題組一 點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的三種語言轉(zhuǎn)換
1.若點(diǎn)Q在直線b上,b在平面β內(nèi),則Q,b,β之間的關(guān)系可記作 ( )
A.Q∈b∈βB.Q∈b?β
C.Q?b?βD.Q?b∈β
2.下列關(guān)于兩個(gè)相交平面的畫法正確的是( )
3.如圖所示,用符號(hào)語言可表示為( )
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
4.已知點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)B不在直線l上,l在平面α外,l在平面β內(nèi),下列表示正確的有 .(填序號(hào))
①A∈l,②A?l,③B?l,④B?l,⑤l?α,⑥l?α,⑦l?β,⑧l(xiāng)?β.
題組二 平面的基本事實(shí)及其應(yīng)用
5.下列命題正確的是( )
A.一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面
B.兩條相交直線確定一個(gè)平面
C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面
D.三條平行直線確定一個(gè)平面
6.下列四個(gè)命題:①任意兩條直線都可以確定一個(gè)平面;②若兩個(gè)平面有3個(gè)不同的公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合;③對(duì)于直線a,b,c,若a與b共面,b與c共面,則a與c共面;④若直線l上有一點(diǎn)在平面α外,則l在平面α外.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
7.(2020河北衡水武邑中學(xué)高一上月考)下列說法正確的是( )
A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B.四邊形一定是平面圖形
C.梯形一定是平面圖形
D.不重合的平面α和平面β有不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)
8.(2020廣東中山第一中學(xué)高一段考)下列說法不正確的是( )
A.三角形一定是平面圖形
B.若四邊形的兩條對(duì)角線相交于一點(diǎn),則該四邊形是平面圖形
C.圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面
D.三條平行線最多可確定三個(gè)平面
9.已知平面α與平面β、γ分別相交,則這三個(gè)平面的交線有( )
A.1條或2條B.2條或3條
C.1條或3條D.1條或2條或3條
題組三 共點(diǎn)、共線、共面問題
10.空間四邊形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果GH,EF交于一點(diǎn)P,則( )
A.P一定在直線BD上
B.P一定在直線AC上
C.P在直線AC或BD上
D.P既不在直線BD上,也不在直線AC上
11.(2020河南南陽一中高三上月考)如圖所示,六面體ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A,M,O三點(diǎn)共線B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
12.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:
(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面;
(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.
能力提升練
題組一 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用
1.(2020江西南昌八一中學(xué)高二下期中,)如圖所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是( )
A.直線ACB.直線AB
C.直線CDD.直線BC
2.(2020上海華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二下月考,)設(shè)P1、P2、P3、P4為空間中的四個(gè)不同點(diǎn),則“P1、P2、P3、P4中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“P1、P2、P3、P4在同一個(gè)平面內(nèi)”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.(2020廣東汕頭高三二模,)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,點(diǎn)G為正方形ABCD的中心,點(diǎn)E為A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)F為AE的中點(diǎn),則( )
A.C、E、F、G四點(diǎn)共面,且CF=EG
B.C、E、F、G四點(diǎn)共面,且CF≠EG
C.C、E、F、G四點(diǎn)不共面,且CF=EG
D.C、E、F、G四點(diǎn)不共面,且CF≠EG
4.(2020廣西崇左高一上期末,)過直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面,則這樣的平面( )
A.不存在B.只能作一個(gè)
C.能作無數(shù)個(gè)D.以上都有可能
5.(2020上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高三下月考,)對(duì)于空間中的三條直線,有以下四個(gè)條件:①三條直線兩兩相交;②三條直線兩兩平行;③三條直線共點(diǎn);④兩直線相交,第三條平行于其中一條,且與另一條相交.其中使這三條直線共面的充分條件有 (填正確結(jié)論的序號(hào)).
6.(2020吉林梅河口第五中學(xué)高一下月考,)下列命題中正確的個(gè)數(shù)為 .
①若△ABC在平面α外,它的三條邊所在的直線分別交α于P,Q,R,則P,Q,R三點(diǎn)共線;
②若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面;
③空間中不共面的五個(gè)點(diǎn)一定能確定10個(gè)平面.
題組二 共點(diǎn)、共線、共面問題
7.()如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC,BD交于點(diǎn)O,判斷下列命題是否正確,并說明理由.
(1)由點(diǎn)A,O,C可以確定一個(gè)平面;
(2)由點(diǎn)A,C1,B1確定的平面為平面ADC1B1.
8.()如圖所示,△ABC與△A1B1C1不在同一個(gè)平面內(nèi),如果三條直線AA1,BB1,CC1兩兩相交,求證:三條直線AA1,BB1,CC1交于一點(diǎn).
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 因?yàn)辄c(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上,所以Q∈b.因?yàn)橹本€b(集合)在平面β(集合)內(nèi),所以b?β.所以Q∈b?β.
2.D 對(duì)于A,圖中沒有畫出平面α與平面β的交線,另外圖中的虛、實(shí)線也沒有按照畫法原則去畫,因此A的畫法不正確,同理,B,C的畫法也不正確,D的畫法正確.
3.A 兩個(gè)平面α與β相交于直線m,直線n在平面α內(nèi),直線m和直線n相交于點(diǎn)A,故用符號(hào)語言可表示為α∩β=m,n?α,m∩n=A,故選A.
4.答案 ①③⑥⑧
解析 ∵點(diǎn)A在直線l上,直線l在平面α外,點(diǎn)B不在直線l上,l在平面β內(nèi),
∴A∈l,l?α,B?l,l?β.
故正確的為①③⑥⑧.
5.B 根據(jù)一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,知A不正確;B顯然正確;C中,當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí),可確定無數(shù)個(gè)平面,故C不正確;三條平行直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,故D不正確.故選B.
6.C ①顯然錯(cuò)誤;
在②中,若兩個(gè)平面有3個(gè)不共線的公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合,若兩個(gè)平面有3個(gè)共線的公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面相交或重合,故②錯(cuò)誤;
在③中,對(duì)于直線a,b,c,若a與b共面,b與c共面,則a與c不一定共面,如圖所示的四面體S-ABC中,SA與AB共面,AB與BC共面,但SA與BC不共面,故③錯(cuò)誤;
在④中,若直線l上有一點(diǎn)在平面α外,則l在平面α外,故④正確.
故選C.
7.C A錯(cuò)誤,不共線的三個(gè)點(diǎn)才可以確定一個(gè)平面;
B錯(cuò)誤,四邊形不一定是平面圖形;
C正確,梯形有一組對(duì)邊平行,兩條平行線確定一個(gè)平面;
D錯(cuò)誤,若平面α與β有公共點(diǎn),則這些公共點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上.故選C.
8.C 三角形一定是平面圖形,A中說法正確;由兩條相交直線確定一個(gè)平面可知,若四邊形的兩條對(duì)角線相交于一點(diǎn),則該四邊形是平面圖形,B中說法正確;當(dāng)圓心和圓上兩點(diǎn)在同一條直線上(即圓的直徑)時(shí),可確定無數(shù)個(gè)平面,C中說法不正確;三條平行線最多可確定三個(gè)平面,D中說法正確.故選C.
9.D 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都與平面BB1D1D相交,這三個(gè)平面有兩條交線;平面ABB1A1和平面BB1D1D都與平面BB1C1C相交,這三個(gè)平面有一條交線;平面ABB1A1和平面AA1D1D都與平面BB1D1D相交,這三個(gè)平面有三條交線.故若平面α與平面β、γ分別相交,則這三個(gè)平面的交線有1條或2條或3條.故選D.
10.B 由題意知GH?平面ADC.因?yàn)镚H,EF交于一點(diǎn)P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC=AC,所以由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P一定在直線AC上.故選B.
11.A 連接A1C1,AC,易知A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四點(diǎn)共面,
∴A1C?平面ACC1A1.
∵M(jìn)∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,
又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理點(diǎn)A、點(diǎn)O均在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,
∴A,M,O三點(diǎn)共線.
故選A.
12.證明 (1)連接B1D1,
∵E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),
∴EF∥B1D1.
在正方體AC1中,易知B1D1∥BD,
∴EF∥BD,
∴EF,BD可確定一個(gè)平面,即D,B,F,E四點(diǎn)共面.
(2)正方體AC1中,設(shè)A1A、CC1確定的平面為α,平面BDEF為β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,
∴點(diǎn)Q在平面α與β的交線上,
同理P∈α,P∈β,
∴點(diǎn)P在平面α與β的交線上,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,
∴R∈PQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.
能力提升練
1.C 由題意知,D∈l,l?β,所以D∈β,又因?yàn)镈∈AB,所以D∈平面ABC,即D在平面ABC與平面β的交線上,又C∈平面ABC,C∈β,所以點(diǎn)C在平面ABC與平面β的交線上,所以平面ABC∩平面β=CD.故選C.
2.A 若P1、P2、P3、P4中有三點(diǎn)在同一條直線上,則有一點(diǎn)不在該直線上,由推論1可知,P1、P2、P3、P4在同一平面內(nèi),故充分性成立;當(dāng)P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2時(shí),P1、P2、P3、P4在同一平面內(nèi),但P1、P2、P3、P4中無三點(diǎn)共線,故必要性不成立.故選A.
3.B 如圖,連接AC,FG,EC,因?yàn)镚為正方形ABCD的中心,所以AG=GC.又因?yàn)镕為AE的中點(diǎn),所以AF=FE,所以由三角形的中位線定理可知,FG∥EC,所以由推論3知,C、E、F、G四點(diǎn)共面.
過點(diǎn)E作EH⊥AD于H,連接HG,則EG=EH2+HG2=3+1=2.
過點(diǎn)F作FT⊥AD于T,連接CT,則CF=CD2+DT2+FT2=22+322+322=7,所以CF≠EG,故選B.
4.D 過直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面,若兩點(diǎn)所在的直線與l相交,則這樣的平面不存在;若兩點(diǎn)所在的直線與直線l異面,則這樣的平面有且僅有一個(gè);若兩點(diǎn)所在的直線與直線l平行,則這樣的平面有無數(shù)個(gè).故選D.
5.答案 ④
解析 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1兩兩相交,且三條直線共點(diǎn),但三條直線不共面,故①③不符合要求;②三條直線兩兩平行也可能構(gòu)成三個(gè)平面,故②不符合要求;④設(shè)a∥b,a∩c=M,b∩c=N,則a,b可唯一確定一個(gè)平面,記為α,且M∈α,N∈α,所以MN?α,即c?α,即三條直線共面,故④符合要求.
6.答案 2
解析 對(duì)于①,因?yàn)镻∈α,P∈平面ABC,所以P在平面α與平面ABC的交線上,同理R,Q也在兩平面的交線上,故P、Q、R三點(diǎn)共線,①正確;
對(duì)于②,因?yàn)閍∥b,所以a,b可唯一確定一個(gè)平面,記為α,因?yàn)锳∈a,B∈b,a?α,b?α,所以AB?α,即l?α,即a,b,l共面于α;同理,a,c,l三線也共面,不妨設(shè)為β,而α,β有兩條公共直線a,l,所以α,β重合,即a,b,c,l共面,故②正確;
對(duì)于③,以如圖所示的四棱錐P-ABCD為例.
A、B、C、D、P五點(diǎn)不共面,但這五個(gè)點(diǎn)確定了7個(gè)平面,故③錯(cuò)誤.
故正確命題的個(gè)數(shù)為2.
7.解析 (1)不正確.因?yàn)辄c(diǎn)A,O,C在同一條直線上,所以不能確定一個(gè)平面.
(2)正確.因?yàn)辄c(diǎn)A,B1,C1不共線,所以可確定一個(gè)平面.又因?yàn)锳D∥B1C1,所以點(diǎn)D∈平面AB1C1.所以由點(diǎn)A,C1,B1確定的平面為平面ADC1B1.
8.證明 設(shè)BB1與CC1,CC1與AA1,AA1與BB1分別確定平面α,β,γ,AA1與BB1的交點(diǎn)為P,因?yàn)镻∈AA1,P∈BB1,AA1?β,BB1?α,所以P∈α,P∈β,即P∈(α∩β).又α∩β=CC1,所以P∈CC1,所以三條直線AA1,BB1,CC1交于一點(diǎn)P.

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