點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.3　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.3　直線與平面垂直的性質(zhì)
1．從圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過(guò)該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　B．平行C．異面　　　D．相交或平行[解析]　由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，這條垂線與圓柱的母線所在直線平行．
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線l⊥平面A1C1，則有(　　)A．B1B⊥l　　　B．B1B∥lC．B1B與l異面　　　D．B1B與l相交[解析]　因?yàn)锽1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，則l∥B1B．
3．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　B．平行C．異面　　　D．不確定[解析]　∵AD∥BC，∴梯形ABCD確定一個(gè)平面α．∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．∴l(xiāng)⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，則m⊥α或m∥α或m?α或m與α相交，則l∥m或l與m異面或l與m相交．
4．在三棱錐V－ABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件______________________________時(shí)，有VC⊥AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)[解析]　∵VC⊥VA，VC⊥VB，VA∩VB＝V，∴VC⊥平面VAB，∴VC⊥AB．
VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一)　
命題方向1　?利用線面垂直的性質(zhì)證明平行問(wèn)題
　　　　　如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1．[思路分析]　要證明EF∥BD1，轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C．
[解析]　如圖所示，連接AB1，B1C，BD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC．又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1．又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1．同理可證BD1⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C．因?yàn)镋F⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C．所以EF∥BD1．
『規(guī)律方法』　當(dāng)題中垂直條件很多，但又需證兩直線平行關(guān)系時(shí)，就要考慮直線和平面垂直的性質(zhì)定理，從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化．
〔跟蹤練習(xí)1〕如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l．
[解析]　∵EB⊥β，a?β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，AB∩EB＝B，∴a⊥平面ABE．∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?α，l?β．∵EA⊥α，EB⊥β，∴EA⊥l，EB⊥l．又∵EA∩EB＝E，∴l(xiāng)⊥平面ABE．∴a∥l．
命題方向2　?利用線面垂直的性質(zhì)證明垂直問(wèn)題
　　　　　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R．求證：QR⊥AB．[思路分析]　證AB與QR所在的平面垂直，再根據(jù)線面垂直的定義，即可證明QR⊥AB．
[解析]　如圖所示，因?yàn)棣痢搔拢紸B，PO⊥β于O，所以PO⊥AB．因?yàn)镻Q⊥α于Q，所以PQ⊥AB．因?yàn)镻O∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO．因?yàn)镺R⊥α于R，所以PQ∥OR．因?yàn)镻Q與OR確定平面PQRO．又因?yàn)镼R?平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR．
〔跟蹤練習(xí)2〕如圖，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．(1)求證：AF⊥SC；(2)若SD交平面AEF于G，求證：AG⊥SD．
[解析]　(1)因?yàn)镾A⊥平面AC，BC?平面AC，所以SA⊥BC．因?yàn)锳BCD是矩形，所以AB⊥BC．又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．因?yàn)镾C?平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．
(2)因?yàn)镾A⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD.因?yàn)锳G?平面SAD，所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF．所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因?yàn)镾D?平面SCD，所以AG⊥SD．
　　　　　在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求證：AC⊥FB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)．求證：GH∥平面ABC．
轉(zhuǎn)化思想在線線、線面垂直中的應(yīng)用
[解析]　(1)連接ED，因?yàn)锳B＝BC，AE＝EC，D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE，AC⊥DB，DE∩DB＝D，又EF∥DB，所以E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面，所以AC⊥平面EFBD，所以AC⊥FB．(2)取FC中點(diǎn)I，連接GI，HI，則有GI∥EF，HI∥BC，又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以，平面GHI∥平面ABC，因?yàn)镚H?平面GHI，所以GN∥平面ABC．
〔跟蹤練習(xí)3〕如圖，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．求證：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD．
　　　　　已知a?α，a⊥b，b⊥α，求證a∥α．[錯(cuò)解]　∵b⊥α，a⊥b，∴a?α或a∥α．又∵a?α，∴a∥α．[錯(cuò)因分析]　推理過(guò)程邏輯不嚴(yán)密，理由與結(jié)論銜接不恰當(dāng)．[思路分析]　本題垂直關(guān)系比較分散，不能按平面幾何的方法進(jìn)行論證，應(yīng)將其集中到一個(gè)平面內(nèi)，然后用平面幾何知識(shí)解決．
推理過(guò)程不嚴(yán)密，張冠李戴，理由與結(jié)論銜接不恰當(dāng)
[正解]　如圖，在a上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線b′∥b.設(shè)b′∩α＝B，過(guò)直線a，b′作平面β，β∩α＝l．∵b⊥α，∴b⊥l．又∵b⊥a，b∥b′，∴b′⊥a，b′⊥l．又∵a，l同在β內(nèi)，∴a∥l．又∵a?α，l?α，∴a∥α．
1．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l、m的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　　B．平行　　　C．異面　　　D．不確定[解析]　∵AB ?α，AC?α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥α．又∵BC?α，m⊥BC，m⊥AC，BC∩BC＝C，∴m⊥α，∴l(xiāng)∥m．
2．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝_____．[解析]　因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四邊形AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6．
3．如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A、B，a?α，a⊥AB．求證：a∥l．[證明]　∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l，同理PB⊥l．∵PA∩PB＝P，∴l(xiāng)⊥平面PAB．∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a．∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB．∴a∥l．
課 時(shí) 作 業(yè) 學(xué) 案

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修2

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