(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標準方程．
(2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p．另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．
1．橢圓的標準方程
【例題選講】
[例1] (1)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)，且橢圓C的長軸長與焦距之和為6，則橢圓C的標準方程為( )
A．eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D 解析 依題意橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，橢圓C的長軸長與焦距之和為6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，則b＝eq \r(3)，所以橢圓C的標準方程為：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故選D．
(2)一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq \r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 A 解析 設(shè)橢圓的標準方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由點P(2，eq \r(3))在橢圓上，知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，則eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).又c2＝a2－b2，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,c2＝a2－b2，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))得a2＝8，b2＝6，故橢圓的方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1．
(3)如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 C 解析 由題意可得c＝5，設(shè)右焦點為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴橢圓C的方程為eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故選C.
(4) (2013·全國Ⅰ)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則橢圓E的方程為( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D 解析 由題意知直線AB的斜率k＝eq \f(0－(－1),3－1)＝eq \f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))①－②整理得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，即k＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(2,－2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴橢圓E的方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
(5)(2019·全國Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B 解析 解法一 由題意設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sinθ＝eq \f(1,a)．在等腰三角形ABF1中，cs2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(2)，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故選B．
解法二 設(shè)橢圓的標準方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq \f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴點A是橢圓的短軸端點，如圖．不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，eq \(AF2,\s\up8(→))＝2eq \(F2B,\s\up8(→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(b,2)))．由點B在橢圓上，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故選B．
(6)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：(0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為__________．
答案 解析 設(shè)B在x軸上的射影為B0，由題意得，，得B0坐標為，即B點橫坐標為．設(shè)直線AB的斜率為k，又直線過點F1(－c，0)，∴直線AB的方程為y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其兩根為和c，由韋達定理得解之，得，∴b2＝1－．∴橢圓方程為．
【對點訓練】
1．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
2．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
3．已知橢圓的中心在原點，離心率e＝eq \f(1,2)，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程
為( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
4．已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為eq \f(\r(3),2)，且橢圓G上一點到兩個焦點的距離之和
為12，則橢圓G的方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1
5．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(2,3)，過F2的直線l交C于A，
B兩點，若△AF1B的周長為12，則橢圓C的標準方程為( )
A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
6．已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的焦點，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|
＝3，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
7．中心為(0，0)，一個焦點為F(0，5eq \r(2))的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為eq \f(1,2)，則該橢圓的
方程是( )
A．eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B．eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D．eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1
8．已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為( )
A． B． C． D．
9．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB
的面積為4eq \r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為______________．
10．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，左、右頂點為M，N，過F2的直線l交C于A，
B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq \r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,3)＋y2＝1
11．已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，點F關(guān)于直線y＝eq \f(1,2)x的對稱點在橢圓C上，則橢
圓C的方程為________________．
12．橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e1，雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e2，其中，a>b>0，eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，直
線l：x－y＋3＝0與橢圓C1相切，則橢圓C1的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
13．若橢圓的焦點在x軸上，過點(1，)作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是( )
A． B． C． D．
14．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過原點O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C
的一個交點為A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
2．拋物線的標準方程
【例題選講】
[例2] (7)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)，則拋物線的標準方程為( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
答案 B 解析 由拋物線y2＝2px(p＞0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)，根據(jù)拋物線的定義可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，∴p＝1，所以拋物線的標準方程為y2＝2x．故選B．
(8)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 C 解析 法一：如圖，分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設(shè)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝a，則由已知得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝2a，由拋物線定義，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BD))＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝|AF|＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))＝3＋3a，∴2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))，即3＋3a＝6，從而得a＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝3a＝3．∴p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FG))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝eq \f(3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x，故選C．

法二：由法一可知∠CBD＝60°，則由|AF|＝eq \f(p,1－cs 60°)＝3，可知p＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)，∴2p＝3，∴拋物線的標準方程為y2＝3x.
(9)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p＞0)，C1與C2相交于A，B兩點，|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，則拋物線C2的方程為____________．
答案 y2＝eq \f(32,5)x 解析 由題意，知圓C1與拋物線C2的一個交點為原點，不妨記為B，設(shè)A(m，n)．因為|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(m2＋n2)＝\f(8\r(5),5)，,m2＋(n－2)2＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(8,5)，,n＝\f(16,5)，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))．將點A的坐標代入拋物線方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)＝2p×eq \f(8,5)，所以p＝eq \f(16,5)，所以拋物線C2的方程為y2＝eq \f(32,5)x．
(10)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的方程為( )
A．y2＝9x B．y2＝8x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 y2＝8x 解析 將雙曲線方程化為標準方程得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))?x＝3a，即點P的橫坐標為3a．而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))?|PF2|＝6－a，又易知F2為拋物線的焦點，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴拋物線的方程為y2＝8x．
【對點訓練】
15．已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩
點，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，則拋物線C的方程為( )
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
16．直線l過拋物線y2＝－2px(p＞0)的焦點，且與該拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的
中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x
17．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2．若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的
漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________．
18．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，
2)，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
19．拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點O是坐標原點，過點O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準線相切，且
該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________．

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