同學(xué)們,在初中我們已經(jīng)知道兩點(diǎn)確定一條直線,那么,在平面內(nèi)經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)的直線的方程能否用“公式”寫出來呢?若這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),你有幾種思路寫出上述所求的“公式”呢?我們學(xué)過的直線方程的各種形式,最后能否都?xì)w為一種形式呢?帶著這些問題,讓我們進(jìn)入今天的課題吧!
1.直線的兩點(diǎn)式方程
微判斷(1)直線的兩點(diǎn)式方程適用于求與兩坐標(biāo)軸不垂直的直線方程.(　　)(2)過原點(diǎn)的直線不適用兩點(diǎn)式方程.(　　)答案 (1)√　(2)×
微練習(xí)過點(diǎn)P(3,2)和點(diǎn)Q(4,7)的直線方程為　　　　　.
答案 5x-y-13=0
微思考兩點(diǎn)式表示直線方程的條件是什么?兩點(diǎn)式怎樣變形就能適用于所有過兩點(diǎn)的直線了?
提示 兩點(diǎn)式除了不適用于斜率為0與斜率不存在的直線,其他情況均可表示;只需將 變形為(x-x1)·(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能適用于所有直線了.
2.直線的一般式方程所有的直線方程都可以寫成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是實(shí)常數(shù),而且A與B不同時(shí)為零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般稱為直線的一般式方程.
名師點(diǎn)析(1)直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的方程形式及適用范圍.
(2)直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系
微判斷(1)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.(　　)(2)對于二元一次方程Ax+By+C=0,當(dāng)A=0,B≠0時(shí),方程表示斜率不存在的直線.(　　)(3)當(dāng)A,B同時(shí)為零時(shí),方程Ax+By+C=0也可表示為一條直線.(　　)答案 (1)×　(2)×　(3)×
微練習(xí)(1)在平面直角坐標(biāo)系中,直線x+ y-3=0的傾斜角是(　　)A.30°　　B.60°　　C.150°　　D.120°
(2)已知直線kx-y+1-3k=0,當(dāng)k變化時(shí),直線恒過定點(diǎn)　　　　.?
答案 (3,1)解析 kx-y+1-3k=0可化為y-1=k(x-3),所以直線過定點(diǎn)(3,1).
微思考在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,當(dāng)A=0或B=0時(shí)方程分別表示怎樣的直線?
例1已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,(1)求BC邊所在的直線方程;(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.
解 (1)BC邊過兩點(diǎn)B(5,-4),C(0,-2),
即2x+5y+10=0,故BC邊所在的直線方程為2x+5y+10=0.
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x+11y+8=0.
反思感悟1.當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí),首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件:兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸.若滿足,則考慮用兩點(diǎn)式求方程.2.由于減法的順序性,一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤,在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí),必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系,即x2與y2是同一點(diǎn)坐標(biāo),而x1與y1是另一點(diǎn)坐標(biāo).
變式訓(xùn)練1(1)經(jīng)過點(diǎn)A(2,5),B(-3,6)的直線在x軸上的截距為(　　)A.2B.-3C.-27D.27(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求△ABC三條邊所在直線的方程.
所以三邊AB,AC,BC所在直線的方程分別為x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
例2已知點(diǎn)A(3,0),B(0,4),動點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動,求xy的最大值.
反思感悟?qū)χ本€的截距式方程應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)在方程 =1中,要求a≠0,b≠0,即直線在x軸與y軸上的截距都不為0,因此它不能表示過坐標(biāo)原點(diǎn)或平行于x軸、y軸的直線.(2)當(dāng)題目條件中涉及截距相等或互為相反數(shù)時(shí),若選用截距式來求解,注意截距都為0,即直線過原點(diǎn)這種情況.
變式訓(xùn)練2在x,y軸上的截距分別是-3,4的直線方程是(　　)A.4x+3y-12=0B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0D.4x-3y+1=0
例3根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程,并化為一般式方程.(1)斜率是 ,且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3);(2)斜率為4,在y軸上的截距為-2;(3)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,5),B(2,-1)兩點(diǎn);(4)在x軸,y軸上的截距分別為-3,-1;(5)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),且平行于x軸.
即x+3y+3=0.(5)y-2=0.
反思感悟1.在求直線方程時(shí),設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單,常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程,然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.2.當(dāng)直線方程Ax+By+C=0的系數(shù)A,B,C滿足下列條件時(shí),直線Ax+By+C=0有如下性質(zhì):(1)當(dāng)A≠0,B≠0時(shí),直線與兩條坐標(biāo)軸都相交;(2)當(dāng)A≠0,B=0,C≠0時(shí),直線只與x軸相交,即直線與y軸平行,與x軸垂直;(3)當(dāng)A=0,B≠0,C≠0時(shí),直線只與y軸相交,即直線與x軸平行,與y軸垂直;(4)當(dāng)A=0,B≠0,C=0時(shí),直線與x軸重合;(5)當(dāng)A≠0,B=0,C=0時(shí),直線與y軸重合.
變式訓(xùn)練3(1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程,并化成一般式.①斜率是- ,且經(jīng)過點(diǎn)A(8,-6)的直線方程為　　　　;?②在x軸和y軸上的截距分別是 和-3的直線方程為　　　　;?③經(jīng)過點(diǎn)P1(3,-2),P2(5,-4)的直線方程為　　　　.?(2)直線l:3x-4y+5=0關(guān)于直線x+y=0對稱的直線l'的方程為(　　)A.4x-3y+5=0B.4x-3y-5=0C.3x+4y-5=0D.3x+4y+5=0
答案 (1)①x+2y+4=0　②2x-y-3=0?、踴+y-1=0　(2)A
解析 (2)在直線l'上任取一點(diǎn)(x,y),此點(diǎn)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)(-y,-x)在直線l:3x-4y+5=0上,∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故選A.
例4設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直線l在x軸上的截距為-3,求m的值;(2)已知直線l的斜率為1,求m的值.
得m=-2或m=-1(舍去).∴m=-2.
延伸探究對于本例中的直線l的方程,若直線l與y軸平行,求m的值.
反思感悟1.若方程Ax+By+C=0表示直線,則需滿足A,B不同時(shí)為零.2.令x=0可得在y軸上的截距,令y=0可得在x軸上的截距,若確定直線的斜率存在,可將一般式化為斜截式.3.解分式方程要注意驗(yàn)根.
變式訓(xùn)練4(1)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則實(shí)數(shù)m滿足(　　)
(2)若直線l:ax+y-2=0在x軸和y軸上的截距相等,則a=　　　　.?
答案 (1)C　(2)1
解析 (1)因?yàn)榉匠?2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同時(shí)成立,解得m≠1.(2)由題意知a≠0,當(dāng)x=0時(shí),y=2;
易錯(cuò)點(diǎn)——因忽視截距為0的情況而致錯(cuò)案例求經(jīng)過點(diǎn)P(2,3),并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.
錯(cuò)因分析忘記截距為0的情況,而導(dǎo)致丟解.
正解1(1)當(dāng)截距為0時(shí),直線l過點(diǎn)(0,0),(2,3),
所以直線l的方程為x+y-5=0.綜上可知,直線l的方程為3x-2y=0或x+y-5=0.
正解2由題意知,直線l的斜率存在,且不為0.設(shè)直線方程為y-3=k(x-2),且k≠0.
1.經(jīng)過兩點(diǎn)(5,0),(2,-5)的直線方程為(　　)A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=0
2.直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是(　　)
3.過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,則該直線方程為(　　)A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=0或x-y+1=0
所以直線方程為x-y+1=0.綜上,所求直線方程為2x-y=0或x-y+1=0.故選D.
4.過點(diǎn)(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是　　　　.?
答案 3x+y-6=0
5.設(shè)直線l的方程為2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根據(jù)下列條件分別確定k的值.(1)直線l的斜率為-1;(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.

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2.2.2 直線的方程

版本： 人教B版 (2019)

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