長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年上學(xué)期期中考試高三理科數(shù)學(xué)試卷 考試時(shí)間：120分鐘        分值：150分第Ⅰ卷  選擇題（60分）一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}，則（?RB）∩A＝（　?。?/span>A．{﹣1，0，5} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，3}2．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則||＝（　　）A． B． C．2 D．3．若向量，，則與的夾角余弦值為（    ）A． B． C． D．4．若，則 （     ）A．或 B． C． D．0或 5．若曲線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (      )A.                            B.C.                            D. 6. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（    ）A．     B．   C．     D．7.函數(shù)的圖像大致為（    ）A． B．C． D．8.設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（    ）A． B．C． D． 9．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，有，則（    ）A． B． C． D．10．已知，，，，是球的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形為梯形，，，，面，則球的體積為（    ）A． B． C． D．11.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，且在上的投影等于，，分別是橢圓和雙曲線的離心率，則的最小值是（    ）A． B．6 C．8 D．12.已知函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（     ）A.            B.             C.           D.   第Ⅱ卷  非選擇題（90分）二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．某社團(tuán)計(jì)劃招入女生人，男生人，若滿足約束條件，則該社團(tuán)今年計(jì)劃招入的學(xué)生人數(shù)最多為      ．14．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是      ．15．設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，若在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_______．16．在△ABC中，內(nèi)角A、，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣asinA，，△ABC的面積記為S，則當(dāng)取最小值時(shí)，ab＝　   　 ． 三．解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17．（12分）如圖，已知在四棱錐S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分別為AF，SA的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDE ∥平面SCF（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 18. （12分） 某學(xué)校為了解班級(jí)衛(wèi)生教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校40個(gè)班級(jí)進(jìn)行了一次突擊班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查（滿分100分，最低分20分）．根據(jù)檢查結(jié)果：得分在，評(píng)定為“優(yōu)”，獎(jiǎng)勵(lì)3面小紅旗；得分在，評(píng)定為“良”，獎(jiǎng)勵(lì)2面小紅旗；得分在，評(píng)定為“中”，獎(jiǎng)勵(lì)1面小紅旗；得分在，評(píng)定為“差”，不獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗．已知統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖如圖：（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的部分頻率分布直方圖，求班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)；（2）學(xué)校用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的班級(jí)中抽取10個(gè)班級(jí)，再?gòu)倪@10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取2個(gè)班級(jí)進(jìn)行抽樣復(fù)核，記抽樣復(fù)核的2個(gè)班級(jí)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)小紅旗面數(shù)和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．   19．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 20.（12分）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(－，)，離心率為，點(diǎn)F1，F2分別為其左、右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若y2＝4x上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)P，Q滿足M，N，F2三點(diǎn)共線，P，Q，F2三點(diǎn)共線，且PQ⊥MN，求四邊形PMQN面積的最小值．  21．（12分）已知函數(shù)，，.(1)求的極值；(2)若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)若函數(shù)恰有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為，直線與圓交于，兩點(diǎn)．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程及弦的長(zhǎng)；（2）動(dòng)點(diǎn)在圓上(不與，重合)，試求的面積的最大值． 23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知，，為正實(shí)數(shù)，且．（1）求證：；（2）求證：．    數(shù)學(xué)試卷(理科)答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案DBCABACADACD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]13．9      14．   15.   (3,5)   16． 三．解答題答案17（1）證明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，又B為AF的中點(diǎn)，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∴CF∥BD，∵BD?平面BDE，CF?平面BDE，∴CF∥平面BDE，∵B，E分別是AF，SA的中點(diǎn)，∴SF∥BE，∵BE?平面BDE，SF?平面BDE，∴SF∥平面BDE，又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．....4’（2）取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)SO，∵△SCD是等腰三角形，O是CD中點(diǎn)，∴SO⊥CD，又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，∴SO⊥平面AFCD，取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)OH，由題設(shè)知四邊形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，以O為原點(diǎn)，OH為x軸，OC為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，....5’則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），....7’設(shè)平面ASC的法向量（x，y，z），則，取y＝1，得（2，1，1），....8’設(shè)平面BSC的法向量（x，y，z），則，取y＝1，得（0，1，1），....9’∴cos，....10’由圖知二面角A﹣SC﹣B的平面角為銳角，∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值為． ........ 12’ 18解：（1）得分，的頻率為；得分，的頻率為；得分，的頻率為；所以得分，的頻率為．.。。。2分設(shè)班級(jí)得分的中位數(shù)為分，于是，解得．。。。。3分所以班級(jí)衛(wèi)生量化打分檢查得分的中位數(shù)為70．。。。。4分（2）由（1）知題意“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的頻率分別為0.3，0.4，0.2，0.1．又班級(jí)總數(shù)為40．于是“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為12，16，8，4．分層抽樣的方法抽取的“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為3，4，2，1．。。。5分由題意可得的所有可能取值為1，2，3，4，5，6。。。。6分，．。。。。9分所以的分布列為123456   ．。。。。11分所以的數(shù)學(xué)期望．12分19.（1）由，得，所以或，.....2’又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，負(fù)值舍去，所以．....4’（2）由，...5’所以①....6’②....7’由①-②得：....8’......10’所以．.......12’20　(1)由題意得＝，得b＝c.∵＋＝1(a>b>0)，∴c＝1，∴a2＝2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1......3’(2)①當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，直線PQ的斜率為0，易得|MN|＝4，|PQ|＝2，S四邊形PMQN＝4....4’②當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，與y2＝4x聯(lián)立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.....5’令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝＋2，x1x2＝1，|MN|＝·＝＋4........6’∵PQ⊥MN，∴直線PQ的方程為y＝－(x－1.)將直線與橢圓聯(lián)立，得(k2＋2)x2－4x＋2－2k2＝0.令P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則x3＋x4＝，x3x4＝，.....7’|PQ|＝·＝.......8’∵四邊形PMQN的面積S＝，.....9’令1＋k2＝t(t>1)，....10’則S＝＝＝4(1＋)>4，.....11’∴S>4，其最小值為4....12’21(1)，令，得.....1’∵，∴的極小值為，無(wú)極大值.....3’(2)∵，由(1)可知等價(jià)于，即.....4’設(shè)，則在為增函數(shù)...∴在恒成立.∴恒成立.....5’設(shè)，∵在上恒成立∴為增函數(shù).∴在上的最小值為.∴，∴的最大值為........6’(3)①當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以的極大值為所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)...7’②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增....8’③當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以的極大值為的極小值為所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).....9’④當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以Ⅰ：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn).....10’Ⅱ：當(dāng)時(shí)，所以存在，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).又所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.......12’ 22．【答案】【解析】（1）由，得，所以，所以圓的直角坐標(biāo)方程為，........1’將直線的參數(shù)方程代入圓，并整理得，解得，，.....2’所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．......3’（2）直線的普通方程為，.......4’圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），...5’可設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，..........6’則點(diǎn)到直線的距離，.......7’當(dāng)時(shí)，取最大值，且的最大值為，.......8’所以，.....9’即的面積的最大值為．........10’23．【解析】（1）∵，，為正實(shí)數(shù)，且，故....2’，....4’當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，即．.....5’（2），...8’當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．.....10’    

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