寒假作業(yè)8 第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 綜合提升卷-2021-2022學(xué)年高一人教A版（2019）數(shù)學(xué)（新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．化簡的結(jié)果是（）
A．1－2xB．0
C．2x－1D．(1－2x)2
2．函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標（）
A．B．C．D．
3．據(jù)統(tǒng)計，第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y（只）近似滿足，觀測發(fā)現(xiàn)第2年有越冬白鷺1000只，估計第5年有越冬白鷺（）
A．1530只B．1630只C．1830只D．1930只
4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.
A．B．C．D．
5．已知f(ex)＝x，則f(3)＝（）
A．lg3 eB．ln 3
C．e3D．3e
6．函數(shù)的圖象大致是（）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則關(guān)于x的函數(shù)的零點的個數(shù)為（）
A．8B．7C．5D．2
二、多選題
9．若，則（）
A．B．C．D．
10．設(shè)函數(shù)，對于任意的，，下列命題中正確的是（）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)，則（）
A．的定義域為
B．的值域為
C．為減函數(shù)
D．為奇函數(shù)
12．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲、乙兩車的速度曲線分別為v甲和v乙，如圖所示，那么對于圖中給定的和，下列判斷中不一定正確的是（）
A．在時刻，甲車在乙車前面
B．時刻后，甲車在乙車后面
C．在時刻，兩車的位置相同
D．時刻后，乙車在甲車前面
三、填空題
13．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為________．
14．已知一元二次方程有兩個正實根，則實數(shù)的取值范圍是___________.
15．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，則不等式的解集為______________.
16．已知函數(shù)，，若，，使得，則______．
四、解答題
17．已知函數(shù)．
（1）求此函數(shù)的定義域；
（2）若函數(shù)值都大于等于－1，求實數(shù)x的取值范圍．
18．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2 m，渠深為1.8 m，斜坡的傾斜角是45°.(臨界狀態(tài)不考慮)
（1）試將橫斷面中水的面積A(m2)表示成水深h(m)的函數(shù)；
（2）確定函數(shù)的定義域和值域．
19．已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）求該函數(shù)的值域；
（3）判斷在上的單調(diào)性，并證明.
20．已知函數(shù)，且．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求滿足不等式的x的解集．
21．已知函數(shù)且．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
22．已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（2）若，存在使得方程有解，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．C
【分析】
根據(jù)已知條件，利用根式的性質(zhì)化簡代數(shù)式即可.
【詳解】
∵，則，
∴.
故選：C.
2．B
【分析】
令真數(shù)為1即可求出.
【詳解】
令，即時，，
所以定點的坐標為.
故選：B.
3．B
【分析】
根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．
【詳解】
解：∵第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y（只）近似滿足，
又∵x=2，y=1000，
∴，解得，
∴當時，．
故選：B．
4．B
【分析】
由，，可得解.
【詳解】
由，且，所以，即.
又，即.
綜上：.
故選:B.
5．B
【分析】
由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，從而得到結(jié)果.
【詳解】
∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3，
故選：B.
6．C
【分析】
先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除B，再根據(jù)時函數(shù)值的符號排除D，最后結(jié)合趨近于時函數(shù)值的范圍求解即可.
【詳解】
解：函數(shù)的定義域為，，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除B選項，
因為當時，，
所以當時，，時，，故排除D，
當趨近于時，由于指數(shù)呈爆炸型增長，故函數(shù)值趨近于，故排除A選項，
故選：C
7．D
【分析】
構(gòu)造，并根據(jù)解析式直接判斷奇偶性、單調(diào)性，進而利用其單調(diào)性及奇偶性求解不等式.
【詳解】
令，
∴，即為奇函數(shù)，
又在R上均為減函數(shù)，
∴為減函數(shù)，
由得：，
∴，即，解得.
故選：D.
8．B
【分析】
問題轉(zhuǎn)化為要求方程的解的個數(shù)，對應(yīng)于函數(shù)或的解的個數(shù)．故先根據(jù)題意作出的簡圖，由圖可知，函數(shù)或的解的個數(shù)，可以得出答案．
【詳解】
根據(jù)題意，令，
得或．
作出的簡圖：
由圖象可得當或時，分別有4個和3個交點，
故關(guān)于x的函數(shù)的零點的個數(shù)為7．
故選：B．
9．BC
【分析】
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、特殊值確定正確選項.
【詳解】
若，但，A錯誤.
若，但，D錯誤.
由于和在上遞增，所以，
所以BC選項正確.
故選：BC
10．AD
【分析】
根據(jù)指數(shù)運算判斷AB選項的正確性，根據(jù)的單調(diào)性判斷C選項的正確性，根據(jù)的圖象判斷D選項的正確性.
【詳解】
，所以A項成立；
，所以B項不成立；
函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，則，若，則，則，故C項不正確；
函數(shù)任意兩點之間的連線在其圖象的上方，所以的圖象滿足，故D項正確.
故選：AD
11．ABC
【分析】
利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，列不等式組可判斷A；由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)奇偶性定義可判斷D.
【詳解】
由解得，A正確．
，因為，所以，B正確．
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，C正確．
的定義域為，不關(guān)于原點對稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D錯誤．
故選：ABC
12．BCD
【分析】
由速度曲線與軸所成面積為甲乙所走的路程，討論、時刻的面積即可判斷各選項的正誤.
【詳解】
速度曲線與橫軸所成面積為甲乙所走的路程，在時刻，由圖知：甲的速度曲線與軸所成面積比乙大，即在0～上甲在乙前面，故C錯誤；
在時刻，由圖知：甲的速度曲線與軸所成面積比乙大，即在～上甲在乙前面，故A正確；
而在時刻后，甲、乙的速度曲線與軸所成面積大小不確定，故B、D不一定正確.
故選：BCD.
13．
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.
【詳解】
因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.
故答案為：.
14．
【分析】
由題意知，一元二次方程有兩個正實根，須同時滿足四個條件，，，兩根之積和兩根之和都大于零，即可得到答案.
【詳解】
設(shè)兩個正實數(shù)根分別為，.
故答案為：.
15．
【分析】
結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，進行求解即可．
【詳解】
是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，
，則不等式等價為不等式，
∴，即，可得，即不等式的解集為.
故答案為：.
16．78
【分析】
根據(jù)題意可知，y＝f(x)的值域應(yīng)該是y＝值域的子集，據(jù)此即可求解m﹒
【詳解】
時，，
時，，
∵，，
由題意可知，，
∴，，∴，∴﹒
故答案為：78．
17．
（1）定義域
（2）
【分析】
（1）由已知列出，解不等式即可得出結(jié)果.
（2）由（1）可知只需滿足,解不等式即可得出結(jié)果.
（1）
函數(shù)，定義域需滿足,即，解得：.
所以函數(shù)的定義域為.
（2）
由函數(shù)值都大于等于－1，則，即.
結(jié)合（1）可得：，即，解得：,
所以實數(shù)x的取值范圍為.
18．
（1）
（2）定義域為，值域為
【分析】
（1）利用梯形面積公式求得.
（2）結(jié)合渠深以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得定義域與值域.
（1）
由已知，橫斷面為等腰梯形，下底為2 m，上底為(2＋2h)m，高為h m，
∴水的面積；
（2）
依題意可知，函數(shù)的定義域為．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上遞增，
,所以值域為.
19．
（1）奇函數(shù)，證明見解析
（2）
（3）答案見解析
【分析】
（1）函數(shù)的定義域為，計算與的關(guān)系，即可判斷出奇偶性；
（2）由，設(shè)，則，，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出值域．
（3）設(shè)，，通過作差、分類討論即可得出．
（1）
解：為奇函數(shù)，證明：因為函數(shù)的定義域為，且，
為奇函數(shù)．
（2）
解：，
設(shè)，則，，所以，，所以，所以
該函數(shù)的值域為，
（3）
解：若，在上是增函數(shù)，若，在上是減函數(shù)
證明：設(shè)，，
則，
若，則，，，．
，即，
在上是增函數(shù)．
若，則，，，．
，即，
在上是減函數(shù)．
20．
（1）
（2）當時，不等式的解集是；當時，不等式的解集是．
【分析】
（1）對數(shù)函數(shù)定義域求解，要滿足真數(shù)大于0；（2）結(jié)合第一問求出的定義域，對和討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，求出解集.
（1）
由題意，函數(shù)，
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)滿足
解得:，
所以函數(shù)的定義域為．
（2）
由，即，
當時，函數(shù)在定義域是嚴格增函數(shù)，所以解得：；
當時，函數(shù)在定義域內(nèi)是嚴格減函數(shù)，所以解得：，
綜上可得：當時，不等式的解集是；當時，不等式的解集是．
21．
（1）
（2）存在；（或）
【分析】
（1）由題意，得在上恒成立，參變分離得恒成立，再令新函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最大值，從而求出的取值范圍；（2）在（1）的條件下，討論與兩種情況，利用復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)求解對應(yīng)的取值范圍，再利用最大值求解參數(shù)，并判斷是否能取到.
（1）
由題意，在上恒成立，即在恒成立，令，則在上恒成立，令所以函數(shù)在在上單調(diào)遞減，故
則，即的取值范圍為.
（2）
要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，首先在區(qū)間上恒有意義，于是由（1）可得，①當時，要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
則函數(shù)在上恒正且為增函數(shù)，
故且，即，此時的最大值為即，滿足題意．
②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
則函數(shù)在上恒正且為減函數(shù)，
故且，即，
此時的最大值為即，滿足題意．
綜上，存在（或）
【點睛】
一般關(guān)于不等式在給定區(qū)間上恒成立的問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，參變分離后得恒成立，等價于；恒成立，等價于成立.
22．
（1）增函數(shù)，證明見解析；
（2）或.
【分析】
（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）首先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有解的問題.
（1）
因為，
設(shè)為上的任意兩個實數(shù)，且，
則，
因為，所以，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）
當時，，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為，所以為奇函數(shù).
由，得，
因為為奇函數(shù)，所以，
又因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，
所以方程在區(qū)間內(nèi)有解，令，，
所以或或，
即或或無解，
解得或

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