?2020年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學中考數(shù)學二模試卷
一、選擇題（每小題3分，共27分）
1．（3分）已知，則的值為（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a(chǎn)10÷a5＝a5
3．（3分）下列防疫的圖標中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．（3分）若正多邊形的一個外角是36°，則該正多邊形為（　?。?br /> A．正八邊形 B．正九邊形 C．正十邊形 D．正十一邊形
5．（3分）下列命題中，逆命題為真命題的是（　　）
A．實數(shù)a、b，若a＝b，則|a|＝|b|
B．兩直線平行，同位角相等
C．對頂角相等
D．若ac2＞bc2，則a＞b
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
7．（3分）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A，B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角α為30°，則A，B兩地之間的距離為（　?。?br />
A．400米 B．米 C．1600米 D．800米
8．（3分）溫州市為美化城市環(huán)境，計劃種植樹木30萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多0.2萬棵，結(jié)果提前5天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，根據(jù)題意可列方程（　?。?br /> A．＝5 B．
C．＝5 D．
9．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝30，點C在⊙O上，∠A＝24°，則的長為（　?。?br />
A．9π B．10π C．11π D．12π
10．（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球為白球的概率是，則黃球的個數(shù)為（　?。?br /> A．16 B．12 C．8 D．4
11．（3分）下列3個圖形中，陰影部分的面積為1的個數(shù)為（　
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
12．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8．其中正確的結(jié)論有（　?。﹤€

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　 　．
14．（3分）在平面直角坐標系中，點P（m2+1，﹣3）關(guān)于原點對稱點在第　 　象限．
15．（3分）計算﹣的結(jié)果是　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，若∠DCB＝40°，則∠A的度數(shù)為　 　°．

17．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是AB的中點，△BEO的周長是8，則△BCD的周長為　 ?。?br />
18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A的圓心為（3，0），半徑為，若直線l：y＝kx﹣1與⊙A相切，則k的值是　 ?。?br />
三、解答題（本題共8個小題，共66分）
19．（6分）計算﹣3tan30°+（π﹣3.14）0+（）﹣1．
20．（6分）解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．
21．（8分）某校七、八年級各有10名同學參加市級數(shù)學競賽，各參賽選手的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br /> 七年級：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年級：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下統(tǒng)計表
年級
最高分
平均分
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
98
94
a
m
7.6
八年級
98
n
94
93
6.6
根據(jù)以上信息，完成下列問題
（1）填空：a＝　 ?。籱＝　 ??；n＝　 ?。?br /> （2）兩個年級中，　 　年級成績更穩(wěn)定；
（3）七年級兩名最高分選手分別記為：A1，A2，八年級第一、第二名選手分別記為B1，B2，現(xiàn)從這四人中，任意選取兩人參加市級經(jīng)驗交流，請用樹狀圖法或列表法求出這兩人分別來自不同年級的概率．
22．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）請在圖中，畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；
（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請在圖中y軸右側(cè)，畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

23．（9分）隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)（養(yǎng)老機構(gòu)指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等）建設穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位及養(yǎng)老建筑不斷增加．
（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2017年底的2萬個增長到2019年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2017年底到2019年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；
（2）該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心，如果計劃贍養(yǎng)200名老人，建筑投入平均5萬元/人，且計劃贍養(yǎng)的老人每增加5人，建筑投入平均減少1000元/人，那么新建該養(yǎng)老中心需申報的最高建筑投入是多少？
24．（9分）如圖，直線l：y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，C為線段OA的一個動點，以A為圓心，AC長為半徑作⊙A，⊙A交AB于點D，連接OD并延長交⊙A于點E，連接CD．
（1）當AC＝2時，證明：△OBD是等邊三角形；
（2）當△OCD∽△ODA時，求⊙A的半徑r；
（3）當點C在線段OA上運動時，求OD?DE的最大值．

25．（10分）如圖，已知函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與一次函數(shù)y＝mx+5（m＜0）的圖象相交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），過點A作AD⊥x軸于點D，連接AO，△AOD的面積為2．
（1）求k的值及x1＝4時m的值；
（2）記[x]表示為不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.9]＝1，[2]＝2，設t＝OD?DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2t]值．
（3）已知線段AB的垂直平分線經(jīng)過點O，P（x0，y0）是函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上一動點，令z＝my0+9；當x2≤x0≤x1時，不等式n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2總是成立的，求n的取值范圍．

26．（10分）如圖，點A是直線y＝kx（k＞0）上一點，且在第一象限，點B，C分別是x，y正半軸上的點，且滿足∠BAC＝90°．
（1）如圖1，當k＝1時，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，記∠AOB＝α，
①根據(jù)所學，不難得到tanα＝　 　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如圖3，若k＝，連接BC，OA⊥BC，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過O，A，B三點，與直線BC相交于點B，D，連接OD，△OBD的面積為，求拋物線的函數(shù)表達式．


2020年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學中考數(shù)學二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共27分）
1．（3分）已知，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值為，
故選：D．
2．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．2x+3y＝5xy B．（m+2）2＝m2+4
C．（xy2）3＝xy6 D．a(chǎn)10÷a5＝a5
【分析】各項計算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；
B、原式＝m2+4m+4，不符合題意；
C、原式＝x3y6，不符合題意；
D、原式＝a5，符合題意．
故選：D．
3．（3分）下列防疫的圖標中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】直接根據(jù)軸對稱圖形的概念分別解答得出答案．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；
B、不是軸對稱圖形，不合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不合題意．
故選：C．
4．（3分）若正多邊形的一個外角是36°，則該正多邊形為（　?。?br /> A．正八邊形 B．正九邊形 C．正十邊形 D．正十一邊形
【分析】多邊形的外角和等于360°，因為所給多邊形的每個外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．
【解答】解：設所求正多邊形邊數(shù)為n，
則36n＝360，
解得n＝10．
故正多邊形的邊數(shù)是10．
故選：C．
5．（3分）下列命題中，逆命題為真命題的是（　　）
A．實數(shù)a、b，若a＝b，則|a|＝|b|
B．兩直線平行，同位角相等
C．對頂角相等
D．若ac2＞bc2，則a＞b
【分析】寫出各個命題的逆命題，判斷即可．
【解答】解：A、實數(shù)a、b，若a＝b，則|a|＝|b|逆命題是若|a|＝|b|，則a＝±b，是假命題；
B、兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，兩直線平行，是真命題；
C、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，逆命題是假命題；
D、若ac2＞bc2，則a＞b的逆命題是若a＞b，則ac2＞bc2，是假命題；
故選：B．
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】根據(jù)判別式的意義得到△＝42﹣4×4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有兩個相等實數(shù)根，
∴△＝42﹣4×4c＝0，
∴c＝1，
故選：B．
7．（3分）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A，B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角α為30°，則A，B兩地之間的距離為（　?。?br />
A．400米 B．米 C．1600米 D．800米
【分析】根據(jù)題意可得，CA⊥AB，AC＝800，∠B＝30°，進而可求A，B兩地之間的距離．
【解答】解：根據(jù)題意可知：
CA⊥AB，AC＝800，∠B＝30°，
∴AB＝＝800（米）．
答：A，B兩地之間的距離為800米．
故選：D．
8．（3分）溫州市為美化城市環(huán)境，計劃種植樹木30萬棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多0.2萬棵，結(jié)果提前5天完成任務，設原計劃每天植樹x萬棵，根據(jù)題意可列方程（　　）
A．＝5 B．
C．＝5 D．
【分析】根據(jù)“原計劃所用時間﹣實際所用時間＝5天”可列方程．
【解答】解：設原計劃每天植樹x萬棵，根據(jù)題意可列方程＝5，
故選：A．
9．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝30，點C在⊙O上，∠A＝24°，則的長為（　?。?br />
A．9π B．10π C．11π D．12π
【分析】連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OCA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
【解答】解：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝24°，
∴∠AOC＝180°﹣24°×2＝132°，
∴的長＝＝11π，
故選：C．

10．（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球為白球的概率是，則黃球的個數(shù)為（　?。?br /> A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】首先設黃球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意，利用概率公式即可得方程：＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：設黃球的個數(shù)為x個，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝4．
故選：D．
11．（3分）下列3個圖形中，陰影部分的面積為1的個數(shù)為（　
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【分析】①分別求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用三角形的面積公式即可求解；
②把x＝2分別代入兩個函數(shù)解析式求出對應的y，然后利用三角形的面積公式即可求解；
③首先求出拋物線與坐標軸的交點坐標，然后利用三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：①y＝x﹣，
當x＝0，y＝﹣，
當y＝0，x＝，
y＝﹣x+1，
當x＝0，y＝1，
∴S陰影部分＝×（1+）×＝1；
②當x＝2，y＝＝，y＝﹣＝﹣
∴S陰影部分＝×（）×2＝1；
③y＝﹣x2﹣1，
當x＝0，y＝﹣1，
當y＝0，x＝±1，
S陰影部分＝×1×2＝1；
故陰影部分的面積為1的有 ①②③．
故選：A．
12．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（﹣2，﹣9a），下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8．其中正確的結(jié)論有（　?。﹤€

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．
【解答】解：∵拋物線的開口向上，則a＞0，對稱軸在y軸的左側(cè)，則b＞0，交y軸的負半軸，則c＜0，
∴abc＜0，所以①結(jié)論錯誤；
∵拋物線的頂點坐標（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②結(jié)論正確，
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，故③結(jié)論正確，
∵拋物線y＝ax2+4ax﹣5a交x軸于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，正確，故結(jié)論④正確，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，設方程ax2+bx+c＝1的兩根分別為x1，x2，則＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
設方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根分別為x3，x4，則＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以這四個根的和為﹣8，故結(jié)論⑤正確，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣6axy+9ay2＝　a（x﹣3y）2?。?br /> 【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式分解．
【解答】解：原式＝a（x2﹣6xy+9y2）
＝a（x﹣3y）2．
故答案是：a（x﹣3y）2．
14．（3分）在平面直角坐標系中，點P（m2+1，﹣3）關(guān)于原點對稱點在第　二　象限．
【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)結(jié)合每個象限內(nèi)點的坐標特點得出答案．
【解答】解：點P（m2+1，﹣3）關(guān)于原點對稱點為（﹣m2﹣1，3），
∵﹣m2﹣1＜0，
∴（﹣m2﹣1，3）在第二象限．
故答案為：二．
15．（3分）計算﹣的結(jié)果是　?。?br /> 【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案．
【解答】解：﹣＝+＝；
故答案為：．
16．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，若∠DCB＝40°，則∠A的度數(shù)為　50　°．

【分析】根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，
∵BD＝CD＝AB，
∴∠B＝∠DCB＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
故答案為：50．
17．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是AB的中點，△BEO的周長是8，則△BCD的周長為　16　．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BO＝DO＝BD，進而可得OE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出BC＝2OE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，從而可得△BCD的周長＝△BEO的周長×2．
【解答】解：∵?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，
∴O為BD中點，
∵點E是AB的中點，
∴AB＝2BE，BC＝2OE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，
∴CD＝2BE．
∵△BEO的周長為8，
∴OB+OE+BE＝8，
∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，
∴△BCD的周長是16，
故答案為16．
18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A的圓心為（3，0），半徑為，若直線l：y＝kx﹣1與⊙A相切，則k的值是　﹣或2　．

【分析】如圖，直線l：y＝kx﹣1與⊙A相切于點M、N，根據(jù)切線的性質(zhì)得AM⊥BM，AN⊥BN，再求出B點坐標，AB＝，BM＝，則可判斷△ABM為等腰直角三角形，延長AM到M′使MM′＝AM，延長AN到N′使NN′＝AN，則△ABM′和△ABN′都為等腰直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出M′（1，﹣4），N′（﹣1，2），則根據(jù)線段中點坐標公式得到M（2，﹣2），N（1，1），然后把M、N點坐標分別代入y＝kx﹣1求出對應的k的值．
【解答】解：如圖，當x＝0時，y＝kx﹣1＝﹣1，則B（0，﹣1），
直線l：y＝kx﹣1與⊙A相切于點M、N，則AM⊥BM，AN⊥BN，
∵A（3，0），B（0，﹣1），
∴AB＝＝，
∴BM＝＝，
∴△ABM為等腰直角三角形，
延長AM到M′使MM′＝AM，延長AN到N′使NN′＝AN，則△ABM′和△ABN′都為等腰直角三角形，
∴BM′可由BA繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，BN′可由BA繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴M′（1，﹣4），N′（﹣1，2），
∴M（2，﹣2），N（1，1），
把M（2，﹣2）代入y＝kx﹣1得2k﹣1＝﹣2，解得k＝﹣；
把N（1，1）代入y＝kx﹣1得k﹣1＝1，解得k＝2，
∴k的值為﹣或2．
故答案為﹣或2．

三、解答題（本題共8個小題，共66分）
19．（6分）計算﹣3tan30°+（π﹣3.14）0+（）﹣1．
【分析】直接利用負指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣3×+1+2
＝1﹣．
20．（6分）解不等式組，并寫出它的整數(shù)解．
【分析】先分別解兩個不等式，再找出兩個解集的公共部分，得出不等式組的解集，然后根據(jù)這個解集找出整數(shù)解．
【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式組的解集是：﹣1＜x≤2，
∴滿足不等式組的整數(shù)解為0，1，2．
21．（8分）某校七、八年級各有10名同學參加市級數(shù)學競賽，各參賽選手的成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br /> 七年級：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98
八年級：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98
整理得到如下統(tǒng)計表
年級
最高分
平均分
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
七年級
98
94
a
m
7.6
八年級
98
n
94
93
6.6
根據(jù)以上信息，完成下列問題
（1）填空：a＝　94　；m＝　92??；n＝　94?。?br /> （2）兩個年級中，　八　年級成績更穩(wěn)定；
（3）七年級兩名最高分選手分別記為：A1，A2，八年級第一、第二名選手分別記為B1，B2，現(xiàn)從這四人中，任意選取兩人參加市級經(jīng)驗交流，請用樹狀圖法或列表法求出這兩人分別來自不同年級的概率．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解；
（2）根據(jù)方差的意義進行判斷；
（3）畫樹狀圖展示所有12等可能的結(jié)果數(shù)，再找出這兩人分別來自不同年級的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝94；m＝92，
n＝（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94；
（2）七年級和八年級的平均數(shù)相同，但八年級的方差較小，
所以八年級的成績穩(wěn)定；
故答案為94，92，94；八；
（3）列表得：

乙
甲
A1
A2
B1
B2
A1

（A1，A2）
（A1，B1）
（A1，B2）
A2
（A2，A1）

（A2，B1）
（A2，B2）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）

（B1，B2）
B2
（B2，A1）
（B2，A2）
（B2，B1）

共有12種等可能的結(jié)果，這兩人分別來自不同年級的有8種情況，
∴P（這兩人分別來自不同年級的概率）＝＝．
22．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）請在圖中，畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1；
（2）以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的，得到△A2B2C2，請在圖中y軸右側(cè)，畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；
（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點位置，再利用銳角三角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，
由圖形可知，∠A2C2B2＝∠ACB，
過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD＝2，CD＝6，AC＝＝2，
∴sin∠ACB＝＝＝，
即sin∠A2C2B2＝．

23．（9分）隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)（養(yǎng)老機構(gòu)指社會福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等）建設穩(wěn)步推進，擁有的養(yǎng)老床位及養(yǎng)老建筑不斷增加．
（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2017年底的2萬個增長到2019年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2017年底到2019年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；
（2）該市某社區(qū)今年準備新建一養(yǎng)老中心，如果計劃贍養(yǎng)200名老人，建筑投入平均5萬元/人，且計劃贍養(yǎng)的老人每增加5人，建筑投入平均減少1000元/人，那么新建該養(yǎng)老中心需申報的最高建筑投入是多少？
【分析】（1）設該市這兩年（從2017年底到2019年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x，根據(jù)該市2017年底及2019年底擁有的養(yǎng)老床位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設在200人的基礎(chǔ)上增加m人時，建筑總投入為w元，根據(jù)總投入＝人數(shù)×人均投入，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設該市這兩年（從2017年底到2019年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x，
依題意，得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該市這兩年（從2017年底到2019年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為20%．
（2）設在200人的基礎(chǔ)上增加m人時，建筑總投入為w元，
依題意，得：w＝（200+m）（50000﹣200m）＝﹣200（m﹣25）2+10125000，
∵﹣200＜0，
∴當m＝25時，w取得最大值，最大值為10125000．
答：新建該養(yǎng)老中心需申報的最高建筑投入為10125000元．
24．（9分）如圖，直線l：y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，C為線段OA的一個動點，以A為圓心，AC長為半徑作⊙A，⊙A交AB于點D，連接OD并延長交⊙A于點E，連接CD．
（1）當AC＝2時，證明：△OBD是等邊三角形；
（2）當△OCD∽△ODA時，求⊙A的半徑r；
（3）當點C在線段OA上運動時，求OD?DE的最大值．

【分析】（1）先求出點A，點B坐標，由銳角三角函數(shù)可求∠BAO＝30°，可得AB＝2OB＝4，∠ABO＝60°，可得BD＝BO，可得結(jié)論；
（2）如圖1，過點D作DH⊥AO于H，由相似三角形的性質(zhì)可得∠ODC＝∠OAB＝30°，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠DOH＝∠ACD﹣∠ODC＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求DH＝r，AH＝DH＝r，DH＝OH＝r，即可求解；
（3）通過證明△ODG∽△HDE，可得，可得OD?DE＝GD?DH＝（3﹣AD）?2AD＝﹣2（AD﹣）2+，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）∵直線l：y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A（2，0），點B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝4，∠ABO＝60°，
∵AC＝AD＝2，
∴BD＝2＝BO，
且∠ABO＝60°，
∴△BDO是等邊三角形；
（2）如圖1，過點D作DH⊥AO于H，

∵△OCD∽△ODA，
∴∠ODC＝∠OAB＝30°，
∵AC＝AD，∠BAO＝30°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠DOH＝∠ACD﹣∠ODC＝45°，
∵DH⊥AO，∠DAO＝30°，
∴DH＝r，AH＝DH＝r，
∵DH⊥AO，∠DOH＝45°，
∴DH＝OH＝r，
∵AO＝OH+AH＝2，
∴2＝r+r，
∴r＝6﹣2；
（3）如圖2，連接EH，過點O作OG⊥AB于G，

∵OG⊥AB，∠BAO＝30°，
∴OG＝AO＝，AG＝OG＝3，
∴GD＝3﹣AD，
∵DH是直徑，
∴∠DEH＝90°＝∠OGD，
又∵∠ODG＝∠HDE，
∴△ODG∽△HDE，
∴，
∴OD?DE＝GD?DH＝（3﹣AD）?2AD＝﹣2（AD﹣）2+，
∴當AD＝時，OD?DE的最大值為．
25．（10分）如圖，已知函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與一次函數(shù)y＝mx+5（m＜0）的圖象相交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），過點A作AD⊥x軸于點D，連接AO，△AOD的面積為2．
（1）求k的值及x1＝4時m的值；
（2）記[x]表示為不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.9]＝1，[2]＝2，設t＝OD?DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2t]值．
（3）已知線段AB的垂直平分線經(jīng)過點O，P（x0，y0）是函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上一動點，令z＝my0+9；當x2≤x0≤x1時，不等式n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2總是成立的，求n的取值范圍．

【分析】（1）利用點A坐標表示出△AOD的面積，再結(jié)合x1y1＝k可求得k的值，根據(jù)A的橫坐標可得縱坐標，代入一次函數(shù)可得m的值；
（2）先根據(jù)一次函數(shù)與x軸的交點確定OC的長，表示DC的長，從而可以表示t，聯(lián)立方程組，可得：mx12+5x1＝4，再根據(jù)m的取值計算m2?t，最后利用新定義可得結(jié)論；
（3）首先確定m的值，A，B兩點的坐標，把問題轉(zhuǎn)化為解不等式組即可解決問題．
【解答】解：（1）∵點A（x1，y1），
∴OD＝x1，AD＝y(tǒng)1，
∴S△AOD＝OD?AD＝x1y1＝2，
∴k＝x1y1＝4，
∴反比例函數(shù)解析式為：y＝，
當x1＝4時，y1＝1，
∴A（4，1），
將點A坐標代入y＝mx+5中，
得4m+5＝1，
∴m＝﹣1；
（2）∵
∴mx2+5x﹣4＝0，
∵A的橫坐標為x1，
∴mx12+5x1＝4，
當y＝0時，mx+5＝0，
∴x＝﹣，
∵OC＝﹣，OD＝x1，
∴m2?t＝m2?（OD?DC），
＝m2?x1（﹣﹣x1），
＝m（﹣5x1﹣mx12），
＝﹣4m，
∵﹣＜m＜﹣，
∴5＜﹣4m＜6，
∴[m2?t]＝5；

（3）由題意線段AB的垂直平分線經(jīng)過點O，
∴點A，點B關(guān)于直線y＝x對稱，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，可得A（4，1），B（1，4），
∴m＝﹣1，1≤x0≤4，
∴z＝﹣y0+9＝﹣（﹣x0+5）+9＝x0+4，
∵n+1004≤z2﹣3mz+2015+9m＜n﹣2總是成立的，
即n+1004≤﹣（x0+4）2+3（x0+4）+2015﹣9＜n﹣2總是成立的，
即n﹣1010≤﹣（x0﹣2）2+1＜n﹣2016總是成立的，
∵1≤x0≤4，
∴0≤﹣（x0﹣2）2+1≤1，
解不等式：n﹣1010≤0＜n﹣2016，得到2016＜n≤2020，
解不等式：n﹣1010≤1＜n﹣2016，得到2017＜n≤2022，
綜上所述，滿足條件的n的值為：2017＜n≤2020．

26．（10分）如圖，點A是直線y＝kx（k＞0）上一點，且在第一象限，點B，C分別是x，y正半軸上的點，且滿足∠BAC＝90°．
（1）如圖1，當k＝1時，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，記∠AOB＝α，
①根據(jù)所學，不難得到tanα＝　k　，（用含k的式子表示）；
②若k＝，求的值；
（3）如圖3，若k＝，連接BC，OA⊥BC，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過O，A，B三點，與直線BC相交于點B，D，連接OD，△OBD的面積為，求拋物線的函數(shù)表達式．

【分析】（1）證明Rt△ANC≌△Rt△AMB，即可求解；
（2）①根據(jù)（1）知，tanα＝k，即可求解；②證明Rt△ANC∽Rt△AMB，則＝＝tan∠AOB＝k＝；
（3）證明C、O、A、B四點共圓和Rt△CBO△≌Rt△CBA（HL），得到△OAB為等腰三角形，求出點A（，），將點A的坐標代入拋物線表達式得到＝a（）（﹣m），而△OBD的面積＝×OB×yD＝×m×（+2m）＝，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，過點A作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點M、N，

當k＝1時，直線OA的表達式為y＝x，則AM＝AN，
∵∠CAN+∠NAB＝90°，∠NAB+∠BAM＝90°，
∴∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC≌△Rt△AMB，
∴AC＝AB；

（2）①根據(jù)（1）知，tanα＝k，
故答案為k；
②如圖1，過點A作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點M、N，
同理可得：∠CAN＝∠BAM，
∴Rt△ANC∽Rt△AMB，
∴＝＝tan∠AOB＝k＝，
故的值為；

（3）設直線OA交BC于點E，連接AB，過點A作AM⊥x軸于點M，

在Rt△BOC中，∵∠EOB+∠COE＝90°，∠COE+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠EOB＝α，
同理∠ACE＝∠EAB，
∵∠COB＝∠CAB＝90°，
∴C、O、A、B四點共圓，則BC是圓的直徑，
故∠OCB＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝∠OAB＝α，
∴OB＝AB，
∴△ACO為等腰三角形，
∵AB＝OB，BC＝BC，
∴Rt△CBO≌Rt△CBA（HL），
∴CO＝CA，
而OB＝AB，
故BC⊥OA，
∵tanα＝k＝，則sinα＝，cosα＝，
設點B（m，0）（m＞0），
在Rt△BCE中，OE＝OB＝m，則OE＝OBcosα＝，則OA＝2OE＝，
在Rt△AOM中，AM＝OAsinα＝，
同理可得：OM＝，故點A（，），
∵tanα＝k＝＝tan∠AOB，則tan∠EBO＝2，
故設直線BD的表達式為y＝﹣2（x﹣m）①，
設拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝ax（x﹣m）②，
將點A的坐標代入上式得：＝a（）（﹣m）③，
聯(lián)立①②并整理得：ax2+（2﹣am）x﹣2m＝0，
則xBxD＝﹣，即m?xD＝﹣，解得xD＝﹣，
當x＝﹣時，yD＝﹣2（x﹣m）＝+2m，
則△OBD的面積＝×OB×yD＝×m×（+2m）＝④，
聯(lián)立③④并解得，
故拋物線的表達式為y＝x2﹣x．


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