《平面直角坐標系》全章復(fù)習與鞏固(提高)知識講解 【學(xué)習目標】1. 理解平面直角坐標系及象限的概念，并會在坐標系中根據(jù)點的坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標；2. 掌握用坐標系表示物體位置的方法及在物體平移變化前后點坐標的變化；3. 通過學(xué)習平面直角坐標系的基礎(chǔ)知識,逐步理解平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系,進而培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【知識網(wǎng)絡(luò)】                 【要點梳理】要點一、有序數(shù)對把一對數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對，人們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常以有序數(shù)對為工具表達一個確定的意思，如某人記錄某個月不確定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，但更多的人們還是用它來進行空間定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來表示電影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號.要點二、平面直角坐標系 在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系，如下圖：要點詮釋：（1）坐標平面內(nèi)的點可以劃分為六個區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點.（2）在平面上建立平面直角坐標系后，坐標平面上的點與有序數(shù)對（x，y）之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，這樣就將‘形’與‘數(shù)’聯(lián)系起來，從而實現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化.（3）要熟記坐標系中一些特殊點的坐標及特征：① x軸上的點縱坐標為零；y軸上的點橫坐標為零．② 平行于x軸直線上的點橫坐標不相等，縱坐標相等；平行于y軸直線上的點橫坐標相等，縱坐標不相等．     ③ 關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；        關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；        關(guān)于原點對稱的點橫、縱坐標分別互為相反數(shù)．④ 象限角平分線上的點的坐標特征：        一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；        二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)．注：反之亦成立．（4）理解坐標系中用坐標表示距離的方法和結(jié)論：      ① 坐標平面內(nèi)點P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|．      ② x軸上兩點A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1 - x2|；         y軸上兩點C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．③ 平行于x軸的直線上兩點A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1 - x2|；         平行于y軸的直線上兩點C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．（5）利用坐標系求一些知道關(guān)鍵點坐標的幾何圖形的面積：切割、拼補要點三、坐標方法的簡單應(yīng)用1．用坐標表示地理位置   (1)建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向；   (2)根據(jù)具體問題確定適當?shù)谋壤撸谧鴺溯S上標出單位長度；   (3)在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱．要點詮釋：   (1)我們習慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標系的關(guān)鍵是確定原點的位置．   (2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來確定坐標軸上的單位長度．2．用坐標表示平移 (1)點的平移點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(x，y+b)(或(x，y-b))． 要點詮釋：上述結(jié)論反之亦成立，即點的坐標的上述變化引起的點的平移變換．  (2)圖形的平移    在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．要點詮釋：平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發(fā)生變化，其他點的坐標也進行了相應(yīng)的變化，反過來點的坐標發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．【典型例題】類型一、有序數(shù)對1．(巴中)如圖所示，用點A(3，1)表示放置3個胡蘿卜、1棵青菜，用點B(2，3)表示放置2個胡蘿卜，3棵青菜． (1)請你寫出點C、D、E、F所表示的意義； (2)若一只兔子從點A到達點B(順著方格線走)，有以下幾條路線可以選擇：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B，問走哪條路吃到的胡蘿卜最多?走哪條路吃到的青菜最多?【思路點撥】（1）根據(jù)問題的“約定”先寫出坐標，再回答其實際意義；(2)通過比較三條線路吃胡蘿卜、青菜的多少回答問題．【答案與解析】解：(1)因為點A(3，1)表示放置3個胡蘿卜、1棵青菜，點B(2，3)表示放置2個胡蘿卜、3棵青菜，可得：    點C的坐標是(2，1)，它表示放置2個胡蘿卜、1棵青菜；    點D的坐標是(2，2)，它表示放置2個胡蘿卜、2棵青菜；    點E的坐標是(3，2)，它表示放置3個胡蘿卜、2棵青菜；    點F的坐標是(3，3)，它表示放置3個胡蘿卜、3棵青菜．    (2)若兔子走路線①A→C→D→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+2+2+2＝9(個)，吃到的青菜共有1+1+2+3＝7(棵)；    走路線②A→E→D→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+3+2+2＝10(個)，吃到的青菜共有1+2+2+3＝8(棵)；    走路線③A→E→F→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+3+3+2＝11(個)，吃到的青菜共有1+2+3+3＝9(棵)；    由此可知，走第③條路線吃到的胡蘿卜和青菜都最多．【總結(jié)升華】由點A（3，1），點B（2，3）表示的意義及已確定平面直角坐標系，可知坐標系中x軸表示胡蘿卜的數(shù)量，y軸表示青菜的數(shù)量．類型二、平面直角坐標系2. (1)若點(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分線上，求a的值．    (2)已知兩點A(-3，m)，B(n，4)，若AB∥x軸，求m的值，并確定n的范圍．    (3)點P到x軸和y軸的距離分別是3和4，求P點的坐標．【思路點撥】 (1)中在一、三象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等；(2)與x軸平行的直線上的點的縱坐標相等；(3)中的點P有多個．【答案與解析】 解：(1)因為點(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分線上，所以5-a＝a-3，所以a＝4．    (2)因為AB∥x軸，所以m＝4，因為A、B兩點不重合，所以n≠-3．    (3)設(shè)P點的坐標為(x，y)，由已知條件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝±4，所以P點的坐標為(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)．【總結(jié)升華】抓住平面直角坐標系中點的特征和點的特征的意義是解決此類問題的關(guān)鍵．【高清課堂：平面直角坐標系單元復(fù)習  2（4）（5）】舉一反三：【變式】已知，點P（-m，m-1），試根據(jù)下列條件：（1）若點P在過A（2，-4），且與x軸平行的直線上，則m=      ，點P的坐標為       ．（2）若點P在過A（2，-4），且與y軸平行的直線上，則m=            ，點P的坐標為           ．【答案】（1）-3，（3,-4）;   （2）-2，（2，-3）.3.（2015春?鄂州校級期中）如圖，在直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OAB，依此類推，已知A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…①觀察每次變化后的三角形，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將△OA3B3變換成△OA4B4，則A4的坐標為　         　，B4的坐標為　         　.②若按上述規(guī)律，將三角OAB進行n次變換，得三角形△OAnBn，比較每次變換三角形頂點的變化規(guī)律，探索頂點An的坐標為　         　，頂點Bn的坐標為　          　．【答案】①（16，3）（32，0）； ②（2n，3）（2n+1，0）．【解析】解：∵A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…縱坐標不變，為3，橫坐標都和2有關(guān)，為2n，∴An（2n，3）；∵B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…縱坐標不變，為0，橫坐標都和2有關(guān)為2n+1，∴B的坐標為Bn（2n+1，0）．故答案為：①（16，3）（32，0）②（2n，3）（2n+1，0）．【總結(jié)升華】此題考查點的坐標問題，依次觀察各點的橫縱坐標，得到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】(杭州)某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在處，其中x1＝1，y1＝1，當k≥2時，  [a]表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2009棵樹種植點的坐標為(    ).    A．(5，2009)    B．(6，2010)    C．(3，401)    D．(4，402)【答案】D.類型三、坐標方法的簡單應(yīng)用4.如圖所示，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(2，-2)，B(1，2)，C(-2，-1)．求三角形ABC的面積．【思路點撥】觀察三角形ABC的三邊都不與坐標軸平行，此時可構(gòu)造一個過三角形三個頂點的正方形ADEF．用正方形ADEF的面積，減去三角形ABD，三角形BCE，三角形ACF的面積即得三角形ABC的面積．【答案與解析】解：過點A，C分別作平行于y軸的直線，過點A，B分別作平行于x軸的直線，它們的交點為D，E，F(xiàn)，得到正方形ADEF，則該正方形的面積為4×4＝16．    三角形ABD、三角形BCE、三角形ACF的面積分別是：，，．    所以三角形ABC的面積為16-2-4.5-2＝7.5．【總結(jié)升華】本例通過圖形的轉(zhuǎn)化，點的坐標與線段長度的轉(zhuǎn)化解決了求圖形面積的問題．點的坐標能體現(xiàn)它到坐標軸的距離，于是將點的坐標轉(zhuǎn)化為點到坐標軸的距離，這種應(yīng)用十分廣泛．舉一反三：【變式】（2015春?涼山州期末） 如圖，已知火車站的坐標為（2，1），文化宮的坐標為（﹣1，2）．（1）請你根據(jù)題目條件，畫出平面直角坐標系；（2）寫出體育館、市場、超市、賓館的坐標；（3）請將原點O，賓館C和文化宮B，看作三點用線段連起來，將得△OBC，然后將此三角形向下平移3個單位長度，畫出平移后的△O1B1C1，并求出其面積．【答案】解：（1）建立平面直角坐標系如圖所示；（2）體育場（﹣2，4），市場（6，4），超市（4，﹣2），賓館（4，3）．（3）如圖1，連接BB1交x軸于點A，連接CC1，=S△OBC=﹣S△BAO﹣=（2+3）×5﹣×1×2﹣×4×3=．5. (上海)如圖所示，在直角坐標平面內(nèi)，線段AB垂直于y軸，垂足為B，且AB＝2，如果將線段AB沿y軸翻折，點A落在C處，那么C的橫坐標是_______．【答案】-2.【解析】將線段AB沿y軸翻折以后，點A與點C關(guān)于y軸對稱，則兩點的橫坐標互為相反數(shù)，點A的橫坐標為2，則點C的橫坐標為-2．【總結(jié)升華】考查平面直角坐標系內(nèi)圖形與坐標的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)．類型四、綜合應(yīng)用6.（北京）（1）對數(shù)軸上的點進行如下操作：先把點表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單位，得到點的對應(yīng)點.點在數(shù)軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段，其中點的對應(yīng)點分別為．如圖1，若點表示的數(shù)是，則點表示的數(shù)是        ；若點表示的數(shù)是2，則點表示的數(shù)是        ；已知線段上的點經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點與點重合，則點表示的數(shù)是       ；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，對正方形及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一種實數(shù)，將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位（），得到正方形及其內(nèi)部的點，其中點的對應(yīng)點分別為.已知正方形內(nèi)部的一個點經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點與點重合，求點的坐標.【思路點撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設(shè)點B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設(shè)點E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計算即可得解：     點A′：－3×+1=－1+1=0.設(shè)點B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3.設(shè)點E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=.（2）先根據(jù)向上平移橫坐標不變，縱坐標加，向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出平移規(guī)律，然后設(shè)點F的坐標為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可.【答案與解析】【總結(jié)升華】根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設(shè)點B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設(shè)點E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計算即可得解.舉一反三：【變式】 把點P1(m，n)向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度到一個位置P2后坐標為P2 (a，b)，則m，n，a，b之間存在的關(guān)系是________________.【答案】，. 

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