六十）  變量間的相關關系與統(tǒng)計案例[素養(yǎng)落實練]1．下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關關系的是(　　)解析：選D　觀察散點圖可知，只有D項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關關系．2．(2021·山東聯(lián)考)相關變量x，y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程y＝1x＋1，相關系數(shù)為r1；方案二：剔除點(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＝2x＋2，相關系數(shù)為r2.則(　　)A．0<r1<r2<1　　　 B．0<r2<r1<1C．－1<r1<r2<0  D．－1<r2<r1<0解析：選D　由散點圖得這兩個變量呈負相關，所以r1，r2<0.因為剔除點(10,21)后，剩下的數(shù)據(jù)更具有線性相關性，所以|r2|更接近1，所以－1<r2<r1<0.故選D.3．千年潮未落，風起再揚帆，為實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標、實現(xiàn)中華民族偉大復興的中國夢奠定堅實基礎，某校積極響應國家號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，據(jù)不完全統(tǒng)計： 年份/屆2017201820192020學科競賽獲省級一等獎及以上的學生人數(shù)x51495557被清華、北大等世界名校錄取的學生人數(shù)y10396108107根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為1.35，該校2021屆同學在學科競賽中獲省級一等獎及以上的學生人數(shù)為63，據(jù)此模型預測該校2021年被清華、北大等世界名校錄取的學生人數(shù)為(　　)A．111  B．117C．118  D．123解析：選B　因為＝53，＝103.5，所以＝－＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回歸直線方程為＝1.35x＋31.95.當x＝63時，代入解得＝117，故選B.4．(2021·天門模擬)在2018世界特色魅力城市200強中，包括黃山市在內的28個中國城市入選，美麗的黃山風景和人文景觀迎來眾多賓客．現(xiàn)在很多人喜歡“自助游”，某調查機構為了了解“自助游”是否與性別有關，在黃山旅游節(jié)期間，隨機抽取了100人，得如下所示的列聯(lián)表： 贊成“自助游”不贊成“自助游”總計男性301545女性451055總計7525100 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828 參照公式，得到的正確結論是(　　)A．有99.5%以上的把握認為“贊成‘自助游’與性別無關”B．有99.5%以上的把握認為“贊成‘自助游’與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為“贊成‘自助游’與性別有關”解析：選D　將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計算，得K2＝≈3.030，∵2.706＜3.030＜3.841，∴在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，可以認為“贊成‘自助游’與性別有關”．5．2020年初，新型冠狀病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情暴發(fā)以來，各地醫(yī)療機構采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某地開始使用中西醫(yī)結合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)(y)2173693142由表格可得y關于 x的二次回歸方程為＝6x2＋a，則此回歸模型第4周的殘差(實際值與預報值之差)為(　　)A．5  B．4C．1  D．0解析：選A　設t＝x2，則＝(1＋4＋9＋16＋25)＝11，＝(2＋17＋36＋93＋142)＝58，a＝58－6×11＝－8，所以＝6x2－8.令x＝4，得e4＝y4－4＝93－6×42＋8＝5.故選A.6．(2021·江淮十校聯(lián)考)對具有線性相關關系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，12)，其回歸直線方程為＝2x＋，且y1＋y2＋y3＋…＋y12＝3(x1＋x2＋x3＋…＋x12)＝24，則實數(shù)的值是(　　)A．－  B.C.  D．－解析：選C　由y1＋y2＋y3＋…＋y12＝3(x1＋x2＋x3＋…＋x12)＝24知，＝，＝2.又回歸直線一定過樣本點的中心(，)，故2＝2×＋，∴＝.故選C.7．“關注夕陽、愛老敬老”．某馬拉松協(xié)會從2015年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金．下表記錄了第x年(2015年是第一年)與捐贈的現(xiàn)金y(萬元)的對應數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關于x的線性回歸方程＝mx＋0.35，則預測2021年捐贈的現(xiàn)金大約是(　　)x3456y2.5344.5A.5萬元　　　　　　　 B．5.2萬元C．5.25萬元  D．5.5萬元解析：選C　由已知，易得＝4.5，＝3.5，代入＝mx＋0.35，得3.5＝4.5m＋0.35，即m＝0.7，所以＝0.7x＋0.35，令x＝7，得＝0.7×7＋0.35＝5.25，預測2021年捐贈的現(xiàn)金大約是5.25萬元．8．(多選)下列說法正確的是(　　)A．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，則P(2<ξ<4)＝0.16B．以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸直線方程，設z＝ln y，將其變換后得到線性方程z＝0.3x＋4，則c，k的值分別是e4和0.3C．已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線的方程為y＝a＋bx，若b＝2，＝1，＝3，則a＝1D．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為16解析：選BC　∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，∴P(2<ξ<4)＝P(ξ<4)－0.5＝0.84－0.5＝0.34≠0.16，∴A錯誤；∵y＝cekx，∴ln y＝ln(cekx)＝kx＋ln c，∵z＝0.3x＋4，∴ln y＝0.3x＋4，從而k＝0.3，ln c＝4，∴k＝0.3，c＝e4，∴B正確；∵直線y＝a＋bx過點(，)，∴3＝a＋b，∵b＝2，∴a＝1，∴C正確；∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，∴數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為2×22＝8，∴D錯誤．故選B、C.9．某研究性學習小組調查研究學生玩手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 玩手機不玩手機總計學習成績優(yōu)秀4812學習成績不優(yōu)秀16218總計201030 經(jīng)計算K2的值，則有________%的把握認為玩手機對學習有影響．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828 解析：由表中數(shù)據(jù)，計算K2＝＝10，且10>7.879，則有99.5%的把握認為玩手機對學習有影響．答案：99.510．(2020·全國卷Ⅱ)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得i＝60，i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明   理由． 附：相關系數(shù)r＝，≈1.414.解：(1)由已知得樣本平均數(shù)＝i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12 000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)r＝＝＝≈0.94.(3)分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計．11．(2020·新高考全國卷Ⅰ)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5　　[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710 (1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：  SO2PM2.5　　[0,150](150,475][0,75]  (75,115]   (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關？.解：(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值為＝0.64.(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5　　[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2＝≈7.484.由于7.484>6.635，故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關．12．越接近高考學生焦慮程度越強，四個高三學生中大約有一個有焦慮癥，經(jīng)有關機構調查，得出距離高考周數(shù)與焦慮程度對應的正常值變化情況如下表：周數(shù)x654321正常值y556372809099 (1)作出散點圖；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋(精確到0.01)；(3)根據(jù)經(jīng)驗觀測值為正常值的0.85～1.06為正常，1.06～1.12為輕度焦慮，1.12～1.20為中度焦慮，1.20及其以上為重度焦慮，若為中度焦慮及其以上，則要進行心理疏導，若一個學生在距高考第二周時觀測值為103，則該學生是否需要進行心理疏導？其中＝，iyi＝1 452，＝91，＝－.解：(1)散點圖如圖所示：(2)∵＝×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，∴＝≈－8.83，＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，∴線性回歸方程為＝－8.83x＋107.41.(3)∵≈1.14＞1.12，∴該學生需要進行心理疏導． [梯度拔高練](2021·重慶一診)已知某地區(qū)某種昆蟲產卵數(shù)和溫度有關．現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產卵數(shù)y(個)和溫度x(℃)的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點圖如圖所示：根據(jù)散點圖，結合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產卵數(shù)y和溫度x可用方程y＝ebx＋a來擬合，令z＝ln y，結合樣本數(shù)據(jù)可知z與溫度x可用線性回歸方程來擬合．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：(xi－)2(zi－)2(xi－)(zi－)27743.53718211.946.418表中zi＝ln yi，＝ i.(1)求z關于溫度x的回歸方程(回歸系數(shù)結果精確到0.001)；(2)求產卵數(shù)y關于溫度x的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內的氣溫在26 ℃～36 ℃之間(包括26 ℃與36 ℃)，估計該品種一只昆蟲的產卵數(shù)的范圍．附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回歸直線＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－.參考數(shù)據(jù)：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568.解：(1)設＝x＋，則＝＝≈0.255，＝－＝3.537－0.255×27＝－3.348，故z關于x的線性回歸方程為＝0.255x－3.348.(2)由(1)可得，ln y＝0.255x－3.348，于是產卵數(shù)y關于溫度x的回歸方程為y＝e0.255x－3.348.當x＝26時，y＝e0.255×26－3.348＝e3.282≈27；當x＝36時，y＝e0.255×36－3.348＝e5.832≈341.∵函數(shù)y＝e0.255x－3.348為增函數(shù)，∴氣溫在26 ℃～36 ℃之間時，估計該品種一只昆蟲的產卵數(shù)的范圍是[27,341]上的正整數(shù)． 

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