題組一 空間兩條直線垂直
1.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c( )
A.一定平行B.一定垂直
C.一定是異面直線D.一定相交
2.(2020安徽銅陵高二上期末)若a是空間中的一條直線,則在平面α內(nèi)一定存在直線b與直線a( )
A.平行B.相交
C.垂直D.異面
3.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則下列結(jié)論中不成立的是( )
A.EF與BB1垂直B.EF與BD垂直
C.EF與CD異面D.EF與A1C1異面
4.(2020河南頂級(jí)名校高三聯(lián)考)已知空間三條直線l,m,n,若l與m垂直,l與n垂直,則( )
A.m與n異面
B.m與n相交
C.m與n平行
D.m與n平行、相交、異面均有可能
5.對(duì)角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M,N,P,Q,判斷四邊形MNPQ的形狀.
題組二 求異面直線所成的角
6.如圖所示,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,l?平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列一定不成立的是( )
A.l與AD平行
B.l與AB異面
C.l與CD所成的角為30°
D.l與BD垂直
7.在正四面體A-BCD中,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),則下列命題不正確的是( )
A.EF⊥AB
B.EF⊥CD
C.EF與AC所成的角為π4
D.EF與BD所成的角為π3
8.(2020安徽馬鞍山高二上期中)如圖,在空間四邊形ABCD中,M、N分別是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn),AB=CD=2,MN=3,則異面直線AB與CD所成的角為( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
9.(2020湖南長沙第一中學(xué)高一上期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為A1B1的中點(diǎn),AB=BC=4,BB1=1,AC=25,則異面直線BD與AC所成的角為( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
10.(2020山西大同一中高二上月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.
(1)求直線DA1與BC所成的角;
(2)求直線D1A與BA1所成的角.
11.如圖所示,已知多面體ABCD-A1B1C1D1為正方體.
(1)求A1C1與B1C所成角的大小;
(2)若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小.
題組三 空間兩條直線所成角的應(yīng)用
12.(2020河南開封高一上期末)如圖,在底面邊長為1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為AA1的中點(diǎn),異面直線BE與CD1所成角的正弦值為1010,則側(cè)棱AA1的長度為 .
13.如圖所示,已知空間四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的長分別為AC=6,BD=8,AC與BD所成的角為30°,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求四邊形EFGH的面積.
14.(2020廣西柳州第二中學(xué)高一上月考)如圖所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1的長.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
2.C 如圖所示的正方體中,取平面α為平面ABCD,
直線a與平面α的位置關(guān)系有三種,
(1)取直線AB為a,在平面α內(nèi),顯然存在直線BC⊥a,但不存在直線與a異面;
(2)取直線A1B1為a,在平面α內(nèi),顯然存在直線BC⊥a,但不存在直線與a相交;
(3)取直線AA1為a,在平面α內(nèi),顯然存在直線BC⊥a,但不存在直線與a平行.
故選C.
3.D 如圖所示,連接A1B,易知點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn),由三角形中位線定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1確定一個(gè)平面;顯然EF與CD異面;連接B1D1,則A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有選項(xiàng)D中的結(jié)論不成立.故選D.
4.D ∵m⊥l,n⊥l,∴m與n既可以相交,也可以異面,還可以平行.如圖.
5.解析 如圖所示.
∵點(diǎn)M,N,P,Q分別是空間四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn),
∴MN∥AC,且MN=12AC,PQ∥AC且PQ=12AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四邊形MNPQ是平行四邊形.
易知BD∥MQ,又AC⊥BD,∴AC⊥MQ,
∴MN⊥MQ,
∴平行四邊形MNPQ是矩形.
6.A 假設(shè)l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,這與“l(fā)與B1C1不平行”矛盾,所以l與AD不平行.易證B、C、D成立,故選A.
7.D 如圖所示,
將正四面體A-BCD放入正方體中,則正四面體的每一條棱都是正方體的面對(duì)角線,E、F分別是上、下底面的中心,∴EF與正方體垂直于底面的棱平行,
∴EF⊥AB,EF⊥CD成立,且EF與AC、BD所成的角都是π4.
故選D.
8.B 取BC的中點(diǎn)P,連接MP,NP,因?yàn)镸、N分別是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn),所以MP∥AB,NP∥CD,且MP=12AB=1,NP=12CD=1,所以∠MPN是異面直線AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角),由余弦定理可知cs∠MPN=MP2+NP2-MN22MP·NP=-12,
所以∠MPN=120°,
所以異面直線AB與CD所成的角為60°.
故選B.
9.C 如圖,取B1C1的中點(diǎn)E,連接DE,BE,
則DE∥A1C1∥AC,
故∠BDE為異面直線BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角).
由題意可得,BD=BE=5,DE=12AC=5,
∴△DEB為等邊三角形,
∴∠BDE=60°.
故選C.
10.解析 (1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
∴∠ADA1是異面直線DA1與BC所成的角或其補(bǔ)角.
∵AD=AA1,AD⊥AA1,∴∠ADA1=π4,
∴直線DA1與BC所成的角為π4.
(2)連接C1B,A1C1,易知AD1∥C1B,
∴∠C1BA1是異面直線D1A與BA1所成的角或其補(bǔ)角.
易知BA1=A1C1=BC1,∴∠C1BA1=π3,
∴直線D1A與BA1所成的角為π3.
11.解析 (1)連接AC、AB1.
∵多面體ABCD-A1B1C1D1是正方體,
∴易得四邊形AA1C1C為平行四邊形,
∴AC∥A1C1,
∴∠B1CA(或其補(bǔ)角)就是A1C1與B1C所成的角.
易知△AB1C為正三角形,
∴∠B1CA=60°.
∴A1C1與B1C所成的角為60°.
(2)連接BD,∵E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD.
∵AC∥A1C1,
∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.
易知AC⊥BD,∴AC⊥EF.
∴A1C1與EF所成角的大小為90°.
12.答案 1或2
解析 如圖,連接A1B,易知A1B∥CD1,
∴∠A1BE即異面直線BE與CD1所成的角.
過點(diǎn)E作EH⊥A1B于點(diǎn)H,設(shè)EH=h,
則BE=EHsin∠A1BE=h1010=10h,AE=BE2-AB2=10h2-1.
易得△A1HE∽△A1AB,
∴EHAB=A1EA1B,
即h1=10h2-11+4(10h2-1),
解得h2=18或h2=15,
∴AE=12或AE=1,
∴AA1=1或AA1=2.
13.解析 ∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),
∴FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=12AC,
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
∵AC∥EF,BD∥FG,∴EF與FG所成的角即為AC與BD所成的角,∴∠EFG(或其補(bǔ)角)為30°,∴S四邊形EFGH=EF×FG×sin∠EFG=12AC×12BD×12=3×4×12=6.
14.解析 如圖,連接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角.
∵異面直線A1B和AD1所成的角為90°,∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面均為矩形,AD=CD,∴AD1=CD1,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=22AC.
∵底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,
∴AC=23×sin 60°×2=6,
∴AD1=22AC=32,
∴AA1=AD12-A1D12
=(32)2-(23)2=6.

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4.3 直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

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