?專題08 : 2021年人教新版八年級（上冊）14.3因式分解 - 期末復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練
一、選擇題（共10小題）
1．下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（　?。?br /> A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x＝x（x+2）
C．m2+m﹣4＝m（m+1）﹣4 D．2x2+2x＝2x2（1+）
2．多項式an﹣a3n+an+2分解因式的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)n（1﹣a3+a2） B．a(chǎn)n（﹣a2n+a2）
C．a(chǎn)n（1﹣a2n+a2） D．a(chǎn)n（﹣a3+an）
3．把多項式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正確的結(jié)果是（　?。?br /> A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）
C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）
4．下列二次三項式中，在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解的是（　?。?br /> A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．x2+4x+4 D．2x2﹣4x+5
5．多項式9x2﹣9因式分解的結(jié)果是（　?。?br /> A．（3x+3）（3x﹣3） B．9（x2﹣1）
C．9x（x﹣1） D．9（x+1）（（x﹣1）
6．將多項式x3﹣16x因式分解，結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．x（x2﹣16） B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）（x﹣4） D．x（x+4）2
7．多項式x2﹣1與多項式x2﹣2x+1的公因式是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
8．如果一個三角形的三邊a、b、c滿足ab+bc＝b2+ac，那么這個三角形一定是（　?。?br /> A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．不等邊三角形 D．直角三角形
9．有下列說法：
①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
②無論k取何實數(shù)，多項式x2﹣ky2總能分解成兩個一次因式積的形式；
③若（t﹣3）3﹣2t＝1，則t可以取的值有3個；
④關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，其中當(dāng)a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程總有一個公共解，則這個公共解是，其中正確的有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．多項式x2+ax+12分解因式為（x+m）（x+n），其中a，m，n為整數(shù)，則a的取值有（　?。?br /> A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
二、填空題（共5小題）
11．分解因式：x2+x﹣2＝　 　．
12．若x+y＝2，x﹣y＝1，則代數(shù)式（x+1）2﹣y2的值為　 ?。?br /> 13．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x4﹣4＝　 ?。?br /> 14．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝　 ?。?br /> 15．24x3﹣12x2+8x的公因式是　 ?。?br /> 三、解答題（共5小題）
16．因式分解a3﹣3a2b﹣a+3b．
17．因式分解：12x4﹣6x3﹣168x2
18．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：﹣x2+4xy﹣2y2．
19．閱讀下列材料，然后解答問題：
問題：分解因式：x3+4x2﹣5．
解答：把x＝1代入多項式x3+4x2﹣5，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，由此確定多項式x3+4x2﹣5中有因式（x﹣1），于是可設(shè)x3+4x2﹣5＝（x﹣1）（x2+mx+n），分別求出m，n的值．再代入x3+4x2﹣5＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多項式x3+4x2﹣5，這種分解因式的方法叫做“試根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）請你用“試根法”分解因式：x3+x2﹣9x﹣9．
20．請看下面的問題：把x4+4分解因式
分析：這個二項式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢
19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲?姬曼抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必須添一項4x2，隨即將此項4x2減去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲?姬曼給出這一解法，就把它叫做“姬曼定理”，請你依照蘇菲?姬曼的做法，將下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．

專題08 : 2021年人教新版八年級（上冊）14.3因式分解 - 期末復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題）
1．下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（　?。?br /> A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x＝x（x+2）
C．m2+m﹣4＝m（m+1）﹣4 D．2x2+2x＝2x2（1+）
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；
B、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故B符合題意；
C、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故C不符合題意；
D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D不符合題意；
故選：B．
2．多項式an﹣a3n+an+2分解因式的結(jié)果是（　?。?br /> A．a(chǎn)n（1﹣a3+a2） B．a(chǎn)n（﹣a2n+a2）
C．a(chǎn)n（1﹣a2n+a2） D．a(chǎn)n（﹣a3+an）
【解答】解：an﹣a3n+an+2＝an（1﹣a2n+a2），
故選：C．
3．把多項式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正確的結(jié)果是（　?。?br /> A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）
C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）
【解答】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3
＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）
＝（x﹣1）2﹣（y+2）2
＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]
＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．
故選：D．
4．下列二次三項式中，在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解的是（　?。?br /> A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3 C．x2+4x+4 D．2x2﹣4x+5
【解答】解：A、6x2+x﹣15＝0時，
b2﹣4ac＝1+4×6×15＝361＞0，
則此二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項錯誤；
B、3y2+7y+3
b2﹣4ac＝49﹣4×3×3＝13＞0，
則此二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項錯誤；
C、x2+4x+4
b2﹣4ac＝16﹣4×4＝0，
則此二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，故此選項錯誤；
D、2x2﹣4x+5
b2﹣4ac＝16﹣4×2×5＝﹣﹣24＜0，
則此二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，故此選項正確．
故選：D．
5．多項式9x2﹣9因式分解的結(jié)果是（　　）
A．（3x+3）（3x﹣3） B．9（x2﹣1）
C．9x（x﹣1） D．9（x+1）（（x﹣1）
【解答】解：9x2﹣9
＝9（x2﹣1）
＝9（x+1）（x﹣1）．
故選：D．
6．將多項式x3﹣16x因式分解，結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．x（x2﹣16） B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）（x﹣4） D．x（x+4）2
【解答】解：x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x﹣4）（x+4）．
故選：C．
7．多項式x2﹣1與多項式x2﹣2x+1的公因式是（　?。?br /> A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴多項式x2﹣1與多項式x2﹣2x+1的公因式是：x﹣1．
故選：A．
8．如果一個三角形的三邊a、b、c滿足ab+bc＝b2+ac，那么這個三角形一定是（　　）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．不等邊三角形 D．直角三角形
【解答】解：∵ab+bc＝b2+ac，
∴ab+bc﹣b2﹣ac＝0，
∴（b﹣c）（a﹣b）＝0，
∴b﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴這個三角形一定是等腰三角形；
故選：B．
9．有下列說法：
①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
②無論k取何實數(shù)，多項式x2﹣ky2總能分解成兩個一次因式積的形式；
③若（t﹣3）3﹣2t＝1，則t可以取的值有3個；
④關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，其中當(dāng)a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程總有一個公共解，則這個公共解是，其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①點不能在直線上，應(yīng)該是過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項不正確；
②當(dāng)k為負(fù)值時，多項式x2﹣ky2不能分解成兩個一次因式積的形式，故本選項不正確；
③當(dāng)t＝4、時，（t﹣3）3﹣2t＝1，故本選項不正確；
④新方程為（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，
∵a每取一個值時，就有一個方程，而這些方程總有一個公共解，
∴當(dāng)a＝1時，y＝﹣1，
當(dāng)a＝﹣2時，x＝3
所以公共解是
綜上正確的說法是1個．
故選：A．
10．多項式x2+ax+12分解因式為（x+m）（x+n），其中a，m，n為整數(shù)，則a的取值有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【解答】解：12＝1×12時，a＝1+12＝13；
12＝﹣1×（﹣12）時，﹣1+（﹣12）＝﹣13；
12＝2×6時，a＝2+6＝8；
12＝﹣2×（﹣6）時，﹣2+（﹣6）＝﹣8；
12＝3×4時，a＝3+4＝7；
12＝﹣3×（﹣4）時，﹣3+（﹣4）＝﹣7；
∴a的取值有6個．
故選：D．
二、填空題（共5小題）
11．分解因式：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）?。?br /> 【解答】解：∵（﹣1）×2＝﹣2，2﹣1＝1，
∴x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．
故答案為：（x﹣1）（x+2）．
12．若x+y＝2，x﹣y＝1，則代數(shù)式（x+1）2﹣y2的值為　6?。?br /> 【解答】解：∵x+y＝2，x﹣y＝1，
∴（x+1）2﹣y2
＝（x+1﹣y）（x+1+y）
＝2×3
＝6．
故答案為：6．
13．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x4﹣4＝?。▁2+2）（x+）（x﹣）?。?br /> 【解答】解：x4﹣4＝（x2+2）（x2﹣2）
＝（x2+2）[x2﹣]
＝（x2+2）（x+）（x﹣）．
故答案為：（x2+2）（x+）（x﹣）．
14．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝?。▁﹣1）2（y﹣1）2?。?br /> 【解答】解：原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1
＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1
＝（x+y）2﹣2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2
＝[（x+y）﹣（xy+1）]2
＝（x+y﹣xy﹣1）2
＝（x﹣1）2（y﹣1）2．
故答案為（x﹣1）2（y﹣1）2．
15．24x3﹣12x2+8x的公因式是　4x?。?br /> 【解答】解：多項式24x3﹣12x2+8x中各項的公因式是4x；
故答案為：4x．
三、解答題（共5小題）
16．因式分解a3﹣3a2b﹣a+3b．
【解答】解：a3﹣3a2b﹣a+3b
＝a2（a﹣3b）﹣（a﹣3b），
＝（a﹣3b）（a2﹣1）
＝（a﹣3b）（a+1）（a﹣1）．
17．因式分解：12x4﹣6x3﹣168x2
【解答】解：12x4﹣6x3﹣168x2
＝6x2（2x2﹣x﹣28）
＝6x2（x﹣4）（2x+7）．
18．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：﹣x2+4xy﹣2y2．
【解答】解：原式＝﹣x2+4xy﹣4y2+4y2﹣2y2
＝﹣（x2﹣4xy+4y2）+（4y2﹣2y2）
＝2y2﹣（x﹣2y）2
＝
＝．
19．閱讀下列材料，然后解答問題：
問題：分解因式：x3+4x2﹣5．
解答：把x＝1代入多項式x3+4x2﹣5，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，由此確定多項式x3+4x2﹣5中有因式（x﹣1），于是可設(shè)x3+4x2﹣5＝（x﹣1）（x2+mx+n），分別求出m，n的值．再代入x3+4x2﹣5＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多項式x3+4x2﹣5，這種分解因式的方法叫做“試根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）請你用“試根法”分解因式：x3+x2﹣9x﹣9．
【解答】解：（1）把x＝1代入多項式x3+4x2﹣5，多項式的值為0，
∴多項式x3+4x2﹣5中有因式（x﹣1），
于是可設(shè)x3+4x2﹣5＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝4，n﹣m＝0，
∴m＝5，n＝5，
（2）把x＝﹣1代入x3+x2﹣9x﹣9，多項式的值為0，
∴多項式x3+x2﹣9x﹣9中有因式（x+1），
于是可設(shè)x3+x2﹣9x﹣9＝（x+1）（x2+mx+n）＝x3+（m+1）x2+（n+m）x﹣n，
∴m+1＝1，n+m＝﹣9，
∴m＝0，n＝﹣9，
∴x3+x2﹣9x﹣9＝（x+1）（x2﹣9）＝（x+1）（x+3）（x﹣3）．
20．請看下面的問題：把x4+4分解因式
分析：這個二項式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢
19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲?姬曼抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必須添一項4x2，隨即將此項4x2減去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲?姬曼給出這一解法，就把它叫做“姬曼定理”，請你依照蘇菲?姬曼的做法，將下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；

（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．


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