一、選擇題
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則( )
A．eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→)) B．eq \(BD,\s\up6(→))與eq \(CE,\s\up6(→))共線 C．eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \(DE,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))共線
答案 D
解析 ∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，即eq \(DE,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))共線．
2．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，則eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))為( )
A．1 B．eq \r(3) C．－1 D．－eq \r(3)
答案 A
解析 由題意知，O為BC的中點(diǎn)，且∠ABC＝60°，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1×2×eq \f(1,2)＝1.
3．已知D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，
則eq \f(PD,AD)的值為( )
A．1 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．2
答案 A
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，∴PA必為以PB，PC為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．
∵D為邊BC的中點(diǎn)，∴D為PA的中點(diǎn)，∴eq \f(PD,AD)＝1.
4．已知非零向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))滿足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，則△ABC為( )
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
答案 D
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A\(B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴∠A的平分線所在的向量與eq \(BC,\s\up6(→))垂直，所以△ABC為等腰三角形．又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，∴∠A＝eq \f(π,3).故△ABC為等邊三角形．
5．已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋eq \f(1,a)
C．(b－a3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0 D．|b－a3|＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0
答案 C
解析 由題意，知eq \(OA,\s\up6(→))＝(0，b)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，a3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(a，a3－b)．因?yàn)椤鱋AB為直角三角形，所以①若eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，則eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即a3b＝0，當(dāng)b＝0時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合；當(dāng)a＝0時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，故a3b≠0，即OA與OB不垂直．
②若eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，則eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即b(a3－b)＝0，又b≠0，故a3＝b.
③若eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，則eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，又a≠0，故a3＋eq \f(1,a)－b＝0.
故當(dāng)△OAB為直角三角形時(shí)，有a3＝b或a3＋eq \f(1,a)－b＝0，即(b－a3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a3－\f(1,a)))＝0.
二、填空題
6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M為腰BC的中點(diǎn)，
則eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝________.
答案 2
解析 根據(jù)題意可得eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(CB,\s\up6(→))＋\(BA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(CB,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→))))＝－eq \f(1,4)|eq \(CB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)×(eq \r(2))2＋eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×cs135°－eq \f(1,2)×eq \r(2)×2×cs135°＋2×1×cs0°
＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＋1＋2＝2.
7．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝_______.
答案 10
解析 將△ABC各邊及PA，PB，PC均用向量表示，
則eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝eq \f(\(PA,\s\up6(→))2＋\(PB,\s\up6(→))2,\(PC,\s\up6(→))2)＝eq \f(?\(PC,\s\up6(→))＋\(CA,\s\up6(→))?2＋?\(PC,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))?2,\(PC,\s\up6(→))2)＝eq \f(2|\(PC,\s\up6(→))|2＋2\(PC,\s\up6(→))·?\(CA,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))?＋\(AB,\s\up6(→))2,|\(PC,\s\up6(→))|2)
＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2,|\(PC,\s\up6(→))|2)－6＝42－6＝10.
8．若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq \f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
解析 以α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq \f(1,2)，
所以sinθ＝eq \f(1,2|β|)，又因?yàn)閨β|≤1，所以eq \f(1,2|β|)≥eq \f(1,2)，
即sinθ≥eq \f(1,2)且θ∈[0，π]，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
三、解答題
9.如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC．
求：(1)AD的長(zhǎng)；
(2)∠DAC的大小．
解 (1)設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
則eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cs120°＋eq \f(1,9)×9＝3.
故AD＝eq \r(3).
(2)設(shè)∠DAC＝θ，則θ為向量eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角．
∵csθ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練
1．在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則ED＝________.
答案 eq \f(\r(21),2)
解析 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(0，eq \r(3))，C(3，eq \r(3))，D(3,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，eq \r(3))，設(shè)eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3λ，eq \r(3)λ)，故eq \(BE,\s\up6(→))＝(3λ，eq \r(3)λ－eq \r(3))．因?yàn)锽E⊥AC，所以eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq \f(1,4)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).故eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，則|eq \(ED,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)))2)＝eq \f(\r(21),2)，即ED＝eq \f(\r(21),2).
2．四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA＝EF.
證明 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，DP＝λ(0

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