(1)拋物線定義：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)．如圖(17)

圖(17) 圖(18)
(2)設(shè)A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上不同的兩點，P為弦AB的中點，則kAB·y0＝p．
(3)以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在準線上的射影為A1、B1，則有以下結(jié)論：
①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
②若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)；如圖(18)
③eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)為定值；如圖(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin 2 θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；如圖(18)
⑤S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)(其中θ 為直線AB的傾斜角)；如圖(18)
⑥以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；如圖(19)

圖(19) 圖(20)
⑦以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；如圖(20，21)

圖(21) 圖(22)
⑧以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；如圖(22)
⑨A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線；
⑩已知M(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，點N(a，0)是拋物線的對稱軸上一點，則|MN|min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|?a≤p?，,\r(2pa－p2)?a>p?.))
(4)如圖(23)所示，AB是拋物線x2＝2py(p>0)的過焦點的一條弦(焦點弦)，分別過A，B作拋物線的切線，交于點P，連接PF，則有以下結(jié)論：
圖(23)
①點P的軌跡是一條直線，即拋物線的準線l：y＝－eq \f(p,2)；②兩切線互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xA＋xB,2)，－\f(p,2)))．
【例題選講】
[例3] (15)設(shè)拋物線C：y2＝3x的焦點為F，點A為C上一點，若|FA|＝3，則直線FA的傾斜角為( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
答案 C 解析 如圖，作AH⊥l于H，則|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，則|AE|＝3－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，在Rt△AEF中，cs∠EAF＝eq \f(|AE|,|AF|)＝eq \f(1,2)，∴∠EAF＝eq \f(π,3)，即直線FA的傾斜角為eq \f(π,3)，同理點A在x軸下方時，直線FA的傾斜角為eq \f(2π,3)．
(16)(2018·全國Ⅲ)已知點M(－1，1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________．
答案 2 解析 法一：由題意知，拋物線的焦點為(1，0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq \f(4,k)y－4＝0，則y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1與y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：設(shè)拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))所以yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，則k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)．取AB的中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點M在準線x＝－1上，所以|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________．
答案 4 解析 [一般解法] 設(shè)AB的方程為x＝my＋eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.設(shè)拋物線的準線為l，過A作AC⊥l，垂足為C，過B作BD⊥l，垂足為D，因為|AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋eq \f(p,2)＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋eq \f(p,2)＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[應(yīng)用結(jié)論]法一：設(shè)直線AB的傾斜角為α，分別過A，B作準線l的垂線AA′，BB′，垂足分別為A′，B′(圖略)，則|AA′|＝6，|BB′|＝3，過點B作AA′的垂線BC，垂足為C，則|AC|＝3，|BC|＝6eq \r(2)，易知∠BAC＝α，所以sin α＝eq \f(6\r(2),9)＝eq \f(2\r(2),3)，所以|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝9，解得p＝4．
法二：設(shè)直線AB的傾斜角為α，則|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，則有eq \f(p,1－cs α)＝2×eq \f(p,1＋cs α)，解得cs α＝eq \f(1,3)，又|AF|＝eq \f(p,1－cs α)＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，eq \f(2,p)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，∴p＝4．
(18)(2017·全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則|FN|＝________．
答案 6 解析 如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF．
由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵點M為FN的中點，PM∥OF，∴|MP|＝eq \f(1,2)|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為( )
A．5 B．6 C．eq \f(16,3) D．eq \f(20,3)
答案 C 解析 [一般解法] 如圖，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3，2eq \r(3))，又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直線AF的方程為y＝eq \r(3)(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3)．故選C．
[應(yīng)用結(jié)論]法一 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3)．
法二 因為eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3)．
(20)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于( )
A．4 B．eq \f(9,2) C．5 D．6
答案 B 解析 [一般解法]易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2)．
[應(yīng)用結(jié)論]法一 由對稱性不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2)．則sin2θ＝8cs2θ，∴sin2θ＝eq \f(8,9)．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2)．
法二 因為|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2)．
(21)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為( )
A．eq \f(3\r(3),4) B．eq \f(9\r(3),8) C．eq \f(63,32) D．eq \f(9,4)
答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦點坐標為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直線AB的方程為y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0．與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq \r((yA＋yB)2－4yAyB)＝6．因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4)．聯(lián)立方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0，故xA＋xB＝eq \f(21,2)．根據(jù)拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12，同時原點到直線AB的距離為h＝eq \f(|－3|,\r(42＋(－4\r(3))2))＝eq \f(3,8)，因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·h＝eq \f(9,4)．
[應(yīng)用結(jié)論] 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12．原點到直線AB的距離d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4)．
(22)過點P(2，－1)作拋物線x2＝4y的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點，O為坐標原點，則△PEF與△OAB的面積之比為( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,4)
答案 C 解析 解法1 設(shè)過P點的直線方程為y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±eq \r(2)．∴直線PA，PB的方程分別為y＝(1＋eq \r(2))(x－2)－1，y＝(1－eq \r(2))·(x－2)－1，分別令y＝0，可得E(eq \r(2)＋1，0)，F(xiàn)(1－eq \r(2)，0)，即|EF|＝2eq \r(2)．∴S△PEF＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，易求得A(2＋2eq \r(2)，3＋2eq \r(2))，B(2－2eq \r(2)，3－2eq \r(2))，∴直線AB的方程為y＝x＋1，|AB|＝8，又原點O到直線AB的距離d＝eq \f(\r(2),2)，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)．∴△PEF與△OAB的面積之比為eq \f(1,2)．故選C．
解法2 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點A，B處的切線方程為x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y1,x1)，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y2,x2)，0))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)，0))，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)，0))，因為這兩條切線都過點P(2，－1)，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝2(－1＋y1)，,2x2＝2(－1＋y2)，))所以lAB：x＝－1＋y，即lAB過定點(0，1)，則eq \f(S△PEF,SOAB)＝eq \f(\f(1,2)×1×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)－\f(x2,2))),\f(1,2)×1×|x1－x2|)＝eq \f(1,2)．
【對點訓(xùn)練】
23．過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點
N且垂直于l的直線與C的準線相交于點M，若|MN|＝|AB|，則直線l的傾斜角為( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
23．答案 B 解析 分別過A，B，N作拋物線準線的垂線，垂足分別為A′，B′，N′(圖略)，由拋物線的
定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝eq \f(1,2)|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°，故選B．
24．已知F是拋物線y2＝4x的焦點，過焦點F的直線l交拋物線的準線于點P，點A在拋物線上且|AP|＝
|AF|＝3，則直線l的斜率為( )
A．±1 B．eq \r(2) C．±eq \r(2) D．2eq \r(2)
24．答案 C 解析 因為點A在拋物線y2＝4x上，且|AP|＝|AF|＝3，點P在拋物線的準線上，由拋物線
的定義可知，AP⊥準線，設(shè)A(x，y)，則|AP|＝x＋eq \f(p,2)＝x＋1＝3，解得x＝2，所以y2＝8，故A(2，±2eq \r(2))，故P(－1，±2eq \r(2))，又F(1，0)，所以直線l的斜率為kPF＝eq \f(±2\r(2),－2)＝±eq \r(2)．故選C．
25．已知直線l：y＝kx－k(k∈R)與拋物線C：y2＝4x及其準線分別交于M，N兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，
若2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，則實數(shù)k等于( )
A．±eq \f(\r(3),3) B．±1 C．±eq \r(3) D．±2
25．答案 C 解析 拋物線C：y2＝4x的焦點F(1，0)，直線l：y＝kx－k過拋物線的焦點．當k>0時，
如圖所示，
過點M作MM′垂直于準線x＝－1，垂足為M′，由拋物線的定義，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN與直線l的傾斜角相等，由2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，得cs∠M′MN＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(1,2)，則tan∠M′MN＝eq \r(3)，∴直線l的斜率k＝eq \r(3)；當k0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1
＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x,y＝k?x＋2?))，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝eq \f(8－4k2,k2)＝eq \f(8,k2)－4．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x2＋2,x1x2＝4))，得xeq \\al(2,2)＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴eq \f(8,k2)－4＝5，∴k2＝eq \f(8,9)，k＝eq \f(2\r(2),3)．
解法2 設(shè)拋物線C：y2＝8x的準線為l，易知l：x＝－2，直線y＝k(x＋2)恒過定點P(－2，0)，如圖，過A，B分別作AM⊥l于點M，BN⊥l于點N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以點B為線段AP的中點，連接OB，則|OB|＝eq \f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以點B的橫坐標為1，因為k＞0，所以點B的坐標為(1，2eq \r(2))，所以k＝eq \f(2\r(2)－0,1－(－2))＝eq \f(2\r(2),3)．故選D．
28．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝0，則eq \f(1,kAB)
＋eq \f(1,kAC)＋eq \f(1,kBC)＝________．
28．答案 0 解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，由eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＝－eq \(FC,\s\up7(―→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(p,2)，y1))
＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(p,2)，y2))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(p,2)，y3))，y1＋y2＋y3＝0.因為kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2p,y1＋y2)，kAC＝eq \f(y3－y1,x3－x1)＝eq \f(2p,y1＋y3)，kBC＝eq \f(y3－y2,x3－x2)＝eq \f(2p,y2＋y3)，所以eq \f(1,kAB)＋eq \f(1,kAC)＋eq \f(1,kBC)＝eq \f(y1＋y2,2p)＋eq \f(y3＋y1,2p)＋eq \f(y2＋y3,2p)＝eq \f(y1＋y2＋y3,p)＝0．
29．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與y軸交于點D，過點F作直線交拋物線E于A，B
兩點，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，則p的值為________．
29．答案 2 解析 當k不存在時，直線與拋物線不會交于兩點．當k存在時(如圖)，設(shè)直線AB的方程
為y＝kx＋eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))．則有xeq \\al(2,1)＝2py1，xeq \\al(2,2)＝2py2，聯(lián)立直線與拋物線方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py，))整理得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，x1＋x2＝2pk，所以y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2＋\f(p,2)))＝eq \f(p2,4)，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，\f(p,2)－y1))，eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，－\f(p,2)－y1))．又AB⊥AD，所以－x1(－x1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－y1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－y1))＝0，整理得xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝eq \f(p2,4)，即2py1＋yeq \\al(2,1)＝eq \f(p2,4)，解得y1＝eq \f(\r(5)－2,2)p．因為y1y2＝eq \f(p2,4)，所以y2＝eq \f(\r(5)＋2,2)p，又|AF|＝y(tǒng)1＋eq \f(p,2)，|BF|＝y(tǒng)2＋eq \f(p,2)，代入|BF|＝|AF|＋4得，y2＋eq \f(p,2)＝y(tǒng)1＋eq \f(p,2)＋4．解得p＝2．
30．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30°(O
為坐標原點)時，|PF|＝________.
30．答案 eq \f(4,3) 解析 法一：令l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq \f(2\r(3),3)．設(shè)
P(x0，y0)，則x0＝±eq \f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq \f(1,3)，所以|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝eq \f(4,3)．
法二：如圖所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF為頂角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝eq \f(2,cs 30°)＝eq \f(4\r(3),3)，∴|PF|＝eq \f(|AF|,\r(3))＝eq \f(4,3)．
31．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂
足．若直線AF的斜率k＝－eq \r(3)，則線段PF的長為________．
31．答案 6 解析 由拋物線方程為y2＝6x，所以焦點坐標Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，準線方程為x＝－eq \f(3,2)，因為直線AF
的斜率為－eq \r(3)，所以直線AF的方程為y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
當x＝－eq \f(3,2)時，y＝3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，因為PA⊥l，A為垂足，所以點P的縱坐標為3eq \r(3)，可得點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6．
32．在直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，
M，N分別為PQ，PF的中點，直線MN與x軸交于點R，若∠NFR＝60°，則|FR|等于( )
A．2 B．eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3
32．答案 A 解析 由拋物線C：y2＝4x，得焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，
因為M，N分別為PQ，PF的中點，所以MN∥QF，所以四邊形QMRF為平行四邊形，|FR|＝|QM|，又由PQ垂直l于點Q，可知|PQ|＝|PF|，因為∠NFR＝60°，所以△PQF為等邊三角形，所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故選A．
33．已知y2＝4x的準線交x軸于點Q，焦點為F，過Q且斜率大于0的直線交y2＝4x于A，B，兩點∠AFB
＝60°，則|AB|等于( )
A．eq \f(4\r(7),6) B．eq \f(4\r(7),3) C．4 D．3
33．答案 B 解析 設(shè)A(x1,2eq \r(x1))，B(x2,2eq \r(x2))，x2>x1>0，因為kQA＝kQB，即eq \f(2\r(x2),x2＋1)＝eq \f(2\r(x1),x1＋1)，整理化簡得x1x2
＝1，|AB|2＝(x2－x1)2＋(2eq \r(x2)－2eq \r(x1))2，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，代入余弦定理|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|cs60°，整理化簡得，x1＋x2＝eq \f(10,3)，又因為x1x2＝1，所以x1＝eq \f(1,3)，x2＝3，|AB|＝eq \r((x2－x1)2＋(2\r(x2)－2\r(x1))2)＝eq \f(4\r(7),3)，故選B．
34．過拋物線y＝eq \f(1,4)x2的焦點F作一條傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝________．
34．答案 eq \f(16,3) 解析 (1)依題意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，題中的拋物線x2＝4y的焦點坐標是F(0，1)，
直線AB的方程為y＝eq \f(\r(3),3)x＋1，即x＝eq \r(3)(y－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x＝\r(3)(y－1)，))消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y1＋y2＝eq \f(10,3)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋2＝eq \f(16,3)．
35．已知直線l過拋物線C：y2＝3x的焦點F，交C于A，B兩點，交C的準線于點P，若eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FP,\s\up6(→))，則|AB|
＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
35．答案 B 解析 如圖所示：
不妨設(shè)A在第一象限，由拋物線C：y2＝3x可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，準線DP：x＝－eq \f(3,4)．因為eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FP,\s\up6(→))，所以F是AP的中點，則AD＝2CF＝3.所以可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(3\r(3),2)))，則kAF＝eq \r(3)，所以直線AP的方程為：y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，聯(lián)立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4))),y2＝3x))，整理得：x2－eq \f(5,2)x＋eq \f(9,16)＝0，所以x1＋x2＝eq \f(5,2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝4．故選B．
36．(2017·全國Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為eq \r(3)的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C
的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為( )
A．eq \r(5) B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)
36．答案 C 解析 由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝eq \r(3)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)?x－1?，,y2＝4x，))得x
＝eq \f(1,3)或x＝3．由M在x軸的上方，得M(3，2eq \r(3))，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4．又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，所以點M到直線NF的距離為4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)．
37．已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線AB與拋物線C相交于A，B兩點，若2eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))－3eq \(OF,\s\up8(→))＝0，
則弦AB中點到拋物線C的準線的距離為________．
37．答案 eq \f(9,4) 解析 依題意得，拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程是y＝－1，因為2(eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OF,\s\up8(→)))＋(eq \(OB,\s\up8(→))－
eq \(OF,\s\up8(→)))＝0，即2eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝0，所以F，A，B三點共線．設(shè)直線AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4 ①；又2eq \(FA,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝0，因此2x1＋x2＝0 ②．由①②解得xeq \\al(2,1)＝2，弦AB的中點到拋物線C的準線的距離為eq \f(1,2)[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＋1＝eq \f(1,8)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＋1＝eq \f(5xeq \\al(2,1),8)＋1＝eq \f(9,4)．
38．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l．若射線y＝2(x－1)(x≤1)與C，l分別交于P，Q兩點，
則eq \f(|PQ|,|PF|)＝( )
A．eq \r(2) B．2 C．eq \r(5) D．5
38．答案 C 解析 由題意，知拋物線C：y2＝4x的焦點F(1,0)，設(shè)準線l：x＝－1與x軸的交點為F1.
過點P作直線l的垂線，垂足為P1(圖略)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2?x－1?，x≤1，))得點Q的坐標為(－1，－4)，所以|FQ|＝2eq \r(5)．又|PF|＝|PP1|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)＝eq \f(|PQ|,|PP1|)＝eq \f(|QF|,|FF1|)＝eq \f(2\r(5),2)＝eq \r(5)，故選C．
39．已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在Γ上且|PK|＝eq \r(2)|PF|，則△PKF的
面積為________．
39．答案 8 解析 由已知得，F(xiàn)(2，0)，K(－2，0)，過P作PM垂直于準線于點M，則|PM|＝|PF|，又
|PK|＝eq \r(2)|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x軸，△PFK的高等于|PF|，不妨設(shè)P(m2,2eq \r(2)m)(m＞0)，則m2＋2＝4，解得m＝eq \r(2)，故△PFK的面積S＝4×2eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(1,2)＝8．
40．拋物線C：y2＝4x的焦點為F，其準線l與x軸交于點A，點M在拋物線C上，當eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)時，△AMF
的面積為( )
A．1 B．eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
40．答案 C 解析 (1)過M作MP垂直于準線，垂足為P，則eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \r(2)＝eq \f(|MA|,|MP|)＝eq \f(1,cs ∠AMP)，則cs∠
AMP＝eq \f(\r(2),2)，又0°0，y20)和動直線l：y＝kx＋b(k，b是參變量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)兩點，平面直角坐標系的原點為O，記直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，且kOA·kOB＝eq \r(3)恒成立，則當k變化時，直線l經(jīng)過的定點為________．
49．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3)p,3)，0)) 解析 聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝kx＋b))消去y，得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，∴x1＋x2＝eq \f(－2kb＋2p,k2)，
x1x2＝eq \f(b2,k2)，∵kOA·kOB＝eq \r(3)，∴y1y2＝eq \r(3)x1x2，又∵y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝eq \f(2bp,k)，∴eq \f(2bp,k)＝eq \r(3)·eq \f(b2,k2)，解得b＝eq \f(2\r(3)pk,3)，∴y＝kx＋eq \f(2\r(3)pk,3)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2\r(3)p,3)))．令x＝－eq \f(2\r(3)p,3)，得y＝0，∴直線l過定點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3)p,3)，0))．
50．在直線y＝－2上任取一點Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過的點
的坐標為( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
50．答案 B 解析 設(shè)Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥＝eq \f(1,4)x2，則y′＝eq \f(1,2)x，則在點A
處的切線方程為y－y1＝eq \f(1,2)x1(x－x1)，化簡得y＝eq \f(1,2)x1x－y1，同理，在點B處的切線方程為y＝eq \f(1,2)x2x－y2，又點Q(t，－2)的坐標適合這兩個方程，代入得－2＝eq \f(1,2)x1t－y1，－2＝eq \f(1,2)x2t－y2，這說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程－2＝eq \f(1,2)xt－y，即直線AB的方程為y－2＝eq \f(1,2)tx，因此直線AB恒過點(0，2)．
51．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝eq \r(3)(x－1)與C交于A，B(A在x軸上方)兩點．若eq \(AF,\s\up8(―→))＝
meq \(FB,\s\up7(―→))，則m的值為________．
51．答案 3 解析 由題意知F(1,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)(x－1)，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(1,3)，,y1＝－\f(2\r(3),3)，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝2\r(3).))由A在x軸
上方，知A(3，2eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，則eq \(AF,\s\up7(―→))＝(－2，－2eq \r(3))，eq \(FB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2\r(3),3)))，因為eq \(AF,\s\up7(―→))＝meq \(FB,\s\up7(―→))，所以m＝3．
52．設(shè)拋物線C：y2＝12x的焦點為F，準線為l，點M在C上，點N在l上，且eq \(FN,\s\up6(→))＝λeq \(FM,\s\up6(→))(λ>0)，若|MF|
＝4，則λ等于( )
A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \f(5,2) D．3
52．答案 D 解析 如圖，過M向準線l作垂線，垂足為M′，根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義得eq \f(|MM′|,|FF′|)
＝eq \f(|MN|,|NF|)＝eq \f(λ－1,λ)，
又|MF|＝4，∴|MM′|＝4，又|FF′|＝6，∴eq \f(|MM′|,|FF′|)＝eq \f(4,6)＝eq \f(λ－1,λ)，∴λ＝3．故選D．
53．已知拋物線y2＝2px(p＞0)過點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，其準線與x軸交于點B，直線AB與拋物線的另一個交點為
M，若eq \(MB,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，則實數(shù)λ為( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．2 D．3
53．答案 C 解析 把點Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))代入拋物線的方程得2＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2
＝4x，則B(－1，0)，設(shè)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,M),4)，yM))，則eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\r(2)))，eq \(MB,\s\up8(→))＝(－1－eq \f(yeq \\al(2,M),4)，－yM)，由eq \(MB,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－\f(yeq \\al(2,M),4)＝－\f(3,2)λ，,－yM＝－\r(2)λ，))解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故選C．
54．如圖，過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及其準線從上到下依次交于A、B、
C點，令eq \f(|AF|,|BF|)＝λ1，eq \f(|BC|,|BF|)＝λ2，則當α＝eq \f(π,3)時，λ1＋λ2的值為( )
A．4 B．5 C．6 D．8
54．答案 B 解析 由題意知焦點的坐標為F(1,0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當α＝eq \f(π,3)時，直線AB的方程
為y＝eq \r(3)x－eq \r(3)，與拋物線方程聯(lián)立得3x2－10x＋3＝0，∴x1＋x2＝eq \f(10,3)，x1x2＝1，解得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，由題圖可知，λ1＝eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(x1＋1,x2＋1)＝eq \f(3＋1,1＋\f(1,3))＝3，∵α＝eq \f(π,3)，∴λ2＝eq \f(|BC|,|BF|)＝2，∴λ1＋λ2＝5．故選B．
55．如圖所示，拋物線y＝eq \f(1,4)x2，AB為過焦點F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點M，設(shè)
A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則：①若AB的斜率為1，則|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率為1，則xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
55．答案 B 解析 由題意得，焦點F(0,1)，對于①，lAB的方程為y＝x＋1，與拋物線的方程聯(lián)立，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，則|AB|＝y(tǒng)A＋yB＋p＝8，則①錯誤；對于②，|AB|min＝2p＝4，則②錯誤；因為y′＝eq \f(x,2)，則lAM：y－yA＝eq \f(xA,2)(x－xA)，即y＝eq \f(1,2)xAx－eq \f(x\\al(2,A),4)，lBM：y－yB＝eq \f(xB,2)(x－xB)，即y＝eq \f(1,2)xBx－eq \f(x\\al(2,B),4)，聯(lián)立lAM與lBM的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)xAx－\f(x\\al(2,A),4)，,y＝\f(1,2)xBx－\f(x\\al(2,B),4)，))解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xA＋xB,2)，\f(xA·xB,4)))．設(shè)lAB的方程為y＝kx＋1，與拋物線的方程聯(lián)立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正確；對于④，當AB的斜率為1時，xM＝2，則④錯誤，故選B．

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