第三章達標檢測-2022版數(shù)學必修第二冊 湘教版（2019） 同步練習 （Word含解析）

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本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.計算:i(1+i)2= (　　)A.-2 B.2 C.2i D.-2i2.復數(shù) = (　　)A.-1-i B.-1+iC.1+i D.1-i3.在復平面內,復數(shù)z=+i2 018對應的點位于 (　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知復數(shù)z=,則z的共軛復數(shù)的虛部為 (　　)A. C.-i5.已知復數(shù)z=,a∈R,若復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限,則實數(shù)a的取值范圍是????????????? (　　)A.a<0 B.a>1C.0<a<1 D.a<16.如圖,在復平面內,一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1+2i,-2+i,0,那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為????????????? (　　)A.3+i B.3-iC.1-3i D.-1+3i7.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,則“m=1”是“z1=z2”的????????????? (　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8*.已知復數(shù)z在復平面內對應的點為A,將點A繞坐標原點按逆時針方向旋轉,再向左平移一個單位,最后向下平移一個單位得到點B,此時點B與點A恰好關于坐標原點對稱,則復數(shù)z=????????????? (　　)A.-1 B.1 C.i D.-i二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.已知復數(shù)z=,下列命題是真命題的為 (　　)A.|z|=2B.z2=2iC.z的共軛復數(shù)為1-iD.z的虛部為i10.下列說法中正確的是 (　　)A.在復平面內,實軸上的點都表示實數(shù),虛軸上的點都表示虛數(shù)B.C.若m∈Z,則im+im+1+im+2+im+3=0D.若復數(shù)z滿足|z-i|=|z+i|,則復數(shù)z對應的點的集合構成的圖形是圓11.設z1,z2為復數(shù),則下列結論中錯誤的是 (　　)A.若>0,則B.|z1-z2|=C.=0?z1=z2=0D.z1-是純虛數(shù)或零12.已知復數(shù)z,下列結論正確的是 (　　)A.“z+=0”是“z為純虛數(shù)”的充分不必要條件B.“z+=0”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件C.“z=”是“z為實數(shù)”的充要條件D.“z·∈R”是“z為實數(shù)”的充分不必要條件三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.設復數(shù)z=,則|z|=　　　　. 14.在復平面內,復數(shù)1+i與-1+3i分別對應向量,其中O為坐標原點,則||=　　　　. 15.已知i為虛數(shù)單位,若復數(shù)z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是純虛數(shù),則|z+1|=　　　　;z·=　　　　.(本題第一空2分,第二空3分)  16.定義復數(shù)的一種運算z1* z2=(等式右邊為普通運算),若復數(shù)z=a+bi,且正實數(shù)a,b滿足a+b=3,則z*的最小值為　　　　. 四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)計算:(1);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.          18.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z=a-1+ai(a∈R).(1)若z是純虛數(shù),求a;(2)若|z|=,求.         19.(本小題滿分12分)已知z是復數(shù),z+2i與均為實數(shù).(1)求復數(shù)z;(2)若復數(shù)(z+ai)2在復平面內對應的點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍.       20.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z滿足|z|=,z2的虛部是2.(1)求復數(shù)z;(2)設z,z2,z-z2在復平面內對應的點分別為A,B,C,求△ABC的面積.         21.(本小題滿分12分)已知z為虛數(shù),z+為實數(shù).(1)若z-2為純虛數(shù),求虛數(shù)z;(2)求|z-4|的取值范圍.        22.(本小題滿分12分)已知ω=-i(i為虛數(shù)單位).(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2;(2)求ω2+;(3)類比in,探究ωn的性質(n∈N*).  答案全解全析一、單項選擇題1.A　i(1+i)2=i·2i=-2.2.A　復數(shù)=-i(1-i)=-i-1.3.C　因為z=·i2=i,所以復數(shù)z=,所以復數(shù)z=+i2 018對應的點位于第三象限.4.B　復數(shù)z=,則z的共軛復數(shù)為,其虛部為.5.B　z==2a+(1-a)i,因為復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限,所以解得a>1.6.D　由題圖得,,所以對應的復數(shù)為1+2i-2+i=-1+3i,所以點C對應的復數(shù)為-1+3i.7.A　若z1=z2,則解得m=1或m=-2.所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要條件.8.B　設z=a+bi(a,b∈R),點B對應的復數(shù)為z1,則A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因為點B與點A恰好關于坐標原點對稱,所以于是z=1.二、多項選擇題9.BC　z==1+i,所以|z|=,故A是假命題;z2=2i,故B是真命題;z的共軛復數(shù)為1-i,故C是真命題;z的虛部為1,故D是假命題.10.BC　對于A,在復平面內,實軸上的點都表示實數(shù),虛軸上的點除原點外都表示虛數(shù),A錯誤;對于B,設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則=(a+c)-(b+d)i,=(a+c)-(b+d)i,所以,B正確;對于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正確;對于D,若|z-i|=|z+i|,則在復平面內,復數(shù)z對應的點到點(0,1)和(0,-1)的距離相等,所以復數(shù)z對應的點的集合構成的圖形不是圓,D錯誤.故選BC.11.ABC　當z1=4+i,z2=2-2i時,=15+8i,=-8i,滿足>0,但都是虛數(shù),不能比較大小,故A中結論錯誤;因為|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|與不一定相等,故B中結論錯誤;當z1=2+i,z2=1-2i時,=3+4i,=-3-4i,滿足=0,但z1=z2=0不成立,故C中結論錯誤;設z1=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,故z1-=2bi,當b=0時,z1-=0,當b≠0時,z1-是純虛數(shù),故D中結論正確.12.BC　若z+=0,則z不一定為純虛數(shù),也可以為0,反之,若z為純虛數(shù),則z+=0,∴“z+=0”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件,A錯誤,B正確;“z=”是“z為實數(shù)”的充要條件,C正確;若z·∈R,則z不一定為實數(shù),也可以為虛數(shù),反之,若z∈R,則z·∈R,∴“z·∈R”是“z為實數(shù)”的必要不充分條件,D錯誤.故選BC.三、填空題13.答案　1解析　z==i,∴|z|=1.14.答案　2解析　,所以對應的復數(shù)為(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以|.15.答案　;16解析　∵復數(shù)z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是純虛數(shù),∴解得a=-2,∴z=-4i,∴=4i,∴|z+1|=|1-4i|=,z·=16.16.答案　解析　z*=.∵a,b>0,且a+b=3,∴ab≤,當且僅當a=b=時,等號成立,∴-ab≥-,∴z*≥ .故z*.四、解答題17.解析　(1)原式====i. (5分)(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i. (10分)18.解析　(1)若z是純虛數(shù),則 (3分)所以a=1. (6分)(2)因為|z|=,所以a2-a-2=0,所以a=2或a=-1. (10分)當a=2時,z=1+2i,=1-2i,當a=-1時,z=-2-i,=-2+i. (12分)19.解析　(1)設z=x+yi(x,y∈R),則z+2i=x+(y+2)i, (1分). (2分)由條件得,y+2=0且x+2y=0,所以x=4,y=-2. (5分)所以復數(shù)z=4-2i. (6分)(2)由(1)得(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i. (8分)由條件得 (10分)解得2<a<6,所以實數(shù)a的取值范圍是(2,6). (12分)20.解析　(1)設z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi. (2分)由題意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1, (4分)所以z=1+i或z=-1-i. (6分)(2)當z=1+i時,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1. (9分)當z=-1-i時,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1. (12分)21.解析　設z=x+yi(x,y∈R,y≠0).(1)z-2=x-2+yi,由z-2為純虛數(shù),得x=2,所以z=2+yi, (2分)所以z+i,由z+為實數(shù),得y-=0,解得y=±3, (4分)所以z=2+3i或z=2-3i. (5分)(2)因為z+=x+i是實數(shù),(7分)所以y-=0,因為y≠0,所以(x-2)2+y2=9, (9分)所以(x-2)2<9,所以x∈(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|===∈(1,5). (12分)22.解析　(1)∵ω=-i,∴ω2=-,ω3=1,ω2+ω+1=0, (3分)∴(ω+2ω2)2+=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.????????????? (5分)(2)ω2+=ω2+ω=-1. (7分)(3)由(1)可知ω2=-,ω3=1,∴ωn=(12分)