橢圓(雙曲線)＋圓(拋物線)型求范圍的基本思路是借助橢圓、雙曲線、拋物線或圓的相關(guān)知識，結(jié)合題設(shè)條件建立目標(biāo)函數(shù)或構(gòu)建不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或解不等式求解．
【例題選講】
[例9] (51)過橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A 解析 由題設(shè)知，直線l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，則圓的半徑r＝eq \f(b2,a)．又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5)．又0＜e＜1，所以0＜e≤eq \f(\r(5),5)．故選A．
(52)已知直線l：y＝kx＋2過橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥eq \f(4\r(5),5)，則橢圓離心率e的取值范圍是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) 解析 依題意，知b＝2，kc＝2．設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2eq \r(4－d2)≥eq \f(4\r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5)．又因為d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4)．于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(c2,b2＋c2)＝eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，又由0＜e＜1，解得0＜e≤eq \f(2\r(5),5)．
(53)若橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四個交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
答案 A 解析 由題意可知，橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi)，左、右頂點(diǎn)在圓外，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(b,2)＋c，,b ＜\f(b,2)＋c，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－c)2＞\f(1,4)(a2－c2)，,\r(a2－c2)＜2c，))解得eq \f(\r(5),5)＜e＜eq \f(3,5)．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
66．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓
C2有兩個不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1，2) D．(2，＋∞)
66．答案 A 解析 由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2
＝0可化為(x－a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝eq \f(1,2)a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c20)的一條漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1至多有一個交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值
范圍是( )
A．(1，2] B．[2，＋∞) C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
68．答案 A 解析 雙曲線x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一條漸近線方程是bx－y＝0，由題意圓x2＋(y－2)2＝1的圓
心(0，2)到bx－y＝0的距離不小于1，即eq \f(2,\r(b2＋1))≥1，則b2≤3，那么離心率e∈(1，2]，故選A．
69．已知A(1，2)，B(－1，2)，動點(diǎn)P滿足eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(BP,\s\up7(―→))，若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與動
點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(1，eq \r(2)) D．(1，eq \r(2) ]
69．答案 A 解析] 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件得動點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即
x2＋(y－2)2＝1，它是以(0，2)為圓心，1為半徑的圓．又雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，因此由題意可得eq \f(2a,\r(a2＋b2))>1，即eq \f(2a,c)>1，則e＝eq \f(c,a)1，故10)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F．若在E的漸近
線上存在點(diǎn)P，使得 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，則E的離心率的取值范圍是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[ QUOTE 324 ，＋∞) D．(2，＋∞)
70．答案 B 解析 由題意得，A(a，0)，F(xiàn)(2a，0)，設(shè)P(x0， QUOTE ba x0)，由 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，得 QUOTE AP→ · QUOTE PF→ =0? QUOTE c2a2x02
－3ax0＋2a2=0，因為在E的漸近線上存在點(diǎn)P，則Δ≥0，即9a2－4×2a2× QUOTE c2a2 ≥0?9a2≥8c2?e2≤ QUOTE 98 ?e≤ QUOTE 324 ，又因為E為雙曲線,則10，b>0)有兩個交點(diǎn)，則雙曲線C的
離心率的取值范圍是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(1，2) C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
71．答案 D 解析 由題意，圓心到直線的距離d＝eq \f(|k|,\r(12＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，所以k＝±eq \r(3)，因為圓(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的
一條切線y＝kx與雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有兩個交點(diǎn)，所以eq \f(b,a)>eq \r(3)，所以1＋eq \f(b2,a2)>4，所以e>2．
72．已知直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與
圓x2＋y2＝8交于點(diǎn)M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A．(1，eq \r(6)] B．(1，eq \f(\r(6),2)] C．[eq \f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq \r(6)，＋∞)
72．答案 C 解析 設(shè)圓心到直線l的距離為d(d＞0)，因為|MN|≥2eq \r(5)，所以2eq \r(8－d2)≥2eq \r(5)，即0＜d≤
eq \r(3)．又d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(2,\r(1＋k2))≤eq \r(3)，解得|k|≥eq \f(\r(3),3)．由直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，得|k|＝eq \f(b,c)．所以eq \f(b,c)≥eq \f(\r(3),3)，即eq \f(b2,c2)≥eq \f(1,3)，所以eq \f(c2－a2,c2)≥eq \f(1,3)，即1－eq \f(1,e2)≥eq \f(1,3)，所以e≥eq \f(\r(6),2)，于是雙曲線的離心率e的取值范圍是[eq \f(\r(6),2)，＋∞)．故選C．
73．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半
徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________．
73．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(\r(2),2))) 解析 因為|PT|＝eq \r(|PF2|2－(b－c)2)(b>c)，而|PF2|的最小值為a－c，所以|PT|的最
小值為eq \r((a－c)2－(b－c)2)．依題意，有eq \r((a－c)2－(b－c)2)≥eq \f(\r(3),2)(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0，①．又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，所以2e2eq \r(1－b2)．又00時，m＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1))＝eq \r(1＋\f(4,y＋\f(1,y)＋2))≤eq \r(1＋\f(4,2＋2\r(y·\f(1,y))))＝eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時取等號．當(dāng)m取得最大值時，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因為點(diǎn)P在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故選B．
(58)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點(diǎn)為P，PF1與雙曲線相交于點(diǎn)Q，且|PQ|＝2|QF1|，則該雙曲線的離心率為( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \f(\r(5),2)
答案 A 解析 如圖，連接PF2，QF2．由|PQ|＝2|QF1|，可設(shè)|QF1|＝m，則|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝eq \f(4,3)a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化簡得c2＝5a2，∴雙曲線的離心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5)，故選A．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
76．(2017·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓
與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
76．答案 A 解析 以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離
d＝eq \f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(6),3)．
77．(2019·全國Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與
圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
77．答案 A 解析 令雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，則c＝eq \r(a2＋b2)．如圖
所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq \f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝a2，∴eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即離心率e＝eq \r(2)．故選A．
78．以雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)M為圓心作圓，該圓與x軸相切于C的一個焦點(diǎn)，與y軸
交于P，Q兩點(diǎn)．若△MPQ為正三角形，則該雙曲線的離心率等于( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
78．答案 B 解析 設(shè)圓M與雙曲線C相切于點(diǎn)F(c，0)，則MF⊥x軸，于是可設(shè)M(c，t)(t＞0)，代入
雙曲線方程中解得t＝eq \f(b2,a)，所以|MF|＝eq \f(b2,a)，所以|PQ|＝2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)))2－c2)．因為△MPQ為等邊三角形，所以c＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a)))2－c2)，化簡，得3b4＝4a2c2，即3(c2－a2)2＝4a2c2，亦即3c4－10c2a2＋3a4＝0，所以3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝eq \f(1,3)或e2＝3，又e＞1，所以e＝eq \r(3)．
79．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F．以原點(diǎn)O為圓心的圓與直
線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
79．答案 A 解析 因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為eq \f(bc,a)，即OC＝eq \f(bc,a)，因為四邊形FAMN
是平行四邊形，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，代入橢圓方程得eq \f(（a＋c）2,4a2)＋eq \f(c2b2,a2b2)＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq \f(3,5)．故選A．
80．(2017·全國Ⅰ)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A
與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．
80．答案 eq \f(2\r(3),3) 解析 雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a，0)，一條漸近線的方程為y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，則圓心A
到此漸近線的距離d＝eq \f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq \f(ab,c)．又因為∠MAN＝60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°＝eq \f(ab,c)，即eq \f(\r(3)b,2)＝eq \f(ab,c)，所以e＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)．
81．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c，0)(c>0)，過點(diǎn)F1作直線與圓x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于點(diǎn)
A，與雙曲線的右支交于點(diǎn)B，若eq \(OB,\s\up7(→))＝2eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OF1,\s\up7(→))，則雙曲線的離心率為( )
A．2 B．eq \f(\r(10),2) C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(\r(5),2)
81．答案 B 解析 設(shè)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F2(c,0)，∵eq \(OB,\s\up8(→))＝2eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OF1,\s\up8(→))，∴2eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))＋
eq \(OF1,\s\up8(→))，∴A是BF1的中點(diǎn)，∵過點(diǎn)F1作直線與圓x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于點(diǎn)A，∴OA⊥BF1，∵O是F1F2的中點(diǎn)，∴OA∥BF2，∴BF1⊥BF2，|BF2|＝a，∴|BF1|2＝|F1F2|2－|BF2|2＝4c2－a2，∵|BF1|＝2a＋|BF2|＝3a，∴9a2＝4c2－a2，∴10a2＝4c2，∴e＝eq \f(\r(10),2)，故選B．
82．已知雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一點(diǎn)，
PF1與y軸交于點(diǎn)A，△PAF2的內(nèi)切圓與邊AF2的切點(diǎn)為Q．若|AQ|＝eq \r(3)，E的離心率為________．
82．答案 eq \f(4\r(3),3) 解析 如圖所示，設(shè)PF1，PF2分別與△PAF2的內(nèi)切圓切于M，N，依題意，有|MA|＝|AQ|，
|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2eq \r(3)，故a＝eq \r(3)，從而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3)．
83．設(shè)F是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，圓x2＋y2＝eq \f(a2,9)與線段PF交于A，B
兩點(diǎn)，若A，B是線段PF的兩個三等分點(diǎn)，則橢圓C的離心率為( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(5),3) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(17),5)
83．答案 D 解析 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，連接OD，OA，設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)1，連
接PF1．設(shè)|OD|＝t，因為點(diǎn)A，B是線段PF的兩個三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)D為線段PF的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF．因為|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)，根據(jù)橢圓的定義，得|PF|＋|PF1|＝2a，∴6eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－t2)＋2t＝2a，解得t＝eq \f(a,5)或t＝0(舍去)．所以|PF|＝eq \f(8a,5)，|PF1|＝eq \f(2a,5)．在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8a,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,5)))2＝(2c)2，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(17,25)，所以橢圓C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(17),5)．
84．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P是雙曲線C右支上
一點(diǎn)，且|PF2|＝|F1F2|，若直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率為( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．2 D．3
84．答案 B 解析 取線段PF1的中點(diǎn)為A，連接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，則AF2⊥PF1，∵直線PF1與圓
x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝eq \f(1,2)·|PF1|＝a＋c，則在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化簡得(3c－5a)(a＋c)＝0，則雙曲線的離心率為eq \f(5,3)．
85．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A，B分別是雙曲線左、右兩支上關(guān)
于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為2eq \r(2)．M，N分別為AF2，BF2的中點(diǎn)，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為( )
A．eq \r(3) B．eq \r(6) C．eq \r(6)＋eq \r(3) D．eq \r(6)－eq \r(2)
85．答案 C 解析 設(shè)雙曲線的焦距為2c，MN與x軸交于點(diǎn)H，如圖可知，OH＝eq \f(MN,2)＝eq \f(AB,4)＝eq \f(c,2)，所以
AB＝2c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)x，,b2x2－a2y2＝a2b2，))可得x＝± eq \r(\f(a2b2,b2－8a2))，所以AB＝6 eq \r(\f(a2b2,b2－8a2))＝2c，所以有18a2c2－9a4＝c4，解得e2＝9＋6eq \r(2)，所以離心率e＝eq \r(6)＋eq \r(3)，故選C．
86．已知雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)與
雙曲線C1的一個焦點(diǎn)重合，C1與C2在第一象限相交于點(diǎn)P，且|F1F2|＝|PF1|，則雙曲線C1的離心率為________．
86．答案 2＋eq \r(3) 解析 由題意可知，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過點(diǎn)P作拋物線C2：y2＝2px
(p>0)準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接PF2.根據(jù)雙曲線的定義和|F1F2|＝|PF1|＝2c，可知|PF2|＝2c－2a.由拋物線的定義可知|PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a，則x0＝c－2a.由題意可知eq \f(p,2)＝c，又點(diǎn)P在拋物線C2上，所以yeq \\al(2,0)＝2px0＝4c·(c－2a)，在Rt△F1AP中，|F1A|2＝|PF1|2－|PA|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2, 即yeq \\al(2,0)＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a)，化簡可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋eq \r(3).
87．雙曲線：（，）的焦點(diǎn)為、，拋物線：的準(zhǔn)線
與交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過，則橢圓的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．
87．答案 C 解析 ∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
∵雙曲線：（，）的焦點(diǎn)為、，且拋物線的準(zhǔn)線與交于、兩點(diǎn)∴，，∵以為直徑的圓過，∴，即，∵，∴，即，∴∵橢圓的離心率為，∴橢圓的離心率的平方為．故選C．

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