點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.2　直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.3　直線與平面平行的性質(zhì)
將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在的直線與桌面平行，觀察過書脊的每頁紙和桌面的交線與書脊的位置．
直線與平面平行的性質(zhì)定理
1．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線有(　　)A．0條　　　B．1條C．0或1條　　　D．無數(shù)條[解析]　a∥α，在平面α內(nèi)，n條相交直線中與直線a平行的直線可能有1條，也可能沒有．
2．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a、b、c…，那么這些交線的位置關(guān)系為(　　)A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)[解析]　因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A．
3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于______．
4．如圖所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC、BD與α分別相交于點(diǎn)C、D.求證：AC＝BD．
[解析]　如圖所示，連接CD，∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面β，又∵AB∥α，AB?β，α∩β＝CD，∴AB∥CD．∴四邊形ABDC是平行四邊形．∴AC＝BD．
命題方向1　?線面平行的性質(zhì)定理
　　　　　求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．[思路分析]　如何將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行是本題關(guān)鍵．
[解析]　已知直線a、l，平面α、β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求證：a∥l．證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，
∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c．又∵b?β，c?β，∴b∥β．又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．
『規(guī)律方法』　(1)已知線面平行，一般直接考慮用性質(zhì)，利用構(gòu)造法找或作出經(jīng)過直線的平面與已知平面相交得交線．(2)要證線線平行，可把它們轉(zhuǎn)化為線面平行．
〔跟蹤練習(xí)1〕如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB的中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)M，求證：AD ∥MN．
[解析]　∵ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，又BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC，又AD?平面ADMN，平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴AD∥MN．
命題方向2　?直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用
　　　　　如右圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出過點(diǎn)A1、B、C1的平面與平面ABC的交線？并說明理由．
[思路分析]　要作兩平面的交線，只需兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，而題目中只有一個(gè)公共點(diǎn)B，所以要利用線面平行的性質(zhì)定理作出來，然后證明．
[解析]　在平面ABC中，過點(diǎn)B作直線l，使l∥AC，則l即為平面BA1C1與平面ABC的交線．證明如下：在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC?平面ABC，A1C1?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．又A1C1?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l．又∵直線l過點(diǎn)B，且l?平面ABC．根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，l即為所求．
〔跟蹤練習(xí)2〕如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E、F分別是PA、PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．
[解析]　直線l∥平面PAC，證明如下：因?yàn)镋、F分別是PA、PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC．又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l．因?yàn)閘?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC．
轉(zhuǎn)化思想在立體幾何線線與線面平行中的應(yīng)用
　　　　　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，試判斷點(diǎn)M在何位置．
[思路分析]　由三棱柱的性質(zhì)知，BF∥平面ACC1A1，平面BMF與平面ACC1A1有一個(gè)公共點(diǎn)M，故必有一條與BF平行的交線，則過M在平面ACC1A1內(nèi)作MN∥CE，交AE于點(diǎn)N，則FN為平面BMF與平面AEF的交線，若BM∥平面AEF，則BM∥FN，從而四邊形BMNF應(yīng)為平行四邊形，由EC＝2FB＝2MN，可知M必為AC的中點(diǎn)．
〔跟蹤練習(xí)3〕如圖所示，P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求證：BC∥l；(2)MN與平面PAD是否平行？證明你的結(jié)論．
[解析]　(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD.又因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l．
　　　　　已知BC∥平面α，D在線段BC上，A?α，直線AB，AC，AD分別交α于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，且BC＝a，AD＝b，DF＝c，求EG的長(zhǎng)．
考慮問題不全面導(dǎo)致漏解
[錯(cuò)因分析]　點(diǎn)A的位置有三種情況：BC在A與α之間；A在BC與α之間；α在A與BC之間，錯(cuò)解中只考慮了第一種情況．
[警示]　對(duì)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系可能出現(xiàn)的各種情況要考慮全面，以免漏解．
1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G、H分別為SB、BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則(　　)A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能[解析]　∵GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD．
2．對(duì)于直線m、n和平面α，下面敘述正確的是(　　)A．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α，n與α相交，那么m、n是異面直線C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．已知異面直線l、m，且l∥平面α，m?平面α，l?平面β，α∩β＝n，則直線m、n的位置關(guān)系是________．[解析]　由于l∥平面α，l?平面β，α∩β＝n，則l∥n.又直線l、m異面，則直線m、n相交．
4．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F．求證：四邊形BCFE是梯形．
[解析]　∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF．∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四邊形BCFE是梯形．
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2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

版本： 人教版新課標(biāo)A

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