1．（3分）下列各數中，是無理數的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
2．（3分）函數y＝自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≤﹣B．x≥﹣C．x≥D．x≤
3．（3分）華為手機MateX在5G網絡下能達的理論下載速度為603 000 000B/s，3秒鐘內就能下載好1GB的電影，將603 000 000用科學記數法表示為（ ）
A．603×106B．6.03×108C．60.3×107D．0.603×109
4．（3分）下列電視臺標志中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若是關于x、y的方程組的解，則a+b的值為（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（ ）
A．B．2C．4D．2
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步驟作圖：
①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；
②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點E；
③作射線AE；
④以同樣的方法作射線BF，AE交BF于點O，連接OC，則OC為（ ）
A．2B．2C．D．1
8．（3分）已知一次函數y＝k（x﹣1）與反比例函數y＝，那么它們在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝10，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉至BC恰好經過點D，得到矩形AB′C′D′，此時旋轉角為θ，若tanθ＝，則cs∠ADD'為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
11．（3分）單項式3xm+4y3與x2yn﹣1是同類項，則mn＝ ．
12．（3分）某藥品經過兩次降價，每盒零售價由105元降到88元，已知再次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為 ．
13．（3分）在一只不透明的口袋中放入紅球5個，黑球1個，黃球n個．這些球除顏色不同外，其它無任何差別，攪勻后隨機從中摸出一個恰好是黃球的概率為，則放入口袋中的黃球總數n＝ ．
14．（3分）如圖，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，則∠AEF的度數等于 ．
15．（3分）如圖，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1cm的正方形，點A、B、O是格點，則圖中扇形OAB中陰影部分的面積是 ．
16．（3分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣2，4），B（1，1），則方程ax2＝bx+c的解是 ．
三、解答題（本大題共9題，共72分）
17．（6分）計算：．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝．
19．（6分）如圖，一艘漁船位于碼頭M的南偏東45°方向，距離碼頭120海里的B處，漁船從B處沿正北方向航行一段距離后，到達位于碼頭北偏東60°方向的A處．
（1）求漁船從B到A的航行過程中與碼頭M之間的最小距離．
（2）若漁船以20海里/小時的速度從A沿AM方向行駛，求漁船從A到達碼頭M的航行時間．
20．（8分）某校在宣傳“民族團結”活動中，采用四種宣傳形式：A．器樂，B．舞蹈，C．朗誦，D．唱歌．每名學生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學校就宣傳形式對學生進行了抽樣調查，并將調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請結合圖中所給信息，解答下列問題：
（1）本次調查的學生共有 人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校共有1200名學生，請估計選擇“唱歌”的學生有多少人？
（4）七年一班在最喜歡“器樂”的學生中，有甲、乙、丙、丁四位同學表現優(yōu)秀，現從這四位同學中隨機選出兩名同學參加學校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．
21．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB延長線上一點且BE＝AB，連接CE，BD．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）連接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四邊形BECD的面積．
22．（9分）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買A品牌垃圾桶的數量是用3000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍．
（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若該中學決定再次準備用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售價進行調整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，B品牌比第一次購買時售價提高了20%，那么該學校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？
23．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，D為圓上一點，且B，D兩點位于AC異側，連接BD，交AC于E，點F為BD延長線上一點，連接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求證：AF為⊙O的切線；
（2）當點D為EF的中點時，求證：AD2＝AO?AE；
（3）在（2）的條件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的長．
24．（10分）在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標的值與橫坐標的值的平方相等的點稱為“益心”，例如點（﹣1，1），（0，0），（，2），…都是“益心”，顯然，這樣的“益心”有無數個．
（1）求一次函數y＝x+2上的所有“益心”的坐標；
（2）若過點（1，﹣1）的直線上恰好有一個“益心”，請求出符合要求的直線解析式；
（3）若二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”且至少有一個“益心”的橫坐標的值大于2，試求實數a的取值范圍．
25．（10分）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，P，Q為線段AB上的兩個動點（P在Q的右側），且始終滿足∠POQ＝45°．
（1）求證：△AOQ∽△BPO；
（2）記點P的橫坐標為m，Q的縱坐標為n，試判斷：P，Q兩點在移動的過程中，動點M（m，n）是否始終在一個確定的反比例函數上；若是，求出反比例函數的解析式；若不是，也請說明理由；
（3）在（2）的情況下：
①請判斷：以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的形狀，并給出理由；
②若△AOQ與△BPO的面積相等時，記t＝tan∠AOP，當t≤x≤時，拋物線y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的最小值恰好等于以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的面積，求該拋物線二次項系數a的值．
2020-2021學年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學九年級（下）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1．（3分）下列各數中，是無理數的是（ ）
A．3.1415B．C．D．
【分析】根據無理數的定義：無限不循環(huán)小數進行判斷，＝2是有理數；
【解答】解：＝2是有理數，是無理數，
故選：D．
2．（3分）函數y＝自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≤﹣B．x≥﹣C．x≥D．x≤
【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于等于0，可求得自變量x的取值范圍．
【解答】解：根據題意得：2﹣3x≥0，
解得x≤，
故選：D．
3．（3分）華為手機MateX在5G網絡下能達的理論下載速度為603 000 000B/s，3秒鐘內就能下載好1GB的電影，將603 000 000用科學記數法表示為（ ）
A．603×106B．6.03×108C．60.3×107D．0.603×109
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解答】解：將603 000 000用科學記數法表示為6.03×108．
故選：B．
4．（3分）下列電視臺標志中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
5．（3分）若是關于x、y的方程組的解，則a+b的值為（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【分析】把x、y值代入方程組得到關于a和b的方程組，然后①+②即可求解a+b的值．
【解答】解：把代入方程組中，
得到，
①+②，得3a+3b＝9，
所以a+b＝3．
故選：A．
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（ ）
A．B．2C．4D．2
【分析】把A、C的橫縱坐標都乘以2得到D、F的坐標，然后利用兩點間的距離公式計算線段DF的長．
【解答】解：∵以原點為位似中心，在原點的同側畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝＝2．
故選：D．
7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步驟作圖：
①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；
②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點E；
③作射線AE；
④以同樣的方法作射線BF，AE交BF于點O，連接OC，則OC為（ ）
A．2B．2C．D．1
【分析】直接利用勾股定理的逆定理結合三角形內心的性質進而得出答案．
【解答】解：過點O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分別為D，G，
由題意可得：O是△ACB的內心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四邊形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝＝2，
∴CO＝2．
故選：A．
8．（3分）已知一次函數y＝k（x﹣1）與反比例函數y＝，那么它們在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先一次函數y＝k（x﹣1）化為一次函數的一般形式，再對各選項進行逐一分析即可．
【解答】解：一次函數y＝k（x﹣1）可化為y＝kx﹣k的形式，
A、由一次函數的圖象經過一三四象限可知k＞0，由反比例函數的圖象可知k＞0，故此選項符合題意；
B、由一次函數圖象經過二三四象限可知k＜0，﹣k＞0，與函數圖象經過y軸負半軸相矛盾，故本選項不合題意；
C、由一次函數圖象經過二三四象限可知k＜0，﹣k＞0，與函數圖象經過y軸負半軸相矛盾，故本選項不合題意；
D、由一次函數的圖象經過一三四象限可知k＞0，由反比例函數的圖象可知k＜0，故本選項不合題意．
故選：A．
9．（3分）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長AB，“矢”等于半徑長與圓心O到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】如圖，作OH⊥AB于H．利用已知條件以及勾股定理構建方程組求出OA，OH即可解決問題．
【解答】解：如圖，作OH⊥AB于H．
由題意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cs∠OAB＝＝＝，
故選：B．
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝10，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉至BC恰好經過點D，得到矩形AB′C′D′，此時旋轉角為θ，若tanθ＝，則cs∠ADD'為（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點D'作D'E⊥AD于點E，設D'E＝3x，AE＝4x，在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝5x＝10，得x＝2，則D'E＝6，AE＝8，DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DED'中，由勾股定理求得DD'的長，即可解決問題．
【解答】解：過點D'作D'E⊥AD于點E，
∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉至BC恰好經過點D，
∴∠DAD'＝θ，AD＝AD'＝10，
∵tanθ＝，
∴，
設D'E＝3x，AE＝4x，
在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴D'E＝6，AE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DED'中，由勾股定理得：
DD'＝，
∴cs∠ADD'＝，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
11．（3分）單項式3xm+4y3與x2yn﹣1是同類項，則mn＝ 16 ．
【分析】根據同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，可得出m、n的值，再代入所求式子計算即可．
【解答】解：因為單項式3xm+4y3與x2yn﹣1是同類項，
所以m+4＝2，n﹣1＝3，
解得m＝﹣2，n＝4，
所以mn＝（﹣2）4＝16．
故答案為：16．
12．（3分）某藥品經過兩次降價，每盒零售價由105元降到88元，已知再次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為 105（1﹣x）2＝88 ．
【分析】設每次降價的百分率為x，根據該藥品的原價及經過兩次降價后的價格，可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設每次降價的百分率為x，
依題意，得：105（1﹣x）2＝88．
故答案為：105（1﹣x）2＝88．
13．（3分）在一只不透明的口袋中放入紅球5個，黑球1個，黃球n個．這些球除顏色不同外，其它無任何差別，攪勻后隨機從中摸出一個恰好是黃球的概率為，則放入口袋中的黃球總數n＝ 3 ．
【分析】根據概率公式列出關于n的分式方程，解方程即可得．
【解答】解：根據題意可得＝，
解得：n＝3，
經檢驗n＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黃球總數n＝3，
故答案為：3．
14．（3分）如圖，AB∥CD，FG平分∠EFD，交AB于G，∠FGB＝154°，則∠AEF的度數等于 52° ．
【分析】根據平行線的性質可得∠GFD＝26°，∠AEF＝∠EFD，利用角平分線的定義可求解∠EFD的度數，進而可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠AEF＝∠EFD，
∵∠FGB＝154°，
∴∠GFD＝180°﹣154°＝26°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝52°，
∴∠AEF＝52°，
故答案為52°．
15．（3分）如圖，在3×3的方格紙中，每個小方格都是邊長為1cm的正方形，點A、B、O是格點，則圖中扇形OAB中陰影部分的面積是 ﹣ ．
【分析】證明△ACO≌△ODB，根據全等三角形的性質得到∠AOB＝90°，根據勾股定理求出OA、OB，根據扇形面積公式計算，得到答案．
【解答】解∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB＝＝，
∴扇形OAB中陰影部分的面積＝﹣××＝﹣，
故答案為：﹣．
16．（3分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣2，4），B（1，1），則方程ax2＝bx+c的解是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【分析】根據二次函數圖象與一次函數圖象的交點問題得到方程組的解為，，于是易得關于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個交點坐標分別為A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程組的解為，，
即關于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為x1＝﹣2，x2＝1．
所以方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1
故答案為x1＝﹣2，x2＝1．
三、解答題（本大題共9題，共72分）
17．（6分）計算：．
【分析】直接利用零指數冪的性質的性質以及負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數值等知識分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝4+1﹣（﹣1）+2×
＝4+1﹣+1+
＝6．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝．
【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
當x＝﹣1時，原式＝＝．
19．（6分）如圖，一艘漁船位于碼頭M的南偏東45°方向，距離碼頭120海里的B處，漁船從B處沿正北方向航行一段距離后，到達位于碼頭北偏東60°方向的A處．
（1）求漁船從B到A的航行過程中與碼頭M之間的最小距離．
（2）若漁船以20海里/小時的速度從A沿AM方向行駛，求漁船從A到達碼頭M的航行時間．
【分析】（1）作MC⊥AB于C，根據余弦的定義計算；
（2）利用余弦的定義求出AM，計算即可．
【解答】解：（1）作MC⊥AB于C，
則MC＝BM×cs45°＝60海里，
答：漁船從B到A的航行過程中與碼頭M之間的最小距離為60海里；
（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，
40÷20＝2，
答：漁船從A到達碼頭M的航行時間為2小時．
20．（8分）某校在宣傳“民族團結”活動中，采用四種宣傳形式：A．器樂，B．舞蹈，C．朗誦，D．唱歌．每名學生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學校就宣傳形式對學生進行了抽樣調查，并將調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請結合圖中所給信息，解答下列問題：
（1）本次調查的學生共有 100 人；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）該校共有1200名學生，請估計選擇“唱歌”的學生有多少人？
（4）七年一班在最喜歡“器樂”的學生中，有甲、乙、丙、丁四位同學表現優(yōu)秀，現從這四位同學中隨機選出兩名同學參加學校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根據A項目的人數和所占的百分比求出總人數即可；
（2）用總人數減去A、C、D項目的人數，求出B項目的人數，從而補全統(tǒng)計圖；
（3）用該校的總人數乘以選擇“唱歌”的學生所占的百分比即可；
（4）根據題意先畫出樹狀圖，得出所有等情況數和選取的兩人恰好是甲和乙的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次調查的學生共有：30÷30%＝100（人）；
故答案為：100；
（2）喜歡B類項目的人數有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），補圖如下：
（3）估計選擇“唱歌”的學生有：1200×＝480（人）；
（4）根據題意畫樹形圖：
共有12種情況，被選取的兩人恰好是甲和乙有2種情況，
則被選取的兩人恰好是甲和乙的概率是＝．
21．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB延長線上一點且BE＝AB，連接CE，BD．
（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；
（2）連接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四邊形BECD的面積．
【分析】（1）由平行四邊形的性質得到CD＝AB，CD∥AE，由AB＝BE得到CD＝BE，根據平行四邊形的判定即可證得結論；
（2）過D作DH⊥AE于H，根據勾股定理得到BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，可求得BH，再由勾股定理求得DH，根據平行四邊形的面積公式即可求得結果．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四邊形BECD是平行四邊形；
（2）解：過D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四邊形BECD的面積＝BE?DH＝4×＝4．
22．（9分）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某校為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴50元，用4000元購買A品牌垃圾桶的數量是用3000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍．
（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若該中學決定再次準備用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共50個，恰逢百貨商場對兩種品牌垃圾桶的售價進行調整：A品牌按第一次購買時售價的九折出售，B品牌比第一次購買時售價提高了20%，那么該學校此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？
【分析】（1）設購買一個A品牌垃圾桶需x元，則購買一個B品牌垃圾桶需（x+50）元，根據數量＝總價÷單價結合購買A品牌垃圾桶數量是購買B品牌垃圾桶數量的2倍，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設該學校此次購買m個B品牌垃圾桶，則購買（50﹣m）個A品牌垃圾桶，根據總價＝單價×數量結合總費用不超過6000元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．
【解答】解：（1）設購買一個A品牌垃圾桶需x元，則購買一個B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依題意，得：＝2×，
解得：x＝100，
經檢驗，x＝100是原方程的解，且符合題意，
∴x+50＝150．
答：購買一個A品牌垃圾桶需100元，購買一個B品牌垃圾桶需150元．
（2）設該學校此次購買m個B品牌垃圾桶，則購買（50﹣m）個A品牌垃圾桶，
依題意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
解得：m≤16．
因為m是正整數，所以m最大值是16．
答：該學校此次最多可購買16個B品牌垃圾桶．
23．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，D為圓上一點，且B，D兩點位于AC異側，連接BD，交AC于E，點F為BD延長線上一點，連接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求證：AF為⊙O的切線；
（2）當點D為EF的中點時，求證：AD2＝AO?AE；
（3）在（2）的條件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的長．
【分析】（1）欲證明AF是⊙O的切線，只要證明∠FAE＝90°即可．
（2）證明△ADO∽△AED，可得結論．
（3）過點B作BJ⊥EC于J．由題意sin∠BAC＝＝，可以假設BC＝a，AC＝3a，證明∠CBJ＝∠BAC，可得sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，推出CJ＝a，BJ＝＝＝a，再證明∠CEB＝∠CBE，推出CE＝CB＝a，推出EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，由AF∥BJ，推出＝，可得a＝，利用勾股定理求出EF，BE，可得結論．
【解答】（1）證明：連接CD．
∵AC是直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABC，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF為⊙O的切線．
（2）證明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，
∴AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠AED，
∵OA＝OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠AED，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴△ADO∽△AED，
∴＝，
∴AD2＝AO?AE．
（3）解：過點B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝，
∴可以假設BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，
∴CJ＝a，
∴BJ＝＝＝a，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴＝，
∴，
∴a＝，
∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，
∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，
∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．
24．（10分）在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標的值與橫坐標的值的平方相等的點稱為“益心”，例如點（﹣1，1），（0，0），（，2），…都是“益心”，顯然，這樣的“益心”有無數個．
（1）求一次函數y＝x+2上的所有“益心”的坐標；
（2）若過點（1，﹣1）的直線上恰好有一個“益心”，請求出符合要求的直線解析式；
（3）若二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”且至少有一個“益心”的橫坐標的值大于2，試求實數a的取值范圍．
【分析】（1）設一次函數y＝x+2上的“益心”的坐標為（m，m2），由m2＝m+2，即可得一次函數y＝x+2上的“益心”的坐標為（2，4）或（﹣1，1）；
（2）設符合要求的直線解析式為y＝kx+b，由點（1，﹣1）在直線上，可得直線解析式為y＝kx﹣k﹣1，設直線y＝kx﹣k﹣1的“益心”為（x，x2），則x2﹣kx+k+1＝0，由Δ＝0，解得k＝2+2或k＝2﹣2，從而直線解析式為y＝（2+2）x﹣3﹣2或y＝（2﹣2）x﹣3+2；
（3）設二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上的“益心”為（x，x2），則（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0，根據二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”，得a＞且a≠1，設（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0的兩個實數為x1和x2，假設x1和x2都不大于2，可得，解得﹣2≤a＜1，即＜a＜1時，二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上兩個不同的“益心”橫坐標都不大于2，從而可得二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”且至少有一個“益心”的橫坐標的值大于2，則a＞1．
【解答】解：（1）設一次函數y＝x+2上的“益心”的坐標為（m，m2），
∴m2＝m+2，解得m＝2或m＝﹣1，
∴一次函數y＝x+2上的“益心”的坐標為（2，4）或（﹣1，1）；
（2）設符合要求的直線解析式為y＝kx+b，
∵點（1，﹣1）在直線上，
∴﹣1＝k+b，即b＝﹣k﹣1，
∴直線解析式為y＝kx﹣k﹣1，
設直線y＝kx﹣k﹣1的“益心”為（x，x2），則x2＝kx﹣k﹣1，
∴x2﹣kx+k+1＝0，
∵直線上恰好有一個“益心”，
∴x2﹣kx+k+1＝0有兩個相等實數根，即Δ＝0，
∴（﹣k）2﹣4（k+1）＝0，解得k＝2+2或k＝2﹣2，
當k＝2+2時，b＝﹣k﹣1＝﹣3﹣2，直線解析式為y＝（2+2）x﹣3﹣2，
當k＝2﹣2時，b＝﹣k﹣1＝﹣3+2，直線解析式為y＝（2﹣2）x﹣3+2；
（3）設二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上的“益心”為（x，x2），
則x2＝ax2﹣6ax+9a﹣1，即（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0，
∵二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”，
∴（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0有兩個不相等的實數根，即，
解得a＞且a≠1，
設（a﹣1）x2﹣6ax+9a﹣1＝0的兩個實數根為x1和x2，則x1+x2＝，x1?x2＝，
假設x1和x2都不大于2，即x1≤2且x2≤2，則，即，
∴，解得﹣2≤a＜1，
∴＜a＜1時，二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上兩個不同的“益心”橫坐標都不大于2，
∴二次函數y＝ax2﹣6ax+9a﹣1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“益心”且至少有一個“益心”的橫坐標的值大于2，則a＞1．
25．（10分）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，P，Q為線段AB上的兩個動點（P在Q的右側），且始終滿足∠POQ＝45°．
（1）求證：△AOQ∽△BPO；
（2）記點P的橫坐標為m，Q的縱坐標為n，試判斷：P，Q兩點在移動的過程中，動點M（m，n）是否始終在一個確定的反比例函數上；若是，求出反比例函數的解析式；若不是，也請說明理由；
（3）在（2）的情況下：
①請判斷：以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的形狀，并給出理由；
②若△AOQ與△BPO的面積相等時，記t＝tan∠AOP，當t≤x≤時，拋物線y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的最小值恰好等于以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的面積，求該拋物線二次項系數a的值．
【分析】（1）由一次函數解析式可得A（2，0），B（0，2），所以OA＝OB，所以∠OBA＝∠OAB＝45°，再證明∠BPO＝∠QOA，即可證明△AOQ∽△BPO；
（2）點P坐標為（m，2﹣m），點Q坐標為（2﹣n，n），點B坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），由兩點間距離公式可得BP＝＝，AQ＝＝，由（1）中結論△AOQ∽△BPO可得，所以AO?BO＝BP?AQ，即2×2＝×＝4，得mn＝2，即可判斷動點M（m，n）始終在反比例函數上；
（3）①在（2）的情況下，mn＝2，P（m，2﹣m），Q（2﹣n，n），B（0，2），A（2，0），由兩點距離公式可得AP＝，BQ＝，PQ＝，可證明AP2+BQ2＝PQ2，故以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形為直角三角形；
②當△AOQ與△BPO的面積相等時，可得n＝m＝，則以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的面積為S＝＝．由t＝tan∠AOP，可得t＝＝＝，故當t≤x≤時，即≤x≤．拋物線的對稱軸為x＝，則函數圖象在≤x≤ 部分是下降的，因此在x＝ 處取得最小值，由此可建立方程，可解得．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠BPO＝∠POA+∠BAO，∠QOA＝∠POA+∠POQ，
又∠BAO＝∠POQ＝45°，
∴∠BPO＝∠QOA，
∴△AOQ∽△BPO．
（2）動點M（m，n）始終在函數上，理由如下：
∵點P的橫坐標為m，Q的縱坐標為n，點P、Q在直線y＝﹣x+2上，
故點P坐標為（m，2﹣m），點Q坐標為（2﹣n，n），點B坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），
由兩點間距離公式可得BP＝＝，AQ＝＝，
由（1）中結論△AOQ∽△BPO可得，
∴AO?BO＝BP?AQ，
即2×2＝×＝4，
∴mn＝2，
∴動點M（m，n）設在y＝的函數圖象上，則mn＝k＝2，
故動點M（m，n）始終在反比例函數上．
（3）①以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形是直角三角形，理由如下：
∵在（2）的情況下，mn＝2，P（m，2﹣m），Q（2﹣n，n），B（0，2），A（2，0），
∴AP＝＝，
BQ＝＝，
PQ＝＝＝，
∴AP2+BQ2＝PQ2，
故以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形是直角三角形．
②當△AOQ與△BPO的面積相等時，即，
∵OA＝OB＝2，nm＝2，
∴n＝m＝，
∴AP＝BQ＝，
∴以線段AP，BQ，PQ圍成的三角形的面積為S＝＝．
∵t＝tan∠AOP，即t＝＝＝，
∴當t≤x≤時，即≤x≤，
∵拋物線y＝ax2﹣x+2mn（a＜0）的對稱軸為x＝，則函數圖象在≤x≤ 部分是下降的，
因此在x＝ 處取得最小值，
故ymin＝＝，
解得：．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2021/8/16 23:17:55；用戶：節(jié)節(jié)高5；郵箱：5jiejg@xyh.cm；學號：37675298

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