點、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.2　直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.1　直線與平面平行的判定
門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時只要門扇不被關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動到什么位置，它能活動的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面(墻面)存在不變的位置關(guān)系．
直線與平面平行的判定定理
1．b是平面α外的一條直線，可以推出b∥α的條件是(　　)A．b與α內(nèi)的一條直線不相交B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交C．b與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D．b與α內(nèi)的任何一條直線都不相交[解析]　∵b∥α，∴b與α無公共點，從而b與α內(nèi)任何一條直線無公共點．
2．點M、N是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A與A1B1的中點，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是(　　)A．平行　B．相交C．MN?平面PCB1　D．以上三種情形都有可能[解析]　如圖，∵M、N分別為A1A和A1B1中點，∴MN∥AB1，又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三點共線，∴AB1?平面PB1C，∵MN?平面PB1C，∴MN∥平面PB1C.
3．如下圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中，(1)與直線CD平行的平面是____________________________；(2)與直線CC′平行的平面是__________________________；(3)與直線CB平行的平面是____________________________.
平面A′C′，平面A′B　
平面A′B，平面A′D　
平面A′D，平面A′C′　
4．一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊矩形木板繞AB轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的過程中，AB的對邊CD與平面α的位置關(guān)系是______________________.[解析]　在旋轉(zhuǎn)過程中CD∥AB，由直線與平面平行的判定定理得CD∥α或CD?α.
如圖所示，已知P是□ABCD所在平面外的一點，M是PB的中點，求證：PD∥平面MAC.
命題方向1　?線面平行的判定定理
[思路分析]　要證明直線a與平面α平行的關(guān)鍵是在平面α內(nèi)找一條直線b，使a∥b.考慮是否有已知的平行線，若無已知的平行線，則根據(jù)已知條件作出平行線(有中點常作中位線)．
[解析]　連接BD交AC于點O，連接OM.根據(jù)題意，得O是BD的中點，又M是PB的中點．∴在△BPD中，OM是中位線，∴OM∥PD.又∵OM?平面MAC，PD?平面MAC.∴PD∥平面MAC.
『規(guī)律方法』　1.線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件不全，最易忘記的條件是a?α與b?α.(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．2．判定直線與平面平行的兩類方法(1)用定義①用反證法說明直線與平面沒有公共點；②若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面無公共點，由此可得線面平行．(2)用判定定理設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，注意說明已知直線不在平面內(nèi)．
〔跟蹤練習(xí)1〕如圖，三棱柱ABC－A′B′C′，點M、N分別為A′B和B′C′的中點．證明：MN∥平面A′ACC′.[解析]　連接AB′、AC′，則點M為AB′的中點．又點N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.
一木塊如圖所示，點P在平面VAC內(nèi)，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，應(yīng)該怎樣畫線？
命題方向2　?線面平行判定定理的應(yīng)用
[解析]　在平面VAC內(nèi)經(jīng)過P作EF∥AC，且與VC的交點為F，與VA的交點為E，在平面VAB內(nèi)，經(jīng)過點E作EH∥VB，與AB交于點H，如下圖所示．在平面VBC內(nèi)經(jīng)過點F作FG∥VB，與BC交于點G，連接GH，則EF、FG、GH、HE為截面與木塊各面的交線．證明：∵EH∥VB，F(xiàn)G∥VB，∴EH∥FG，可知E、H、G、F四點共面．∵VB?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴VB∥平面EFGH.同理可證AC∥平面EFGH.
〔跟蹤練習(xí)2〕如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D、E、F、G分別是棱AP、AC、BC、PB的中點．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形．[解析]　(1)因為D、E分別為AP、AC的中點，所以DE∥PC.又因為DE?平面BCP，PC?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因為D、E、F、G分別為AP、AC、BC、PB的中點，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．
線面平行的判定定理，將判斷線面平行的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷這條直線與平面內(nèi)一條直線的平行關(guān)系，為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，“找”或“作”出平面內(nèi)的這條直線就成了應(yīng)用判定定理的關(guān)鍵，實際解題時，要充分利用題目中給出的幾何體的特征性質(zhì)或題設(shè)條件，借助于三角形的中位線，梯形的中位線，平行四邊形，平行線分線段成比例定理，公理4，內(nèi)錯角(同位角)相等時兩直線平行等等已學(xué)過的平面幾何與立體幾何知識，作出必要的輔助線來解決．
如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD對角線的交點，求證：C1O∥平面AB1D1.
〔跟蹤練習(xí)3〕如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面AA1B1B.
如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC、C1D1的中點，求證：EF∥平面BB1D1D.
忽略線面平行的判定定理使用的前提條件
[錯解]　如圖，連接C1E，并延長至G點，使GE＝C1E，連接D1G.在△C1D1G中，F(xiàn)是C1D1的中點，E是C1G的中點，所以EF∥D1G.而EF?平面BB1D1D，D1G?平面BB1D1D，故EF∥平面BB1D1D.
[錯因分析]　上述證明中，“D1G?平面BB1D1D”這一結(jié)論沒有根據(jù)，只是主觀認(rèn)為D1G在平面BB1D1D內(nèi)，說明在利用線面平行的判定定理時，對兩條直線平行比較關(guān)注，而對另外兩個條件(一直線在平面內(nèi)，另一直線在平面外)忽視，大多數(shù)情況下這兩個條件在作圖(添加輔助線)時就可以清楚地表達出來，一般不需單獨證明，而本題作圖過程看不出D1G?平面BB1D1D的理論依據(jù)，而且題設(shè)條件“E是BC的中點”沒有用到，而沒有這一條件，結(jié)論會成立嗎？比如把E點移動B點，顯然結(jié)論不成立．
[正解]　如圖，連接C1E，并延長交B1B的延長線于G，連接D1G.因為C1C∥B1B，E是BC的中點，所以E是C1G的中點．在△C1D1G中，F(xiàn)是D1C1的中點，E是C1G的中點，所以EF∥D1G.又因為D1G?平面BB1D1D，而EF?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.
1．三棱臺ABC－A1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是(　　)A．相交　B．平行C．在平面內(nèi)　　D．不確定[解析]　∵AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.
2．平面α與△ABC的兩邊AB、AC分別交于D、E，且AD︰DB＝AE︰EC，如圖所示，則BC與α的位置關(guān)系是(　　)A．平行　　　B．相交C．異面　　　D．BC?α[解析]　在△ABC中，∵AD︰DB＝AE︰EC，∴BC∥DE.∵BC?α，DE?α，∴BC∥α.
3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的側(cè)面對角線有______條．[解析]　如圖，與平面C1DB平行的側(cè)面對角線有3條：B1D1、AD1、AB1.
4．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[分析]　(1)要證EH∥平面BCD，只要證EH∥BD即可；(2)要證BD∥平面EFGH，只要證BD∥EH即可．[解析]　(1)∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD.∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.

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2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

版本： 人教版新課標(biāo)A

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