?專題08　拋物線模型
拋物線秒殺小題常用結論
(1)拋物線定義：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)．如圖(17)
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　圖(17)　　　　　　　　　　　　 　　　　圖(18)
(2)設A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上不同的兩點，P為弦AB的中點，則kAB·y0＝p．
(3)以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在準線上的射影為A1、B1，則有以下結論：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝，|BF|＝；如圖(18)
③＋＝為定值；如圖(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；如圖(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 為直線AB的傾斜角)；如圖(18)
⑥以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；如圖(19)
　　　　　　　　　
　圖(19)　　　　　　　　　　　　 　　　　圖(20)　
⑦以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；如圖(20，21)
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　圖(21)　　　　　　　　　　　　　　　 　　　圖(22)　
⑧以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；如圖(22)
⑨A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線；
⑩已知M(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，點N(a，0)是拋物線的對稱軸上一點，則|MN|min＝
(4)如圖(23)所示，AB是拋物線x2＝2py(p>0)的過焦點的一條弦(焦點弦)，分別過A，B作拋物線的切線，交于點P，連接PF，則有以下結論：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖(23)
①點P的軌跡是一條直線，即拋物線的準線l：y＝－；②兩切線互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④點P的坐標為．
【例題選講】
[例3]　(15)設拋物線C：y2＝3x的焦點為F，點A為C上一點，若|FA|＝3，則直線FA的傾斜角為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或
答案　C　解析　如圖，作AH⊥l于H，則|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，則|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直線FA的傾斜角為，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為．

(16)(2018·全國Ⅲ)已知點M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________．
答案　2　解析　法一：由題意知，拋物線的焦點為(1，0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：設拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以y－y＝4(x1－x2)，則k＝＝．取AB的中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點M在準線x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________．
答案　4　解析　[一般解法]　設AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.設拋物線的準線為l，過A作AC⊥l，垂足為C，過B作BD⊥l，垂足為D，因為|AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[應用結論]法一：設直線AB的傾斜角為α，分別過A，B作準線l的垂線AA′，BB′，垂足分別為A′，B′(圖略)，則|AA′|＝6，|BB′|＝3，過點B作AA′的垂線BC，垂足為C，則|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：設直線AB的傾斜角為α，則|AF|＝，|BF|＝，則有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
(18)(2017·全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則|FN|＝________．
答案　6　解析　如圖，不妨設點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF．

由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵點M為FN的中點，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為(　　)

A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　[一般解法]　如圖，設l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝＝，所以直線AF的方程為y＝(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故選C．

[應用結論]法一　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二　因為＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
(20)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6
答案　B　解析　[一般解法]易知直線l的斜率存在，設為k，則其方程為y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[應用結論]法一　由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝．

法二　因為|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
(21)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　[一般解法]　由已知得焦點坐標為F，因此直線AB的方程為y＝，即4x－4y－3＝0．與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．聯(lián)立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同時原點到直線AB的距離為h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[應用結論]　由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原點到直線AB的距離d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
(22)過點P(2，－1)作拋物線x2＝4y的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點，O為坐標原點，則△PEF與△OAB的面積之比為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　解法1　設過P點的直線方程為y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直線PA，PB的方程分別為y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分別令y＝0，可得E(＋1，0)，F(xiàn)(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直線AB的方程為y＝x＋1，|AB|＝8，又原點O到直線AB的距離d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF與△OAB的面積之比為．故選C．
解法2　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點A，B處的切線方程為x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F(xiàn)，即E，F(xiàn)，因為這兩條切線都過點P(2，－1)，則所以lAB：x＝－1＋y，即lAB過定點(0，1)，則＝＝．
【對點訓練】
23．過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點
N且垂直于l的直線與C的準線相交于點M，若|MN|＝|AB|，則直線l的傾斜角為(　　)
A．15°　　　　　　　　B．30°　　　　　　　　C．45°　　　　　　　　D．60°
24．已知F是拋物線y2＝4x的焦點，過焦點F的直線l交拋物線的準線于點P，點A在拋物線上且|AP|＝
|AF|＝3，則直線l的斜率為(　　)
A．±1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．2
25．已知直線l：y＝kx－k(k∈R)與拋物線C：y2＝4x及其準線分別交于M，N兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，
若2＝，則實數(shù)k等于(　　)
A．±　　　　　　　　B．±1　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．±2
26．已知拋物線M：y2＝4x，過拋物線M的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點(點A在第一象限)，且
交拋物線的準線于點E．若＝2，則直線l的斜率為(　　)
A．3 　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
27．已知直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k
的值為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
28．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則
＋＋＝________．
29．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與y軸交于點D，過點F作直線交拋物線E于A，B
兩點，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，則p的值為________．
30．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30°(O
為坐標原點)時，|PF|＝________.
31．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂
足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長為________．
32．在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，
M，N分別為PQ，PF的中點，直線MN與x軸交于點R，若∠NFR＝60°，則|FR|等于(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
33．已知y2＝4x的準線交x軸于點Q，焦點為F，過Q且斜率大于0的直線交y2＝4x于A，B，兩點∠AFB
＝60°，則|AB|等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．4 　　　　　　　　D．3
34．過拋物線y＝x2的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝________．
35．已知直線l過拋物線C：y2＝3x的焦點F，交C于A，B兩點，交C的準線于點P，若＝，則|AB|
＝(　　)
A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．8
36．(2017·全國Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C
的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
37．已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線AB與拋物線C相交于A，B兩點，若2＋－3＝0，
則弦AB中點到拋物線C的準線的距離為________．
38．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l．若射線y＝2(x－1)(x≤1)與C，l分別交于P，Q兩點，
則＝(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5
39．已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在Γ上且|PK|＝|PF|，則△PKF的
面積為________．
40．拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線l與x軸交于點A，點M在拋物線C上，當＝時，△AMF
的面積為(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2
41．拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點
A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是(　　)
A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8
42．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F ，直線l過焦點F與拋物線C分別交于A，B兩點，且直線l不與
x軸垂直，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P(10，0)，則△AOB的面積為(　　)
A．4　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8
43．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，若|AF|＝3，則△AOB的
面積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
44．已知拋物線y2＝4x，過其焦點F的直線l與拋物線分別交于A，B兩點(A在第一象限內(nèi))，＝3，
過AB的中點且垂直于l的直線與x軸交于點G，則△ABG的面積為(　　)
A．　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
45．已知拋物線x2＝2y的焦點為F，其上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足|AF|－|BF|＝2，則y1＋x－y2－x
＝(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
46．(2018·全國Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，
則·等于(　　)
A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8
47．拋物線C：y2＝4x的焦點為F，動點P在拋物線C上，點A(－1，0)，當取得最小值時，直線AP
的方程為________．
48．已知點P(－1，0)，設不垂直于x軸的直線l與拋物線y2＝2x交于不同的兩點A，B，若x軸是∠APB
的角平分線，則直線l一定過點(　　)
A．　　　　　　B．(1，0)　　　　　　　C．(2，0)　　　　　　　D．(－2，0)
49．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)和動直線l：y＝kx＋b(k，b是參變量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)兩點，平面直角坐標系的原點為O，記直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，則當k變化時，直線l經(jīng)過的定點為________．
50．在直線y＝－2上任取一點Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過的點
的坐標為(　　)
A．(0，1)　　　　　　B．(0，2)　　　　　　C．(2，0)　　　　　　D．(1，0)
51．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝(x－1)與C交于A，B(A在x軸上方)兩點．若＝
m，則m的值為________．
52．設拋物線C：y2＝12x的焦點為F，準線為l，點M在C上，點N在l上，且＝λ(λ>0)，若|MF|
＝4，則λ等于(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3
53．已知拋物線y2＝2px(p＞0)過點A，其準線與x軸交于點B，直線AB與拋物線的另一個交點為
M，若＝λ，則實數(shù)λ為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
54．如圖，過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及其準線從上到下依次交于A、B、
C點，令＝λ1，＝λ2，則當α＝時，λ1＋λ2的值為(　　)

A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．8
55．如圖所示，拋物線y＝x2，AB為過焦點F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點M，設
A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則：①若AB的斜率為1，則|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率為1，則xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上結論正確的個數(shù)是(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4

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