橢圓(雙曲線)＋圓(拋物線)型求范圍的基本思路是借助橢圓、雙曲線、拋物線或圓的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合題設(shè)條件建立目標(biāo)函數(shù)或構(gòu)建不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或解不等式求解．
【例題選講】
[例9] (51)過橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A 解析 由題設(shè)知，直線l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，則圓的半徑r＝eq \f(b2,a)．又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5)．又0＜e＜1，所以0＜e≤eq \f(\r(5),5)．故選A．
(52)已知直線l：y＝kx＋2過橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥eq \f(4\r(5),5)，則橢圓離心率e的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) 解析 依題意，知b＝2，kc＝2．設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2eq \r(4－d2)≥eq \f(4\r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5)．又因?yàn)閐＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4)．于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(c2,b2＋c2)＝eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，又由0＜e＜1，解得0＜e≤eq \f(2\r(5),5)．
(53)若橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
答案 A 解析 由題意可知，橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi)，左、右頂點(diǎn)在圓外，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(b,2)＋c，,b ＜\f(b,2)＋c，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－c)2＞\f(1,4)(a2－c2)，,\r(a2－c2)＜2c，))解得eq \f(\r(5),5)＜e＜eq \f(3,5)．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
66．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓
C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1，2) D．(2，＋∞)
67．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓x2－4x＋y2＋2＝0相交，則雙曲線的離心率的取值范
圍是______．
68．若雙曲線x2－eq \f(y2,b2)＝1 (b>0)的一條漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值
范圍是( )
A．(1，2] B．[2，＋∞) C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
69．已知A(1，2)，B(－1，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(BP,\s\up7(―→))，若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與動(dòng)
點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(1，eq \r(2)) D．(1，eq \r(2) ]
70．已知雙曲線E： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F．若在E的漸近
線上存在點(diǎn)P，使得 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，則E的離心率的取值范圍是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[ QUOTE 324 ，＋∞) D．(2，＋∞)
71．已知圓(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一條切線y＝kx與雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的
離心率的取值范圍是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(1，2) C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
72．已知直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與
圓x2＋y2＝8交于點(diǎn)M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1，eq \r(6)] B．(1，eq \f(\r(6),2)] C．[eq \f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq \r(6)，＋∞)
73．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半
徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________．
74．已知A，B，F(xiàn)分別是橢圓x2＋eq \f(y2,b2)＝1(00，b>0)，若在C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P向
C2所作的兩條切線互相垂直，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是________．
2．橢圓(雙曲線)＋圓(拋物線)求值型
橢圓(雙曲線)＋圓(拋物線)型求值的基本思路是借助橢圓、雙曲線、拋物線或圓的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合題設(shè)條件建立a，b，c的等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為e的方程求解．
【例題選講】
[例10] (54)已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1(mn0，nb>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R＝4r時(shí)，橢圓的離心率為( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,5)
答案 B 解析 橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，|F1F2|＝2c，根據(jù)正弦定理eq \f(|F1F2|,sin∠F1PF2)＝eq \f(2c,sin \f(π,3))＝2R，∴R＝eq \f(2\r(3),3)c，∵R＝4r，∴r＝eq \f(\r(3),6)c，由余弦定理，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，可得|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))，則由三角形面積公式eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|))·r＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋2c))·eq \f(\r(3),6)c＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))·eq \f(\r(3),2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)．
(56)已知雙曲線Γ： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 ＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(x－a)2＋y2＝8與l交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC是等腰直角三角形，且 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線Γ的離心率為( )
A． QUOTE 2133 B． C． D．
答案 D 解析 取雙曲線漸近線為y＝ QUOTE ba x，圓(x－a)2＋y2＝8的圓心為(a，0)，半徑r＝2，由題意知∠ACB＝ QUOTE π2 ，由勾股定理得|AB|＝＝4，又由 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ 得|OA|＝ QUOTE 14 |AB|＝1，在△OAC和△OBC中，由余弦定理得cs∠BOC＝ QUOTE a2+1-82a = QUOTE 52+a2-810a ，解得a2＝13．根據(jù)圓心到直線y＝ QUOTE ba x的距離為2，有 QUOTE abc ＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，解得c＝，故離心率為 QUOTE ca ＝ QUOTE 13313 ＝ QUOTE 133 ．故選D．
(57)已知點(diǎn)A是拋物線x2＝4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \r(2)－1 C．eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(\r(2)－1,2)
答案 B 解析 法一：由拋物線方程知A(0，－1)，過點(diǎn)P作PB垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)B，如圖．由拋物線定義可知|PF|＝|PB|，則|PA|＝m|PF|＝m|PB|，即m＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,sin∠PAB)．若m最大，則sin∠PAB最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切．設(shè)直線PA的方程為y＝kx－1，代入x2＝4y得x2＝4kx－4，即x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，可得P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因?yàn)辄c(diǎn)P在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故選B．
法二：過點(diǎn)P作PB垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)B．設(shè)P(x，y)．因?yàn)锳是拋物線x2＝4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，所以A(0，－1)，F(xiàn)(0，1)，則m＝eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \r(\f((y＋1)2＋x2,(y－1)2＋x2))＝eq \r(\f((y＋1)2＋4y,(y－1)2＋4y))＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1)).當(dāng)y＝0時(shí)，m＝1；當(dāng)y>0時(shí)，m＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1))＝eq \r(1＋\f(4,y＋\f(1,y)＋2))≤eq \r(1＋\f(4,2＋2\r(y·\f(1,y))))＝eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)取等號(hào)．當(dāng)m取得最大值時(shí)，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因?yàn)辄c(diǎn)P在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故選B．
(58)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為P，PF1與雙曲線相交于點(diǎn)Q，且|PQ|＝2|QF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \f(\r(5),2)
答案 A 解析 如圖，連接PF2，QF2．由|PQ|＝2|QF1|，可設(shè)|QF1|＝m，則|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝eq \f(4,3)a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化簡得c2＝5a2，∴雙曲線的離心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5)，故選A．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
76．(2017·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓
與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
77．(2019·全國Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與
圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
78．以雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)M為圓心作圓，該圓與x軸相切于C的一個(gè)焦點(diǎn)，與y軸
交于P，Q兩點(diǎn)．若△MPQ為正三角形，則該雙曲線的離心率等于( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
79．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F．以原點(diǎn)O為圓心的圓與直
線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
80．(2017·全國Ⅰ)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A
與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．
81．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c，0)(c>0)，過點(diǎn)F1作直線與圓x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于點(diǎn)
A，與雙曲線的右支交于點(diǎn)B，若eq \(OB,\s\up7(→))＝2eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OF1,\s\up7(→))，則雙曲線的離心率為( )
A．2 B．eq \f(\r(10),2) C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(\r(5),2)
82．已知雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一點(diǎn)，
PF1與y軸交于點(diǎn)A，△PAF2的內(nèi)切圓與邊AF2的切點(diǎn)為Q．若|AQ|＝eq \r(3)，E的離心率為________．
83．設(shè)F是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，圓x2＋y2＝eq \f(a2,9)與線段PF交于A，B
兩點(diǎn)，若A，B是線段PF的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓C的離心率為( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(5),3) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(17),5)
84．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P是雙曲線C右支上
一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，若直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率為( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．2 D．3
85．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A，B分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)
于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為2eq \r(2)．M，N分別為AF2，BF2的中點(diǎn)，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為( )
A．eq \r(3) B．eq \r(6) C．eq \r(6)＋eq \r(3) D．eq \r(6)－eq \r(2)
86．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)與
雙曲線C1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，C1與C2在第一象限相交于點(diǎn)P，且|F1F2|＝|PF1|，則雙曲線C1的離心率為________．
87．雙曲線：（，）的焦點(diǎn)為、，拋物線：的準(zhǔn)線
與交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過，則橢圓的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．

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