圓周角【知識(shí)與技能】理解圓周角的概念.探索圓周角與同弧所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系，并會(huì)用圓周角定理及推論進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明.【過程與方法】經(jīng)歷探索圓周角定理的過程，初步體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想，滲透解決不確定的探索型問題的思想和方法，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.【情感態(tài)度】通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn).【教學(xué)重點(diǎn)】圓周角定理及其推論的探究與應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】圓周角定理的證明中由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法以及圓周角定理及推論的應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗AB觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物，同學(xué)甲站在圓心O的位置.同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB）和同學(xué)乙的視角相同嗎？［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］【教學(xué)說明】教師出示海洋館圖片，引導(dǎo)學(xué)生思考，引出課題，學(xué)生觀察圖形、分析，初步感知角的特征.二、思考探究，獲取新知1.圓周角的定義探究1 觀察下列各圖，圖（1）中∠APB的頂點(diǎn)P在圓心O的位置，此時(shí)∠APB叫做圓心角，這是我們上節(jié)所學(xué)的內(nèi)容.圖（2）中∠APB的頂點(diǎn)P在⊙O上，角的兩邊都與⊙O相交，這樣的角叫圓周角.請(qǐng)同學(xué)們分析（3）、（4）、（5）、（6）是圓心角還是圓周角.【教學(xué)說明】設(shè)計(jì)這樣的一個(gè)判斷角的問題，是再次強(qiáng)調(diào)圓周角的定義，讓學(xué)生深刻體會(huì)定義中的兩個(gè)條件缺一不可.【歸納結(jié)論】圓周角必須具備兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交.二者缺一不可.2.圓周角定理探究2如圖，（1）指出⊙O中所有的圓心角與圓周角，并指出這些角所對(duì)的是哪一條弧？（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度數(shù)，看看它們之間有什么樣的關(guān)系？（3）改變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)其中有規(guī)律嗎？若有規(guī)律，請(qǐng)用語言敘述.解：（1）圓心角有：∠AOB圓周角有：∠C、∠D，它們所對(duì)的都是（2）∠C=∠D=1/2∠AOB.（3）改變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，這些圓周角的度數(shù)沒有變化，并且圓周角的度數(shù)恰好等于同弧所對(duì)圓心角度數(shù)的一半.【教學(xué)說明】教師利用幾何畫板測量角的大小，移動(dòng)點(diǎn)C，讓學(xué)生觀察當(dāng)C點(diǎn)位置發(fā)生改變過程中，圖中有哪些不變，從而交流總結(jié)，找出規(guī)律，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察圓心與圓周角的位置關(guān)系，為定理分情況證明作鋪墊.為了進(jìn)一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如圖，在⊙O上任取一個(gè)圓周角∠ACB，將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心O和∠ACB的頂點(diǎn)C.由于點(diǎn)C的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內(nèi)部；（3）在圓周角的外部.已知：在⊙O中，所對(duì)的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB，求證：∠ACB=1/2∠AOB.［提示分析：我們可按上面三種圖形、三種情況進(jìn)行證明.］如圖（1），圓心O在∠ACB的邊上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，∴∠B=∠C=1/2∠AOB.圖（2）（3）的證明方法與圖（1）不同，但可以轉(zhuǎn)化成（1）的基本圖形進(jìn)行證明，證明過程請(qǐng)學(xué)生們討論完成.得出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)圓心角的一半.注意：①定理應(yīng)用的條件是“同圓或等圓中”，而且必須是“同弧或等弧”，如下圖（1）.②若將定理中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立了.因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，它們一般不相等（而是互補(bǔ)）.如下圖（2）.【教學(xué)說明】在定理的證明過程中，要使學(xué)生明確，要不要分情況來證明.若要分情況證明，必須要明白按什么標(biāo)準(zhǔn)來分情況，然后針對(duì)各種不同的情況逐個(gè)進(jìn)行證明.在證明過程中，第（1）種情況是特殊情況，是比較容易證明的，經(jīng)過添加直徑這條輔助線將（2）、（3）種情況轉(zhuǎn)化為第（1）種情況，體現(xiàn)由一般到特殊的思想方法。對(duì)于后面要學(xué)生注意的兩個(gè)問題，是為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓周角定理的理解，使學(xué)生能準(zhǔn)確的掌握好圓周角定理。3.圓周角定理的推論議一議（1）特殊的弧——半圓，它所對(duì)的圓周角是多少度呢？（2）如果一條弧所對(duì)的圓周角是90°，那么這條弧所對(duì)的圓心角是多少呢？結(jié)論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.（圓周角定理的推論）【教學(xué)說明】這個(gè)推論是圓中很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角，構(gòu)成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件.同時(shí)這一結(jié)論為在圓中證明直徑提供了重要依據(jù).4.圓內(nèi)接四邊形定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形.⊙O是四邊形ABCD的外接圓.連接OB、OD，由圓周角定理可知：∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=∴∠A與∠C互補(bǔ)，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.由此可知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角∠A與∠C，∠ADC與∠ABC互補(bǔ).若延長BC至E，使得四邊形ABCD有一個(gè)外角∠DCE，則∠DCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE與內(nèi)對(duì)角∠A相等.由此可知圓內(nèi)接四邊形有如下性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.【教學(xué)說明】從圓內(nèi)接四邊形的定義出發(fā)，可知圓內(nèi)接四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是圓周角，再由圓周角定理，把圓周角與相應(yīng)的圓心角聯(lián)系起來，就很容易得出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理.對(duì)于這個(gè)性質(zhì)，學(xué)生要能分清這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，并結(jié)合圖形寫出已知和求證.三、典例精析，獲取新知例1如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D.求BC、AD、BD的長.分析：由直徑AB可知△ACB和△ADB為直角三角形，進(jìn)而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，從而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的長.解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB和△ADB為直角三角形.在Rt△ABC中，BC==8（cm）.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴  .又在Rt△ABD中，AD=BD=/2    AB=5（cm）【教學(xué)說明】利用圓周角定理及其推論，將求線段長的問題轉(zhuǎn)化到解直角三角形的問題上來.例2 如圖.AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度數(shù).分析：這題有兩種解答思路，可用圓周角定理，∠C=（180°+∠AOD）×1/2，也可由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD的兩底角，從而可求出∠C.兩種方法都不難求出∠C=105°.【教學(xué)說明】教師提示，學(xué)生可自主選擇方法，并由學(xué)生板書解答過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)語言能力.四、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖（1）所示，⊙O的直徑AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的長.2.如圖（2）所示，AB是⊙O的直徑，以AO為直徑的⊙C與⊙O的弦AD相交于點(diǎn)E.（1）你認(rèn)為圖中有哪些相等的線段？（2）連接OE、BD.你認(rèn)為OE與BD之間的關(guān)系是怎樣的？3.如圖（3）所示，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點(diǎn)C、D分別在兩圓上，若∠ADB=100°，求∠ACB的度數(shù).【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過習(xí)題鞏固本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)體會(huì)這節(jié)常見題型及常見輔助線的作法.在解題過程中，教師要對(duì)沒有找到方法的學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥.【答案】1. 5cm  2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE  (2)OE=1/2BD且OE∥BD3.40°五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)有哪些？常見的輔助線有哪些？【教學(xué)說明】學(xué)生自主交流小結(jié)，教師加以補(bǔ)充和點(diǎn)評(píng)，營造輕松愉悅的氛圍.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.1”中選取.2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時(shí) 練習(xí)的“課時(shí) 作業(yè)”部分.1.這節(jié)課首先是類比圓心角得出圓周角的概念.在探索圓周角與圓心角關(guān)系過程中，要求學(xué)生學(xué)會(huì)分類討論，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索的精神.其次，本節(jié)課還學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形定義及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，通過例題和習(xí)題訓(xùn)練，可以使學(xué)生在解答問題時(shí)靈活運(yùn)用前面的一些基礎(chǔ)知識(shí)，從中獲取成功的經(jīng)驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)的自信心.2.圓周角定理的證明分了三種情況探討，這里蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想——分類思想，教材中多處閃爍著分類思想的光環(huán):三角形分類、方程的分類等，故教學(xué)過程中要整理相互

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