?2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市梅里斯區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷
一.選擇題：（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列長度的三條線段，不能組成三角形的是（　?。?br /> A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8
2．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．（2x5）2＝2x10 B．（﹣3）﹣2＝
C．（a+1）2＝a2+1 D．a(chǎn)2?a3＝a6
3．（3分）下面有4個汽車標志圖案，其中不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．（3分）下列四個分式中，是最簡分式的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）人體中紅細胞的直徑約為0.0000077m，用科學記數(shù)法表示數(shù)的結(jié)果是（　?。?br /> A．0.77×10﹣5m B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
6．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，則BD的長為（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分）如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝（　?。?br />
A．50° B．100° C．120° D．130°
8．（3分）如果x2+（m﹣2）x+9是個完全平方式，那么m的值是（　?。?br /> A．8 B．﹣4 C．±8 D．8或﹣4
9．（3分）如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對稱軸，D為AC的中點，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．15° C．20° D．35°
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，連接AD，E在BC的延長線上，連接AE，∠E＝2∠CAD，下列結(jié)論：
①AD⊥BC；
②∠E＝∠BAC；
③CE＝2CD；
④AE＝BE．
其中正確的個數(shù)是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（每小題3分，共21分）
11．（3分）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶第　 　塊．

12．（3分）若有（x﹣3）0＝1成立，則x應滿足條件　 ?。?br /> 13．（3分）若分式的值為零，則x的值為　 ?。?br /> 14．（3分）若正多邊形的每一個內(nèi)角為135°，則這個正多邊形的邊數(shù)是 　 ?。?br /> 15．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，點D在直線BC上，且CD＝AC，連接AD，則∠ADC的度數(shù)為　 ?。?br /> 16．（3分）已知關于x的方程無解，則a＝　 ?。?br /> 17．（3分）如圖，長方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝1cm，在直線DA上，將長方形ABCD向右無滑動的滾動下去，（如①為第1次、②為第2次、③為第3次…）則第2022此滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離為　 　cm．

三.解答題（共49分）
18．（6分）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
19．（5分）解分式方程：＝+
20．（8分）（1）計算：4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
（2）先化簡，再求值﹣，其中a＝5．
21．（6分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系之后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（5，1）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）連接OB、OC，直接寫出△OBC的面積．

22．（6分）如圖，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于O．
（1）如圖1，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，連接BC、AO，請直接寫出圖2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．

23．（8分）甲、乙兩個工程隊計劃修建一條長15千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊每天比乙工程隊每天多修路0.5千米，乙工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)是甲工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)的1.5倍．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少千米？
（2）若甲工程隊每天的修路費用為0.5萬元，乙工程隊每天的修路費用為0.4萬元，要使兩個工程隊修路總費用不超過5.2萬元，甲工程隊至少修路多少天？
24．（10分）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE．
探索：
（1）連接EC，如圖①，試探索線段BC，CD，CE之間滿足的等量關系，并證明結(jié)論；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝45°，若BD＝7，將邊AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE．連接DE、CE，求線段CE的長．
（3）AD與CE交于點N，BD與CE交于點M，在（2）的條件下，試探究BD與CE的位置關系，并加以證明．



2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市梅里斯區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題：（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列長度的三條線段，不能組成三角形的是（　?。?br /> A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8
【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進行判定即可．
【解答】解：A，∵3+4＜8∴不能構(gòu)成三角形；
B，∵4+6＞9∴能構(gòu)成三角形；
C，∵8+15＞20∴能構(gòu)成三角形；
D，∵8+9＞15∴能構(gòu)成三角形．
故選：A．
2．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．（2x5）2＝2x10 B．（﹣3）﹣2＝
C．（a+1）2＝a2+1 D．a(chǎn)2?a3＝a6
【分析】根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和完全平方公式進行判斷即可．
【解答】解：A、（2x5）2＝4x10，錯誤；
B、（﹣3）﹣2＝，正確；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，錯誤；
D、a2?a3＝a5，錯誤；
故選：B．
3．（3分）下面有4個汽車標志圖案，其中不是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故錯誤；
B、是軸對稱圖形，故錯誤；
C、是軸對稱圖形，故錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故正確．
故選：D．
4．（3分）下列四個分式中，是最簡分式的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】分子分母沒有公因式即可最簡分式
【解答】解：（B）原式＝＝x+1，故B不是最簡分式，
（C）原式＝，故C不是最簡分式，
（D）原式＝＝a+b，故D不是最簡分式，
故選：A．
5．（3分）人體中紅細胞的直徑約為0.0000077m，用科學記數(shù)法表示數(shù)的結(jié)果是（　?。?br /> A．0.77×10﹣5m B．0.77×10﹣6m C．7.7×10﹣5m D．7.7×10﹣6m
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：0.000 007 7＝7.7×10﹣6m．
故選：D．
6．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，則BD的長為（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC＝DE＝4，然后計算BC﹣CD即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故選：B．
7．（3分）如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝（　?。?br />
A．50° B．100° C．120° D．130°
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCA＝∠A，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故選：B．
8．（3分）如果x2+（m﹣2）x+9是個完全平方式，那么m的值是（　?。?br /> A．8 B．﹣4 C．±8 D．8或﹣4
【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．
【解答】解：∵關于x的二次三項式x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，
∴x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2，
而（x±3）2＝x2±6x+9，
∴m﹣2＝±6，
∴m＝8或﹣4．
故選：D．
9．（3分）如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對稱軸，D為AC的中點，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．15° C．20° D．35°
【分析】由于點C關于直線MN的對稱點是B，所以當B、P、D三點在同一直線上時，PC+PD的值最小
【解答】解：連接PB．

由題意知，∵B、C關于直線MN對稱，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝PB+PD，
當B、P、D三點位于同一直線時，PC+PD取最小值，
連接BD交MN于P，
∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCD＝∠PAD＝30°
故選：A．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，連接AD，E在BC的延長線上，連接AE，∠E＝2∠CAD，下列結(jié)論：
①AD⊥BC；
②∠E＝∠BAC；
③CE＝2CD；
④AE＝BE．
其中正確的個數(shù)是（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】①根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解；
③無法證明CE＝2CD；
④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：①∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC；
②∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵∠E＝2∠CAD，
∴∠E＝∠BAC；
③無法證明CE＝2CD；
④∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，∠E＝∠BAC，
∴∠B＝∠EAB，
∴AE＝BE．
二、填空題（每小題3分，共21分）
11．（3分）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應該帶第　2　塊．

【分析】本題應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．
【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ?br /> 只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．
故答案為：2．
12．（3分）若有（x﹣3）0＝1成立，則x應滿足條件　x≠3?。?br /> 【分析】根據(jù)0的0次冪沒有意義即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
故答案是：x≠3．
13．（3分）若分式的值為零，則x的值為　1?。?br /> 【分析】分式的值為0，即是分子為0，分母不能為0，據(jù)此可以解答本題．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝0，x+1≠0，
∴x＝1．
故答案為：1．
14．（3分）若正多邊形的每一個內(nèi)角為135°，則這個正多邊形的邊數(shù)是 　8?。?br /> 【分析】先求出每一外角的度數(shù)是45°，然后用多邊形的外角和為360°÷45°進行計算即可得解．
【解答】解：∵所有內(nèi)角都是135°，
∴每一個外角的度數(shù)是180°﹣135°＝45°，
∵多邊形的外角和為360°，
∴360°÷45°＝8，
即這個多邊形是八邊形．
故答案為：8．
15．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，點D在直線BC上，且CD＝AC，連接AD，則∠ADC的度數(shù)為　50°或40°?。?br /> 【分析】分兩種情形分別畫出圖形求解即可．
【解答】解：①當點D在CB的延長線上時，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°．
∵CA＝CD，∠ACB＝80°，
∴∠ADC＝∠CAD＝50°，

②當點D在BC的延長線上時，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°．
∵CA＝CD，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠D+∠CAD，
∴∠ADC＝∠ACB＝40，
∴∠BDA的度數(shù)為50°或40°．
故答案為：50°或40°．

16．（3分）已知關于x的方程無解，則a＝　0或1?。?br /> 【分析】直接解分式方程，再利用分類討論①當a＝0，②當a≠0時求出答案．
【解答】解：
去分母得：
ax﹣1＝1，
則ax＝2，
①當a＝0，此時分式方程無解，
②當a≠0，則x＝＝2，
解得：a＝1，
故當a＝0或1時，關于x的方程無解．
故答案為：0或1．
17．（3分）如圖，長方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝1cm，在直線DA上，將長方形ABCD向右無滑動的滾動下去，（如①為第1次、②為第2次、③為第3次…）則第2022此滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離為　3034　cm．

【分析】找出圖中的規(guī)律，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2（cm），BC＝AD＝1（cm），
第1次滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2＝3（cm），
第2次滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1＝4（cm），
第3次滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1+2＝6（cm），
第4次滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1+2+1＝7（cm），
???
第2022次滾動后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+3×＝3034（cm），
故答案為：3034．
三.解答題（共49分）
18．（6分）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反數(shù)把（b﹣a）轉(zhuǎn)化為（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
19．（5分）解分式方程：＝+
【分析】找出分式方程的最簡公分母，去分母后轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到原分式方程的解．
【解答】解：去分母：4＝3x﹣6+x+2
解得：x＝2，
經(jīng)檢驗當x＝2時，x﹣2＝0，
所以x＝2是原方程的增根，此題無解
20．（8分）（1）計算：4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
（2）先化簡，再求值﹣，其中a＝5．
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可；
（2）先根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進行計算，再根據(jù)分式的減法法則進行計算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2+8x+4﹣4x2+9
＝8x+13；

（2）﹣
＝?﹣
＝﹣
＝
＝，
當a＝5時，原式＝＝﹣．
21．（6分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系之后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（5，1）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）連接OB、OC，直接寫出△OBC的面積．

【分析】（1）分別作出點A、B、C關于y軸對稱的點，然后順次連接，進而得到點C1的坐標；
（2）依據(jù)割補法進行計算，即可得到△OBC的面積．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，點C1的坐標為（﹣5，1）；

（2）△OBC的面積為：3×5﹣×1×3﹣×1×5﹣×2×4＝15﹣1.5﹣2.5﹣4＝7．
22．（6分）如圖，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于O．
（1）如圖1，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，連接BC、AO，請直接寫出圖2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．

【分析】（1）根據(jù)“AAS”證明△ABE≌△ACD，從而得到AB＝AC；
（2）根據(jù)全等三角形的判定方法可得到4對全等三角形．
【解答】（1）證明：在△ABE和△ACD 中
，
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：∵AD＝AE，
∴BD＝CE，
而△ABE≌△ACD，
∴CD＝BE，
∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB（SSS）；
∴∠BCD＝∠EBC，
∴OB＝OC，
∴OD＝OE，
而∠BOD＝∠COE，
∴△DOB≌△EOC（SAS）；
∵AB＝AC，∠ABO＝∠ACO，BO＝CO，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；
∵AD＝AE，OD＝OE，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO（SSS）．

23．（8分）甲、乙兩個工程隊計劃修建一條長15千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊每天比乙工程隊每天多修路0.5千米，乙工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)是甲工程隊單獨完成修路任務所需天數(shù)的1.5倍．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各修路多少千米？
（2）若甲工程隊每天的修路費用為0.5萬元，乙工程隊每天的修路費用為0.4萬元，要使兩個工程隊修路總費用不超過5.2萬元，甲工程隊至少修路多少天？
【分析】（1）可設甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，則可表示出修路所用的時間，可列分式方程，求解即可；
（2）設甲修路a天，則可表示出乙修路的天數(shù)，從而可表示出兩個工程隊修路的總費用，由題意可列不等式，求解即可．
【解答】解：
（1）設甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根據(jù)題意，可列方程：1.5×＝，
解得x＝1.5，
經(jīng)檢驗x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，則乙每天修路1千米；
（2）設甲修路a天，則乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路＝15﹣1.5a（天），
由題意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，
解得a≥8，
答：甲工程隊至少修路8天．
24．（10分）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE．
探索：
（1）連接EC，如圖①，試探索線段BC，CD，CE之間滿足的等量關系，并證明結(jié)論；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝45°，若BD＝7，將邊AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE．連接DE、CE，求線段CE的長．
（3）AD與CE交于點N，BD與CE交于點M，在（2）的條件下，試探究BD與CE的位置關系，并加以證明．


【分析】（1）結(jié)論：BC＝CE+DC．證明△BAD≌△CAE（SAS），可得結(jié)論；
（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝CE，可得結(jié)論；
（3）結(jié)論：BD⊥CE．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：（1）結(jié)論：BC＝CE+DC．
理由：如圖①中，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BC＝BD+DC，
∴BC＝CE+DC；

（2）如圖②中，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BD＝7，
∴CE＝BD＝7．

（3）結(jié)論：BD⊥CE．
如圖2，由（2）得△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠EAD＝90°，
∴∠AEN+∠ANE＝90°，
∵∠ANE＝∠DNM，
∴∠DNM+∠ADB＝∠ANE+∠AEC＝90°，
∴∠NMD＝90°，
∴BD⊥CE．


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