想一想：等邊三角形都有哪些性質(zhì)呢？
（1）等邊三角形的三邊都相等；（2）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；（3）各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等； （4）軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸.
探究1：當(dāng)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？
猜想：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
證明：∵∠A=∠B ,∴ BC=AC，∵∠B=∠C,∴ AB=AC, ∴AB=BC=AC，∴ △ABC是等邊三角形(等邊三角形定義).
已知：如圖,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形.
定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
∵ ∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等邊三角形.
練習(xí)1：如圖,△ABC是等邊三角形，DE//BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E. 求證：△ADE是等邊三角形.
證明：∵ △ABC是等邊三角形.∴∠A=∠B=∠C=60°∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°∴∠ADE=∠AED=∠A∴△ADE是等邊三角形.（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）
探究2：當(dāng)一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？
猜想：有一個(gè)角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形.
證明：∵AB=AC, ∠B=60 °，∴∠C=∠B=60 °，∴∠A=60 °，∴∠A=∠B=∠C ， ∴ △ABC是等邊三角形.
已知：如圖,在△ABC中 AB=AC,∠B=60 °.求證：△ABC是等邊三角形.
當(dāng)∠A或∠C=60 °時(shí)，這個(gè)猜想也成立嗎?
定理2：有一個(gè)角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形.
∵ AB=AC， ∠B=60 °.
練習(xí)2：等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(　　)A．有一個(gè)內(nèi)角是60° B．有一個(gè)外角是120°C．有兩個(gè)角相等 D．腰與底邊相等
等邊三角形的性質(zhì)和判定：
做一做：用兩個(gè)含有30°角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？
能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？
觀察這個(gè)等邊三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?
在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30 °，那第它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
證明：如圖所示，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.∴AC ＝AC,∴△ABC≌△ADC ( SAS ).∴AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴ BC＝ BD＝ AB.
例1：已知：如圖， △ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求證： BC＝　AB.
定理：在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30 °，那第它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
在△ABC中∵ ∠C=90 °. ∠A=30 °.
例2：求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半. 已知：如圖,在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝　 AB
證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝ 90°.∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴CD = AB.
練習(xí)3：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(　　)A．BD＝CD B．BD＝2CDC．BD＝3CD D．BD＝4CD
1.已知在△ABC中，∠A＝60°，如果判定△ABC是等邊三角形，還需添加一個(gè)條件．現(xiàn)有下面三種說(shuō)法：①如果添加條件“AB＝AC”，那么△ABC是等邊三角形；②如果添加條件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等邊三角形；③如果添加條件“邊AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等邊三角形．上述說(shuō)法中，正確的有(　　)A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)
2.如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長(zhǎng)是8 m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是(　　)A．3 mB．4 mC．5 mD．6 m
如圖所示，在正三角形ABC的內(nèi)部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)(D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明．(2)△DEF是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.選擇△ABD≌△BCE進(jìn)行證明．∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2,∠BCE＝∠ACB－∠3,∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.在△ABD和△BCE中，∵∠1＝∠2，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，∴△ABD≌△BCE(ASA)．
(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.∴△DEF是正三角形．
(2018·嘉興)已知:在ΔABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,且DE=DF. 求證：ΔABC是等邊三角形.
證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D為的AC中點(diǎn)，∴DA=DC．∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等邊三角形．
1、說(shuō)一說(shuō)等邊三角形的判定定理？
（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個(gè)角等于60 °的等腰三角形是等邊三角形.
2、說(shuō)一說(shuō)本節(jié)課所學(xué)的直角三角形的性質(zhì)？
在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30 °，那第它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
課題：1.1等腰三角形（4）?
1、等腰三角形的判定定理1：定理2：2、直角三角形的性質(zhì)

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1 等腰三角形

版本： 北師大版（2024）

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