線段的垂直平分線教學目標(一)教學知識點1．經歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．2．能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓練要求1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．2．體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神．3．學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．(三)情感與價值觀要求1．能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲．2．在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．教學重點1．能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論．2．能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．教學難點寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題并證明它．教具準備多媒體演示、直尺、圓規(guī) 教學過程Ⅰ．創(chuàng)設現(xiàn)實情境，引入新課教師用多媒體演示：問題:如圖,A、B、C三個村莊合建一所學校,要求校址P點距離三個村莊都相等.請你幫助確定校址.    [生]校址應建在線段AB的垂直平分線與BC垂直平分線的交點上．[師]同學們認同他的看法嗎？[生]是的[師]認為對的說說你的理由是什么呢？[生]我們在2.2節(jié)時學過軸對稱：知道了圖形的全等的。所以線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“校址P點距離三個村莊都相等”利用此性質就能完成．[師]（邊說邊用折紙的方法再現(xiàn)定理）這位同學分析得很好，我們在剛剛研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們曾經像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別人的，你能用公理或學過的定理來證明這一結論嗎？下面給大家3分鐘的時間自學，自學指導如下：自學指導：自學課本P45----P47頁，小組完成下列問題1.線段是軸對稱圖形嗎？線段垂直平分線的定義是什么？你能用數(shù)學符號語言描述線段垂直平分線的定義嗎？2.線段垂直平分線的性質是什么？在性質的探究（2）中，對于垂直平分線上的任意一點P分了哪兩種情況？你能用幾何證明的方法來說明嗎？3.到線段兩端距離相等的點一定在線段的垂直平分線上嗎？也需要分類探究嗎？請你說明一下。4.如何用尺規(guī)做出已知線段的垂直平分線？明確作圖方法及步驟；在作圖過程中，為什么必須以大于 1/2  AB的長為半徑畫弧呢？Ⅱ．講述新課[第一部分] 線段垂直平分線的定義 [師] 線段垂直平分線的定義：文字語言：垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線符號語言：∵MN⊥AB，垂足為O    且AO=BO ∴直線MN是線段AB的垂直平分線[第二部分] 線段垂直平分線的性質定理 問題一：①要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可線段垂直平分線上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？（強調）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質．（開始讓學生有這樣的數(shù)學思想）②你能根據(jù)定理畫圖并寫出已知和求證嗎？③誰能幫老師分析一下證明思路？[生]（思考回答） [師生共析]已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點．求證：PA＝PB．分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等．證明：（1）當P點在AB上時            ∵MN是線段AB的垂直平分線            ∴P為線段AB的中點            ∴PA=PB       （2）當P點不在AB上時  連接PA，PB∵MN為線段AB的垂直平分線∴∠AOP= ∠BOP=90 o，AO=BO在△AOP與△BOP中         AO=BO        ∠AOP= ∠BOP         OP=OP∴ △AOP ≌ △BOP（SAS）∴ PA=PB[師]既然我們證明了性質定理，那么該定理的符號語言，文字語言，圖形語言是什么呢？引導啟發(fā)學生思考，與學生共同完成。教師板書。【牛刀小試一】1、如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（     ）.A.6cm          B.8cm          C.10cm          D.12cm      2. 如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交 AB，BC于點D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，則∠CAE=              . [第三部分] 線段垂直平分線的判定定理教師用多媒體完整演示證明過程．同時，引導學生寫出符號語言，文字語言，圖形語言，學會分析使用定理。教師板書。【牛刀小試二】   已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平         分線相交于點O，連接OA，OB，OC.   求證：點O在AC的垂直平分線上.  [第四部分] 用尺規(guī)作線段垂直平分線通過自學，學生已經基本掌握了作圖方法。教師多媒體演示：<一>畫線段垂直平分線尺規(guī)畫法    ①分別以點A、B為圓心，大于?AB長為半徑畫弧交于點M、N②過點M、N作直線.
則直線MN就是線段AB的垂直平分線(如圖)<二>想一想
     1、作法中為什么要“大于?AB長為半徑”呢？
     2、為什么這樣作出的直線就是線段AB的垂直平分線呢？問題1：假若以A,B為圓心，      當小于?AB長為半徑畫弧時，則兩弧無交點      當?shù)扔?/span>?AB長為半徑畫弧時，則兩弧只有一個交點而確定垂直平分線需要兩點，故以上均不能作出線段的垂直平分線。問題2、作線段垂直平分線的理論依據(jù)：判定定理---->到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上[師]根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明MN為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流．[生]從作法的第一步可知MA＝MB，NA＝NB．∴M、N都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)．∴MN就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．[師]回扣本節(jié)開始時的問題：問題:如圖,A、B、C三個村莊合建一所學校,要求校址P點距離三個村莊都相等.請你幫助確定校址.      Ⅲ．收獲，分享！Ⅳ．當堂檢測1、如圖，在△ABC中，BC =8，AB 的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE 的周長等于______．2、如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，則△BCD的周長______。3、如下圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在(     )A．在AC、BC兩邊高線的交點處 B．在AC.BC兩邊中線的交點處 C．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處 D．在∠A、∠B兩內角平分線的交點處  Ⅴ．課后作業(yè)P47 練習第1、2、題Ⅵ．板書設計2.4線段的垂直平分線(一)一、線段垂直平分線的定義．符號語言：文字語言：圖形語言：二、線段垂直平分線的性質定理．符號語言：文字語言：圖形語言：作用：三、線段垂直平分線的判定定理．符號語言：文字語言：圖形語言：作用：四、用尺規(guī)作線段的垂直平分線．  

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2.4 線段的垂直平分線

版本： 青島版

年級： 八年級上冊

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