一、選擇題
1．下列各式計算正確的個數(shù)是( )
①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可驗證①②正確；③錯誤，因為向量的和、差及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍為一個向量，而不是實數(shù)．
2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq \(CD,\s\up16(→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) B．－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) C．－eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) D.eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))
答案 B
解析 解法一：∵D是AB的中點(diǎn)，∴eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))，∴eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
解法二：由eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)[eq \(CB,\s\up16(→))＋(eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→)))]＝eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
3．設(shè)Aeq \(B,\s\up16(→))＝eq \f(\r(2),2)(a＋5b)，Beq \(C,\s\up16(→))＝－2a＋8b，Ceq \(D,\s\up16(→))＝3(a－b)，則共線的三點(diǎn)是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 ∵Beq \(D,\s\up16(→))＝Beq \(C,\s\up16(→))＋Ceq \(D,\s\up16(→))＝a＋5b，Aeq \(B,\s\up16(→))＝eq \f(\r(2),2)Beq \(D,\s\up16(→))，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選A.
4．若eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up16(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(BC,\s\up16(→))|，則四邊形ABCD是( )
A．平行四邊形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 因為eq \(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up16(→))，所以AB∥CD，且|eq \(AB,\s\up16(→))|≠|(zhì)eq \(CD,\s\up16(→))|.而|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(BC,\s\up16(→))|，
所以四邊形ABCD為等腰梯形．
5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若eq \(AC,\s\up16(→))＝a，eq \(BD,\s\up16(→))＝b，則eq \(AF,\s\up16(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
答案 B
解析 如圖所示，∵E是OD的中點(diǎn)，∴eq \(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)b.又△ABE∽△FDE，∴eq \f(AE,FE)＝eq \f(BE,DE)＝eq \f(3,1).
∴eq \(AE,\s\up16(→))＝3eq \(EF,\s\up16(→))，∴eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(3,4)eq \(AF,\s\up16(→))，在△AOE中，eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))＋eq \(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b，∴eq \(AF,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故選B.
二、填空題
6．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝______.
答案 －4
解析 ∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))
∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq \f(1,2)，k＝－4.
7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，則向量a寫為λ1b＋λ2c的形式是________．
答案 －eq \f(1,18)b＋eq \f(7,27)c
解析 若a＝λ1b＋λ2c，則－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27).))
8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，則m＋n的值為________．
答案 2
解析 解法一：因為eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，所以eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→))，則eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(AN,\s\up16(→))－eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→)).
因為點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，連接AO，所以eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))，則eq \(MO,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))－eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))，因為M，O，N三點(diǎn)共線，所以可設(shè)eq \(MO,\s\up16(→))＝λeq \(MN,\s\up16(→))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(λ,n)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(λ,m)eq \(AB,\s\up16(→))，
則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(λ,n)))eq \(AC,\s\up16(→))＝0，由于eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)＝0，,\f(1,2)－\f(λ,n)＝0，))
消去λ得eq \f(1,2)－eq \f(1,m)＋eq \f(n,2m)＝0，變形整理可得m＋n＝2.
解法二：在△ABC中，連接AO.由于O是BC的中點(diǎn)，因此eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→)).
由于eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，則eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up16(→)).由于M，O，N三點(diǎn)共線，則eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n＝1，
從而m＋n＝2.
三、解答題
9．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，如果eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝3e1＋e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝7e1－6e2.
(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共線；
(3)若e1＋λe2與λe1＋e2不共線，試求λ的取值范圍．
解 (1)證明：因為eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝3e1＋e2＋7e1－6e2＝10e1－5e2＝5(2e1－e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，
所以eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(BD,\s\up16(→))共線．
因為eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(BD,\s\up16(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)因為2λe1＋e2與e1＋λe2共線，
所以存在實數(shù)μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．
因為e1，e2不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＝μ，,1＝λμ.))所以λ＝±eq \f(\r(2),2).
(3)假設(shè)e1＋λe2與λe1＋e2共線，
則存在實數(shù)μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．
因為e1，e2不共線，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λμ，,λ＝μ，))所以λ＝±1.
所以當(dāng)λ≠±1時，e1＋λe2與λe1＋e2不共線．
B級：“四能”提升訓(xùn)練
1．如圖所示，向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))的終點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝－3eq \(CB,\s\up16(→)).設(shè)eq \(OA,\s\up16(→))＝p，eq \(OB,\s\up16(→))＝q，eq \(OC,\s\up16(→))＝r，則以下等式中成立的是( )
A．r＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q B．r＝－p＋2q
C．r＝eq \f(3,2)p－eq \f(1,2)q D．r＝－q＋2p
答案 A
解析 ∵eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝－3eq \(CB,\s\up16(→))＝3eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→)).∴eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))．
∴r＝q＋eq \f(1,3)(r－p)．∴r＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q.
2．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up16(→))＝λ1eq \(AB,\s\up16(→))＋λ2eq \(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由已知eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \(BE,\s\up16(→))－eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up16(→))，
∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，從而λ1＋λ2＝eq \f(1,2).

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