(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)計(jì)算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p．另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．
1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例題選講】
[例1] (1)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)，且橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D 解析 依題意橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，則b＝eq \r(3)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故選D．
(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq \r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 A 解析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由點(diǎn)P(2，eq \r(3))在橢圓上，知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，則eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).又c2＝a2－b2，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,c2＝a2－b2，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))得a2＝8，b2＝6，故橢圓的方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1．
(3)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5，0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 C 解析 由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴橢圓C的方程為eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故選C.
(4) (2013·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的方程為( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D 解析 由題意知直線AB的斜率k＝eq \f(0－(－1),3－1)＝eq \f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))①－②整理得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，即k＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(2,－2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴橢圓E的方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
(5)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B 解析 解法一 由題意設(shè)橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinθ＝eq \f(1,a)．在等腰三角形ABF1中，cs2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(2)，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故選B．
解法二 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq \f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖．不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，eq \(AF2,\s\up8(→))＝2eq \(F2B,\s\up8(→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(b,2)))．由點(diǎn)B在橢圓上，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴橢圓C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故選B．
(6)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：(0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為_(kāi)_________．
答案 解析 設(shè)B在x軸上的射影為B0，由題意得，，得B0坐標(biāo)為，即B點(diǎn)橫坐標(biāo)為．設(shè)直線AB的斜率為k，又直線過(guò)點(diǎn)F1(－c，0)，∴直線AB的方程為y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其兩根為和c，由韋達(dá)定理得解之，得，∴b2＝1－．∴橢圓方程為．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
1．答案 C 解析 依題意，所求橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其
方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故選C．
2．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
2．答案 B 解析 橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，即2a＝6，得a＝3，∵兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，∴2c＝eq \f(1,3)·2a＝2，
得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1．故選B．
3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝eq \f(1,2)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程
為( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
3．答案 A 解析 由題可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，而拋物
線y2＝－4x的焦點(diǎn)為(－1，0)，所以c＝1，又離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．故選A．
4．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq \f(\r(3),2)，且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和
為12，則橢圓G的方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1
4．答案 A 解析 依題意設(shè)橢圓G的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，
∴2a＝12，∴a＝6，∵橢圓的離心率為eq \f(\r(3),2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2)，即 eq \r(1－\f(b2,36))＝eq \f(\r(3),2)，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1，故選A
5．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(2,3)，過(guò)F2的直線l交C于A，
B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
5．答案 D 解析 由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|
＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3．因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，故選D．
6．已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|
＝3，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
6．答案 C 解析 由題意，設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，將A(c，y1)代入橢圓方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，由
此求得yeq \\al(2,1)＝eq \f(b4,a2)，所以|AB|＝3＝eq \f(2b2,a)，又c＝1，a2－b2＝c2，可解得a＝2，b2＝3，所以橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
7．中心為(0，0)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，5eq \r(2))的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq \f(1,2)，則該橢圓的
方程是( )
A．eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B．eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D．eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1
7．答案 C 解析 c＝5eq \r(2)，設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2－50)＋eq \f(y2,a2)＝1，聯(lián)立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2－50)＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x－2，))消去y，整理得(10a2
－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝eq \f(12（a2－50）,10a2－450)＝1，解得a2＝75，所以橢圓方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1．
8．已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為( )
A． B． C． D．
8．答案 D 解析 雙曲線x2－y2＝1的漸近線為y＝±x，與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的
四邊形面積為16，可得四邊形為正方形，其邊長(zhǎng)為4，雙曲線的漸近線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為(2，2)，所以有，又因?yàn)?，a2＝b2＋c2，聯(lián)立解方程組得a2＝20，b2＝5，故選D項(xiàng)．
9．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB
的面積為4eq \r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為_(kāi)_____________．
9．答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 解析 ∵△F2AB是面積為4eq \r(3)的等邊三角形，∴AB⊥x軸，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
－c，代入橢圓方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝eq \f(b2,a)．又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，∴eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),3)×2c．①．又S△F2AB＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝4eq \r(3)，②．a(chǎn)2＝b2＋c2，③．由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，∴橢圓C的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1．
10．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)為M，N，過(guò)F2的直線l交C于A，
B兩點(diǎn)(異于M，N)，△AF1B的周長(zhǎng)為4eq \r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,3)＋y2＝1
10．答案 C 解析 由△AF1B的周長(zhǎng)為4eq \r(3)，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，
則Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，0))，N(eq \r(3)，0)．設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)(x0≠±eq \r(3))，由直線AM與AN的斜率之積為－eq \f(2,3)，可得eq \f(y0,x0＋\r(3))·eq \f(y0,x0－\r(3))＝－eq \f(2,3)，即yeq \\al(2,0)＝－eq \f(2,3)(xeq \\al(2,0)－3)，①．又eq \f(x\\al(2,0),3)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),3)))，②．由①②解得b2＝2．所以C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．
11．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，點(diǎn)F關(guān)于直線y＝eq \f(1,2)x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢
圓C的方程為_(kāi)_______________．
11．答案 eq \f(5x2,9)＋eq \f(5y2,4)＝1 解析 設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意可知c＝1，即a2－b2＝1①，設(shè)點(diǎn)
F(1，0)關(guān)于直線y＝eq \f(1,2)x的對(duì)稱點(diǎn)為(m，n)，可得eq \f(n－0,m－1)＝－2②．又因?yàn)辄c(diǎn)F與其對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋1,2)，\f(n,2)))，且中點(diǎn)在直線y＝eq \f(1,2)x上，所以有eq \f(n,2)＝eq \f(1,2)×eq \f(m＋1,2)③，聯(lián)立②③，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))即對(duì)稱點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，代入橢圓方程可得eq \f(9,25a2)＋eq \f(16,25b2)＝1④，聯(lián)立①④，解得a2＝eq \f(9,5)，b2＝eq \f(4,5)，所以橢圓方程為eq \f(5x2,9)＋eq \f(5y2,4)＝1．
12．橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e1，雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e2，其中，a>b>0，eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，直
線l：x－y＋3＝0與橢圓C1相切，則橢圓C1的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
12．答案 C 解析 橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的離心率e1＝eq \f(c1,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))，雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率e2
＝eq \f(c2,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，由eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，得eq \f(\r(1－\f(b2,a2)),\r(1＋\f(b2,a2)))＝eq \f(\r(3),3)，則a＝eq \r(2)b，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2y2－2b2＝0，,x－y＋3＝0，))得3x2＋12x＋18－2b2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，則a2＝6，∴橢圓C1的方程為eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1，故選C．
13．若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)(1，)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是( )
A． B． C． D．
13．答案 A 解析 因?yàn)橐粭l切線為x＝1，且直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以橢圓的右
焦點(diǎn)為(1，0)，即c＝1，設(shè)點(diǎn)P（1，），連結(jié)OP，則OP⊥AB，因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)(1，0)，所以直線AB的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)(0，b)在直線AB上,，所以b＝2，又因?yàn)閏＝1，所以，故橢圓方程是．
14．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C
的一個(gè)交點(diǎn)為A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
14．答案 A 解析 因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，對(duì)其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|
＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，則2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝eq \f(1,2)|AF1||AF2|＝b2＝2．又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O為F1F2的中點(diǎn)，所以|OA|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c，由已知不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，則∠AOF2＝30°，所以A(eq \f(\r(3),2)c，eq \f(1,2)c)，則Seq \s\d6(△AF1F2)＝eq \f(1,2)|F1F2|·eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以橢圓方程為eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1，故選A．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例題選講】
[例2] (7)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
答案 B 解析 由拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)，根據(jù)拋物線的定義可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，∴p＝1，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x．故選B．
(8)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 C 解析 法一：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝a，則由已知得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝2a，由拋物線定義，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BD))＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝|AF|＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))＝3＋3a，∴2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))，即3＋3a＝6，從而得a＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝3a＝3．∴p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FG))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝eq \f(3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x，故選C．

法二：由法一可知∠CBD＝60°，則由|AF|＝eq \f(p,1－cs 60°)＝3，可知p＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)，∴2p＝3，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x.
(9)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p＞0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，則拋物線C2的方程為_(kāi)___________．
答案 y2＝eq \f(32,5)x 解析 由題意，知圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨記為B，設(shè)A(m，n)．因?yàn)閨AB|＝eq \f(8\r(5),5)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(m2＋n2)＝\f(8\r(5),5)，,m2＋(n－2)2＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(8,5)，,n＝\f(16,5)，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)＝2p×eq \f(8,5)，所以p＝eq \f(16,5)，所以拋物線C2的方程為y2＝eq \f(32,5)x．
(10)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的方程為( )
A．y2＝9x B．y2＝8x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 y2＝8x 解析 將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))?x＝3a，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a．而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))?|PF2|＝6－a，又易知F2為拋物線的焦點(diǎn)，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴拋物線的方程為y2＝8x．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
15．已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩
點(diǎn)，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，則拋物線C的方程為( )
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
15．答案 C 解析 由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線方程為x＝my＋eq \f(p,2)，聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，))消
去x得y2－2pmy－p2＝0，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my2＋\f(p,2)))＋y1y2＝m2y1y2＋eq \f(pm,2)(y1＋y2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，得p＝4(舍負(fù))，即拋物線C的方程為y2＝8x．
16．直線l過(guò)拋物線y2＝－2px(p＞0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB的
中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x
16．答案 B 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8．又AB的中
點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，所以－eq \f(x1＋x2,2)＝2，所以x1＋x2＝－4，所以p＝4，所以所求拋物線的方程為y2＝－8x．故選B．
17．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2．若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的
漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_(kāi)_______．
17．答案 x2＝16y 解析 因?yàn)殡p曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，所
以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以漸近線方程為eq \r(3)x±y＝0，因?yàn)閽佄锞€C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，所以F到雙曲線C1的漸近線的距離為eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2))),\r(3＋1))＝2，所以p＝8，所以拋物線C2的方程為x2＝16y．
18．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，
2)，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
18．答案 C 解析 因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2＝2px(p>0)，所以焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))．設(shè)M(x，y)，由拋物線的
性質(zhì)可得|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，所以x＝5－eq \f(p,2)．因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓心橫坐標(biāo)為eq \f(5,2)，又由已知可得圓的半徑也為eq \f(5,2)，故可知該圓與y軸相切于點(diǎn)(0，2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))．將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C．
19．拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且
該圓的面積為36π，則拋物線的方程為_(kāi)_______．
19．答案 y2＝16x 解析 設(shè)滿足題意的圓的圓心為M，根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上，又因?yàn)閳A的
面積為36π，所以圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝6，即xM＝6－eq \f(p,2)，又由題意可知xM＝eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)＝6－eq \f(p,2)，解得p＝8．所以拋物線方程為y2＝16x．

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