(1)雙曲線定義：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．如圖(10)
圖(10) 圖(11) 圖(12)
(2)如圖(11)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(3)如圖(12)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq \f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a；
(4)如圖(13)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝b2eq \f(1,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2．

圖(13) 圖(14)
(5)如圖(14)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝±eq \f(b,a)x的斜率k＝±eq \f(b,a)與離心率e的關(guān)系：e＝eq \r(1＋?\f(b,a)?2)＝eq \r(1＋k2)．
(6)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a；
(7)如圖(15)設(shè)P，A，B是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的三點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．

圖(15) 圖(16)
(8)如圖(16)設(shè)A，B是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上不同的兩點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn)，則kAB·kOP＝eq \f(b2,a2)＝e2－1．
【例題選講】
[例2] (9)過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線l，使l與雙曲線eq \f(x2,4)－y2＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
答案 B 解析 依題意，雙曲線的漸近線方程是y＝±eq \f(1,2)x，點(diǎn)P在直線y＝eq \f(1,2)x上．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝2，此時(shí)直線l與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(2,0)，滿(mǎn)足題意．②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1－2k，,x2－4y2＝4，))消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)．若1－4k2＝0，則k＝±eq \f(1,2)，當(dāng)k＝eq \f(1,2)時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，因此k＝eq \f(1,2)不滿(mǎn)足題意；當(dāng)k＝－eq \f(1,2)時(shí)，方程(*)有唯一實(shí)數(shù)解，因此k＝－eq \f(1,2)滿(mǎn)足題意．若1－4k2≠0，即k≠±eq \f(1,2)，此時(shí)Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)k不存在．綜上所述，滿(mǎn)足題意的直線l共有2條．
(10)(2018·全國(guó)Ⅱ)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \r(3)，則其漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
答案 A 解析 法一：由題意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故選A．
法二：由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故選A．
(11)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO交雙曲線C左支于點(diǎn)M，直線PF2交雙曲線C右支于點(diǎn)N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±2x D．y＝±2eq \r(2)x
答案 A 解析 由題意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴線段PM，F(xiàn)1F2互相平分，四邊形PF1MF2為平行四邊形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cs60°，∴c＝eq \r(3)a，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a．∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \r(2)x．故選A．
(12)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合，點(diǎn)M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上，若|AN|－|BN|＝12，則a＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 A 解析 如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為P．∵F1為MA的中點(diǎn)，F(xiàn)2為MB的中點(diǎn)，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3．故選A．
(13)(2018·全國(guó)Ⅰ)已知雙曲線C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|等于( )
A．eq \f(3,2) B．3 C．2eq \r(3) D．4
答案 B 解析 由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq \f(1,\r(3)) x．設(shè)兩漸近線的夾角為2α，則有tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝eq \r(3)．則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝eq \r(3)·tan 60°＝3．故選B．
(14)(2019·全國(guó)Ⅲ)雙曲線C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為( )
A．eq \f(3\r(2),4) B．eq \f(3\r(2),2) C．2eq \r(2) D．3eq \r(2)
答案 A 解析 雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq \r(6)，0)，一條漸近線的方程為y＝eq \f(\r(2),2)x，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq \f(\r(6),2)，縱坐標(biāo)為eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(\r(3),2)，即△PFO的底邊長(zhǎng)為eq \r(6)，高為eq \f(\r(3),2)，所以它的面積為eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(2),4)．故選A．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
9．過(guò)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(1，0)作x軸的垂線，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)
原點(diǎn)，若△AOB的面積為eq \f(8,3)，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______．
10．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離之比為1∶eq \r(2)，則C的
漸近線方程為( )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±2x D．y＝±eq \r(3)x
11．雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1，l2，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，若F關(guān)于l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在l2
上，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±3x D．y＝±eq \r(2)x
12．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，
且△PF1F2的最小內(nèi)角為eq \f(π,6)，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \f(1,2)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \r(2)x
13．已知F2，F(xiàn)1是雙曲線eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線的上下兩支分別
交于點(diǎn)B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±eq \r(6)x D．y＝±eq \f(\r(6),6)x
14．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2
最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是( )
A．eq \r(2)x±y＝0 B．x±eq \r(2)y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
15．已知雙曲線Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線交Γ于B，C兩點(diǎn)，記∠BAC
＝θ，若Γ的離心率為eq \r(2)，則( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．θ＝eq \f(π,2) C．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D．θ＝eq \f(3π,4)
16．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cs∠F1PF2＝________．
17．如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下端點(diǎn)，B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)
為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是________．
18．過(guò)點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，則|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
19．過(guò)點(diǎn)P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，若P為AB中點(diǎn)，則|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
20．已知雙曲線eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿(mǎn)足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，則△
PF1F2的面積為( )
A．1 B．eq \r(3) C．eq \r(5) D．eq \f(1,2)
21．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上，
若△AF1F2的周長(zhǎng)為10a，則△AF1F2的面積為( )
A．2eq \r(15)a2 B．eq \r(15)a2 C．30a2 D．15a2
22．已知雙曲線x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使
eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，則eq \(F2P,\s\up6(→))·eq \(F2F1,\s\up6(→))的值為( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2

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